备考2024届高考数学一轮复习讲义第四章三角函数第3讲两角和与差的正弦余弦正切公式与二倍角公式

第3讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式与二倍角公式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.和、差、倍角公式的直接应用2023新高考卷ⅠT8；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9；2020全国卷ⅢT9；2019全国卷ⅡT10本讲每年必考，主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的正用、逆用、变形用，主要体现在三角函数式的化简和求值中.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.和、差、倍角公式的逆用与变形用2023新高考卷ⅡT7；2022新高考卷ⅡT6；2022北京T13；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅢT5角的变换问题2022浙江T13；2019江苏T131.两角和与差的正弦、余弦、正切公式S（α±β）：sin（α±β）＝①sinαcosβ±cosαsinβ.C（α±β）：cos（α±β）＝②cosαcosβ∓sinαsinβ.T（α±β）：tan（α±β）＝③tanα±tanβ1∓tanαtanβ（α，注意在公式T（α±β）中，α，β，α±β都不等于kπ＋π2（k∈Z），即保证tanαtanβ，tan（α±β）都有意义.2.二倍角公式S2α：sin2α＝④2sinαcosα.C2α：cos2α＝⑤cos2α－sin2α＝⑥2cos2α－1＝⑦1－2sin2α.T2α：tan2α＝⑧2tanα1-tan2α（α≠kπ＋π2且α≠k（1）对于两角和的正弦、余弦、正切公式，分别令β＝α，可得二倍角的正弦、余弦、正切公式.（2）二倍角是相对的，如α2是α4的2倍，3α是3α2的3.辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin（α＋φ）（其中a≠0，sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa规律总结1.两角和与差的正切公式的变形tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanαtanβ）；tanα·tanβ＝1－tanα＋tanβ2.降幂公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1+cos2α2；sinαcos3.升幂公式：cos2α＝2cos2α－1；cos2α＝1－2sin2α.4.其他常用变式sin2α＝2tanα1+tan2α；cos2α＝1－tan2α1+tan2α；tanα2＝sinα1+cosα＝1－cosαsinα；1＋sin2α规律总结1.积化和差cosα·cosβ＝12[cos（α＋β）＋cos（α－β）]；sinα·sinβ＝－12[cos（α＋β）－cos（α－β）sinα·cosβ＝12[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；cosα·sinβ＝12[sin（α＋β）－sin（α－β）2.和差化积sinα＋sinβ＝2sinα＋β2cosα－β2；sinα－sinβcosα＋cosβ＝2cosα＋β2cosα－β2；cosα－cosβ注意和差化积和积化和差公式不要求记忆，可借助推导过程找规律，先得到积化和差的公式，再通过换元得到和差化积的公式.1.[2023北京海淀区月考]若tan（α－5π12）＝12，则tan（α－π6）的值为（A.3 B.13 C.－3 D.－解析因为tan（α－5π12）＝tan[（α－π6）－π4]＝tan（α－π6）－12.已知sinα＝1517，α∈（π2，π），则cos（π4－α）的值为解析∵sinα＝1517，α∈（π2，π），∴cosα＝－1－sin∴cos（π4－α）＝cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝22×（－817）＋23.[全国卷Ⅱ]若sinx＝－23，则cos2x＝19解析cos2x＝1－2sin2x＝1－2×（－23）2＝14.[易错题]1+tan15°1－t解析1+tan15°1－tan15°＝tan45°＋ta5.若sinx－3cosx＝2sin（x－φ），φ＞0，则φ的最小值为π3解析因为sinx－3cosx＝2（12sinx－32cosx）＝2（sinxcosφ－cosxsinφ），所以cosφ＝12，sinφ＝32.因为φ＞0，所以6.[积化和差]函数f（x）＝sin（x＋π3）cosx的最小值为－12＋3解析因为f（x）＝12[sin（x＋π3＋x）＋sin（x＋π3－x）]＝12sin（2x＋πf（x）的最小值为－12＋37.[和差化积]在△ABC中，sinA＝cosB＋cosC，则△ABC的形状是直角三角形.解析cosB＋cosC＝2cosB＋C2·cosB－C2因为sinA＝cosB＋cosC，所以2sinA2cosA2＝2sinA2因为sinA2≠0，所以cosA2＝cosB－C2，易得A2与｜B－C｜2均小于π2，所以所以A＋C＝B或A＋B＝C，即π－B＝B或π－C＝C，即B＝π2或C＝π2，所以△ABC研透高考明确方向命题点1和、差、倍角公式的直接应用例1（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知sin（α－β）＝13，cosαsinβ＝16，则cos（2α＋2β）＝（BA.79 B.19 C.