《6.3.1 二项式定理》教案、导学案与同步练习

《6.3.1二项式定理》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要学习二项式定理二项式定理的形成过程是组合知识的应用，同时也为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。本课数学内容的本质：多项式乘法的深化与再认识。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；B.会应用二项式定理求解二项展开式；C.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及“从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力.1.数学抽象：二项式定理2.逻辑推理：运用组合推导二项式定理3.数学运算：运用二项式定理解决问题4.数学建模：在具体情境中运用二项式定理【重点与难点】重点：应用二项式定理求解二项展开式难点：利用计数原理分析二项式的展开式【教学过程】教学过程教学设计问题探究上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的a+bn问题1：我们知道a+b2=a2+2ab+b2a+b（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？（2）根据你发现的规律，你能写出a+b4（3）进一步地，你能写出a+bn我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，a+b=a=可以看到，a+b2是2个a+b相乘，只要从一个a+b中选一项（选a或b

），再从另一个a+b中选一项（选a或b

），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，a+b2的展开式共有C21×C21我们来分析一下形如a2-k当k

=0时，a2-kbk=a2，这是由2个a+b中都不选当于从2个a+b中取0个b

（即都取a

）的组合数C20，即当k

=1时，a2-kbk=ab

，这是由1个a+b中选a，另一个a+b中选b得到的，由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个a+b中取1个b

的组合数当k

=2时，a2-kbk=b2，这是由2个a+b中选b

得到的，因此，b2出现的次数相当于从2个a+b中取2个b

由上述分析可以得到a+b问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出a+b3，a+b类似地，用同样的方法可知a+ba+b1．二项式定理(a＋b)n＝_________________________(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．(3)二项式系数：各项的系数____(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bnn＋1；Ceq\o\al(k,n)2．二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.k＋1；Ceq\o\al(k,n)an－kbk二项式定理形式上的特点(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.(2)二项式系数都是Cn(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．()[解析](1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第k＋1项Ceq\o\al(k,n)an－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Ceq\o\al(k,n)bn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)×因为Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．(4)√因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Ceq\o\al(r,n).[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、典例解析例1.求x+1解：根据二项式定理x+=C6=1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.跟踪训练1(1)求3x+1x4(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).解:(1)方法一3x+1x4=C40(3x)4+C41(3x)3·1x+C4+C43·3x1x3+C44·1x4=81x方法二3x+1x4==1x2(81x4+108x3+54x=81x2+108x+54+12x(2)原式=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(例2.（1）求1+2x7（2）求2x-1解：1+2x7T3+1==C73×23因此,展开式第4项的系数是280.（2）2xC根据题意，得3-k=2，因此，x（二项式系数与项的系数的求解策略(1)二项式系数都是组合数Cnk(k(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为Cnk.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=C7317-3(2x)3,其二项式系数是C7跟踪训练2.(1)求二项式2x-1x6(2)求x-1x9的展开式中x3的系数.解:(1)由已知得二项展开式的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k·-1xk=26-kC6k·(-1)k∴T6=-12x-∴第6项的二项式系数为C6第6项的系数为C65·(-1)(2)设展开式中的第k+1项为含x3的项,则Tk+1=C9kx9-k-1xk=(-1)kC9k令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3·C9学生带着问题去观察展开式，引发思考积极参与互动，说出自己见解。发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。这个过程让学生亲身经历了从“繁杂计算之苦”到领悟“分步乘法原理与组合数的简洁美”，这也是一个内化的过程，巩固已有思想方法，建立猜想二项式定理的认知基础。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。