新教材2023版高中数学第3章圆锥曲线与方程3.3抛物线3.3.1抛物线的标准方程课件湘教版选择性必修第一册

3．3.1抛物线的标准方程新知初探•课前预习题型探究•课堂解透最新课程标准(1)掌握抛物线的定义及其标准方程．(2)会由抛物线方程求焦点坐标和标准方程．新知初探•课前预习教

材

要

点要点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)❶__________的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的______，直线l叫作抛物线的_______．距离相等焦点准线要点二抛物线的标准方程图象标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)❷焦点坐标________________________________________准线方程________________________________________

批注❶注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．

批注❷焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式．基

础

自

测1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(

)(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．(

)(3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．(

)(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(

)√√√×

答案：D

答案：A

4．若点(－1，2)在抛物线x＝ay2上，则该抛物线的准线方程为(

)A．x＝1B．x＝－1C．x＝－2D．x＝2答案：A

y2＝3x或y2＝－3x或x2＝3y或x2＝－3y

题型探究•课堂解透题型1求抛物线的标准方程例1

(1)[2022·湖南长郡中学测试]M(4，t)是抛物线y2＝2px上一点，若点M到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是(

)A．x＝－2B．x＝－1C．y＝－2D．y＝－1答案：A

(2)顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是(

)A．y2＝－4xB．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4yD．y2＝4x或x2＝－4y答案：C解析：

设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.(3)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为__________________．x2＝10y和x2＝－10y解析：

已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.方法归纳求抛物线标准方程的2种常用方法巩固训练1

(1)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(

)A．x2＝±3y

B．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6y答案：C

(2)顶点在原点，焦点在坐标轴上，以直线y＝－1为准线的抛物线方程是________．x2＝4y

答案：B

(2)已知圆C的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．解析：

设点P的坐标为(x，y)，动圆的半径为R，∵动圆P与y轴相切，∴R＝|x|.∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，∴|PC|＝R＋5，∴|PC|＝|x|＋5，当点P在y轴右侧时，x>0，则|PC|＝x＋5，∴点P的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；当点P在y轴左侧时，x<0，则|PC|＝－x＋5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程为y＝0(x<0)．∴点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．

巩固训练2

(1)[2022·湖南永州测试]已知点A(4，y0)在抛物线C：y2＝8x上，F为抛物线的焦点，则|AF|＝(

)A．2

B．4C．6

D．8答案：C

5

答案：A

(2)已知定点M(a，0)，试在抛物线y2＝2px(p>0)上求一点N，使得|MN|最小．

方法归纳解决与抛物线有关的最值问题的2种方法巩固训练3

(1)已知点P在抛物线y2＝16x上，F为焦点，点A(2，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为(

)A.3

B．4C．5

D．6答案：D解析：因为抛物线方程y2＝16x，所以其准线方程是x＝－4.过P作PM垂直于准线，垂足为M，则|PF|＝|PM|，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|.当A，P，M三点共线时，|PA|＋|PM|最小，最小值2－(－4)＝6，故|PA|＋|PF|的最小值为6.

易错辨析