－19 解析依题意，得sinαcosβ－cosαsinβ＝13，cosαsinsinαcosβ＋cosαsinβ＝12＋16＝23，所以cos（2α＋2β）＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×（23）2（2）[全国卷Ⅲ]已知2tanθ－tan（θ＋π4）＝7，则tanθ＝（DA.－2 B.－1 C.1 D.2解析由已知得2tanθ－tanθ+11－tanθ＝方法技巧应用和、差、倍角公式化简求值的策略（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”；（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.训练1（1）[全国卷Ⅰ]已知α∈（0，π），且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝（A）A.53 B.23 C.13 解析∵3cos2α－8cosα＝5，∴3（2cos2α－1）－8cosα＝5，∴6cos2α－8cosα－8＝0，∴3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝2（舍去）或cosα＝－23.∵α∈（0，π），∴sinα＝1－cos2（2）[2024广西玉林市联考]已知cos（α＋β）＝13，cosαcosβ＝12，则cos（2α－2β）＝（BA.－79 B.－19 C.19 解析由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ，即13＝12－sinαsinβ，可得sinα·sinβ＝16，则cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝12＋16＝23，所以cos（2α－2β）＝2cos2（α－β）－1＝2×（23）2命题点2和、差、倍角公式的逆用与变形用例2（1）[2023新高考卷Ⅱ]已知α为锐角，cosα＝1+54，则sinα2＝（A.3－58 B.－1+58 解析cosα＝1+54＝1－2sin2α2，得sin2α2＝3－58＝6－2516＝（5－14）2（2）[2021全国卷乙]cos2π12－cos25π12＝（A.12 B.33 C.22 解析解法一原式＝1+cosπ62－1+解法二因为cos5π12＝sin（π2－5π12）＝sinπ12，所以cos2π12－cos25π12cos（2×π12）＝cosπ6＝32（3）[2022新高考卷Ⅱ]若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝22cos（α＋π4）sinβ，则（CA.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1解析sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2sin（α＋β＋π4）＝22sinβcos（α＋πsin（α＋π4）cosβ＋sinβcos（α＋π4）＝2sinβcos（α＋π4），整理得sin（α＋π4sinβcos（α＋π4）＝0，即sin（α＋π4－β）＝0，所以α－β＋π4＝kπ，k∈Z，所以tan（α－β）＝tan（kπ－π方法技巧1.运用两角和与差的三角函数公式时，要熟悉公式的正用、逆用及变形用，如tanα＋tanβ＝tan（α＋β）·（1－tanαtanβ）和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对asinx＋bcosx化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.训练2（1）在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为（BA.14 B.13 C.12 解析解法一由题意得tan（A＋B）＝－tanC＝－tan120°＝3，所以tan（A＋B）＝tanA＋tanB1－tanAt解法二由已知，可取A＝B＝30°，则tanAtanB＝33×33＝1（2）[2022北京高考]若函数f（x）＝Asinx－3cosx的一个零点为π3，则A＝1f（π12）＝－2解析依题意得f（π3）＝A×32－3×12＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sinx－32sin（x－π3），所以f（π12）＝2sin（π12－π3命题点3角的变换问题例3（1）[2024山东省部分学校联考]已知sin（x＋π12）＝－14，则cos（5π6－2x）＝（A.78 B.18 C.－78 解析因为sin（x＋π12）＝－14，所以cos（5π6－2x）＝cos（π－π6－2x）＝－cos（π6＋2x）＝－[1－2sin2（x＋π12）]＝－[1－2×（－14（2）若tan（α＋2β）＝2，tanβ＝－3，则tan（α＋β）＝－1，tanα＝12解析因为tan（α＋2β）＝2，tanβ＝－3，所以tan（α＋β）＝tan（α＋2β－β）＝tan（α+2β）－tanβ1+tan（α+2β）ta方法技巧角的变换问题的解题思路1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和差倍半的形式.2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和差倍半的关系，注意换元思想的应用.3.常见的配角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－（π4－训练3（1）[2024江苏省南通市学情检测]已知sin（α＋π6）＝63，则sin（π6－2α）＝（A.－223 B.223 C.－1解析设α＋π6＝t，则α＝t－π6，sint＝63，∴sin（π6－2α）＝sin[π6－2（t－π6）]＝sin（π2－2t）＝