通过典例解析，让学生体会利用二项式定理模型进行计算，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.(a+b)2n的展开式的项数是()A.2nB.2n+1C.2n-1D.2(n+1)解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.答案:B2.(2a+b)5的展开式的第3项是()A.23C52B.23C52a3b2C.23C53D.2解析:T2+1=C52(2a)3b2=23C52a答案:B3.二项式(x+1x解析:根据二项式定理的通项Tk+1=C6当取有理项时,6-此时k=0,2,4,6.故共有4项.答案:44.如果(3x2+1x)n解析:Tk+1=Cnk(3x2)n-k(1x)k=5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.解:由题设知m+n=19,又m,n∈N*,∴1≤m≤18.x2的系数为Cm2+Cn2=12∴当m=9或10时,x2的系数的最小值为81,此时x7的系数为C96.已知在3x(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.解:(1)由通项知,展开式中第k+1项为Tk+1=Cnk·(3x)n-k·-123x∵第6项为常数项,∴k=5,且n-5×2=0,∴n=10.(2)由(1)知Tk+1=-12k∴x2的系数为-122(3)当Tk+1项为有理项时,10-2k3为整数,0≤k≤10,且k令10-2k3∴z为偶数,从而求得当z=2,0,-2时,相应地k=2,5,8符合条件.∴有理项为T3=C102·-122T6=C105-125=-638,T9=C通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】这一节课面对的是高二年级的学生，这一学段的学生已经初步具备了多项式运算、计数原理、组合等相关知识储备，能够在教师的引导下理解并掌握本节课的内容，但在动手操作和合作学习等方面，有待进一步加强。本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标，这样，课上的探究过程就不会卡顿了。《6.3.1二项式定理》导学案【学习目标】1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；2.会应用二项式定理求解二项展开式；3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及“从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.【重点与难点】重点：应用二项式定理求解二项展开式难点：利用计数原理分析二项式的展开式【知识梳理】1．二项式定理(a＋b)n＝______________________________(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．(3)二项式系数：各项的系数____(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bnn＋1；Ceq\o\al(k,n)2．二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.k＋1；Ceq\o\al(k,n)an－kbk二项式定理形式上的特点(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.(2)二项式系数都是Cn(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．()【学习过程】一、问题探究上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的a+bn问题1：我们知道a+b2=a2+2ab+b2a+b（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？（2）根据你发现的规律，你能写出a+b4（3）进一步地，你能写出a+bn我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，a+b=a=问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出a+b3，a+b二、典例解析例1.求x+11.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.跟踪训练1(1)求3x+1x4(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).例2.（1）求1+2x7（2）求2x-1二项式系数与项的系数的求解策略(1)二项式系数都是组合数Cnk(k(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为Cnk.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=C7317-3(2x)3,其二项式系数是C7跟踪训练2.(1)求二项式2x-1x6(2)求x-1x9的展开式中x3的系数.【达标检测】1.(a+b)2n的展开式的项数是()A.2nB.2n+1C.2n-1D.2(n+1)2.(2a+b)5的展开式的第3项是()A.23C52B.23C52a3b2C.23C53D.23.二项式(x+1x4.如果(3x2+1x)n5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.6.已知在3x(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.【课堂小结】【参考答案】知识梳理1．[解析](1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第k＋1项Ceq\o\al(k,n)an－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Ceq\o\al(k,n)bn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)×因为Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．(4)√因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Ceq\o\al(r,n).[答案](1)×(2)×(3)×(4)√学习过程一、问题探究上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的a+bn问题1：可以看到，a+b2是2个a+b相乘，只要从一个a+b中选一项（选a或b

），再从另一个a+b中选一项（选a或b

），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，a+b2的展开式共有C21×C21我们来分析一下形如a2-k当k

=0时，a2-kbk=a2，这是由2个a+b中都不选当于从2个a+b中取0个b

（即都取a

）的组合数C20，即当k

=1时，a2-kbk=ab

，这是由1个a+b中选a，另一个a+b中选b得到的，由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个a+b中取1个b

的组合数当k

=2时，a2-kbk=b2，这是由2个a+b中选b

得到的，因此，b2出现的次数相当于从2个a+b中取2个b

由上述分析可以得到a+b问题2：类似地，用同样的方法可知a+ba+b二、典例解析例1.解：根据二项式定理x+=C6=跟踪训练1解:(1)方法一3x+1x4=C40(3x)4+C41(3x)3·1x+C4+C43·3x1x3+C44·1x4=81x方法二3x+1x4==1x2(81x4+108x3+54x=81x2+108x+54+12x(2)原式=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(例2.（1）求1+2x7（2）求2x-1解：1+2x7T3+1==C73×=280x因此,展开式第4项的系数是280.（2）2xC根据题意，得3-k=2，k=1

（二项式系数与项的系数的求解策略(1)二项式系数都是组合数Cnk(k(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为Cnk.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=C7317-3(2x)3,其二项式系数是C7跟踪训练2.(1)求二项式2x-1x6(2)求x-1x9的展开式中x3的系数.解:(1)由已知得二项展开式的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k·-1xk=26-kC6k·(-1)k∴T6=-12x-∴第6项的二项式系数为C6第6项的系数为C65·(-1)(2)设展开式中的第k+1项为含x3的项,则Tk+1=C9kx9-k-1xk=(-1)kC9k令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3·C9达标检测1.解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.答案:B2.解析:T2+1=C52(2a)3b2=23C52a答案:B3.解析:根据二项式定理的通项Tk+1=C6当取有理项时,6-此时k=0,2,4,6.故共有4项.答案:44.解析:Tk+1=Cnk(3x2)n-k(由题意知当k=2时,2n-答案:85.解:由题设知m+n=19,又m,n∈N*,∴1≤m≤18.x2的系数为Cm2+Cn2=12∴当m=9或10时,x2的系数的最小值为81,此时x7的系数为C96.分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.解:(1)由通项知,展开式中第k+1项为Tk+1=Cnk·(3x)n-k·-123x∵第6项为常数项,∴k=5,且n-5×2=0,∴n=10.(2)由(1)知Tk+1=-1令10-∴x2的系数为-122(3)当Tk+1项为有理项时,10-2k3为整数,0≤k≤10,且k令10-2k3∴z为偶数,从而求得当z=2,0,-2时,相应地k=2,5,8符合条件.∴有理项为T3=C102·-122T6=C105-125=-638,T9=C《6.3.1二项式定理》基础训练一、选择题1．（在的展开式中，的系数为（）A．6B．12C．24D．482．化简（）A．B．C．D．3．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于年､年间提出，据考证，我国至迟在世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则，在的二项式展开式中，的系数为（）A．B．C．D．4．的展开式中常数项为（）A．10B．C．5D．5.（多选题）若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是（）A．3B．4C．5D．66．（多选题）若二项式展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（）A．1B．－1C．2D．－2二、填空题7．展开=_____．8．在二项式的展开式中，的系数为__________．9．若的展开式中的系数是，则．10．的展开式的常数项是________．三、解答题11．已知，设．（1）求的值；（2）求的展开式中的常数项．12．在二项式的展开式中，（1）求展开式中含项的系数：（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.答案解析一、选择题1．在的展开式中，的系数为（）A．6B．12C．24D．48【答案】B【详解】展开式的通项为，由，解得，则的系数为，故选：B2．化简（）A．B．C．D．【答案】B【详解】.3．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于年､年间提出，据考证，我国至迟在世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则，在的二项式展开式中，的系数为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】展开式的通项为，令，解得，所以二项式展开式中，的系数为.4．的展开式中常数项为（）A．10B．C．5D．【答案】B【详解】要求的展开式中的常数项，只需求的展开式中的系数.因为的展开式中的系数为，所以的展开式中常数项为.5.（多选题）若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是（）A．3B．4C．5D．6【答案】BD【详解】因为的展开式的第项为，若的展开式中存在常数项，则只需，即，又，，所以只需为正偶数即可，故AC排除，BD可以取得；故选：BD.6．（多选题）若二项式展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（）A．1B．－1C．2D．－2【答案】AB【详解】二项式展开式的通项为，，令，得，常数项为，，得，故答案为.二、填空题7．展开=_____．【答案】【详解】．8．在二项式的展开式中，的系数为__________．【答案】.【详解】结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.9．若的展开式中的系数是，则．【答案】1【详解】展开式的的通项为，令，的展开式中的系数为.10．的展开式的常数项是________．【答案】【详解】，的展开式通项为，所以，的展开式通项为，由，可得，因此，的展开式的常数项为.三、解答题11．已知，设．（1）求的值；（2）求的展开式中的常数项．【详解】（1）由已知得：，解得:．（2）展开式的通项为由得，即的展开式中的常数项为．12．在二项式的展开式中，（1）求展开式中含项的系数：（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.【详解】(1)设第项为，令解得，故展开式中含项的系数为.(2)∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，∵，故或，解得或.《6.3.1二项式定理》提高训练一、选择题1．在的展开式中.常数项为（）A．B．C．D．2．已知，则（）A．B．C．D．3．的展开式中常数项是（）A．-252B．-220C．220D．2524．展开式中项的系数为160，则（）A．2B．4C．D．5.（多选题）若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（）A．B．C．D．6．（多选题）的展开式中（）A．的系数为40B．的系数为32C．常数项为16D．常数项为8二、填空题7．的展开式中的系数为，则________．8．在的展开式中，的系数为__________．9．已知二项式(且)展开式的第项是常数项，则的值是__.10．若的展开式中项的系数为20，则的最小值_______三、解答题11．已知在的展开式中，第9项为常数项．求：（1）n的值；（2）展开式中x5的系数；（3）含x的整数次幂的项的个数．12.已知的二项展开式中，第三项的系数为7.（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.答案解析一、选择题1．在的展开式中.常数项为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】：二项式展开式的通项为，令，解得，所以，故选：B2．已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【详解】，则其展开式的通项为：，当时，，所以．3．的展开式中常数项是（）A．-252