备考2024届高考数学一轮复习讲义第七章立体几何与空间向量第2讲空间点直线平面之间的位置关系

第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求命题点五年考情命题分析预测借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解4个基本事实和定理.平面的基本性质及应用2020新高考卷ⅠT16；2020全国卷ⅡT16；2020全国卷ⅢT19该讲是立体几何的基础，主要以客观题的形式出现，考查平面的基本性质及应用（如作截面），线线位置关系的判定等，难度中等.在2025年高考备考中要侧重对基本性质的理解和应用.空间直线、平面间的位置关系2023上海春季T15；2021新高考卷ⅡT10；2019全国卷ⅢT81.平面的基本性质（1）三个基本事实基本事实1过①不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3如果两个不重合的平面②有一个公共点，那么它们有且只有③一条过该点的公共直线.（2）三个推论利用基本事实1和基本事实2，结合“两点确定一条直线”可得到以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条④相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条⑤平行直线，有且只有一个平面.2.空间中直线间的位置关系共面直线（1）过平面外一点A和平面内一点B的直线，与平面内不过点B的直线是异面直线；（2）异面直线既不平行，也不相交；（3）异面直线不具有传递性，即若直线a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c不一定是异面直线.3.空间中直线、平面间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α⑥无数个平面与平面平行α∥β⑦0个相交α∩β＝l无数个说明分别在两个平行平面内的直线平行或异面.1.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（D）A.点A B.点BC.点C但不过点M D.点C和点M2.[多选]以下说法正确的是（CD）A.若一条直线上有两个点到一个平面距离相等，则这条直线与该平面平行B.若一个平面上有三个点到另一个平面距离相等，则这两个平面平行C.若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面D.不共面的四点中，任意三点都不共线解析对于A，直线也可能在平面内或与平面相交；对于B，两平面也可能相交；易知C，D正确.3.[多选]如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（CD）A.AF与CN平行 B.BM与AN是异面直线C.AF与BM是异面直线 D.BN与DE是异面直线解析把正方体的平面展开图还原，如图，由正方体的结构特征可知，AF与CN是异面直线，故A错误；BM与AN平行，故B错误；BM⊂平面BCMF，F∈平面BCMF，A∉平面BCMF，F∉BM，故AF与BM是异面直线，故C正确；DE⊂平面ADNE，N∈平面ADNE，B∉平面ADNE，N∉DE，故BN与DE是异面直线，故D正确.研透高考明确方向命题点1平面的基本性质及应用例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：（1）D，B，F，E四点共面.（2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线.（3）DE，BF，CC1三线交于一点.解析（1）如图所示，连接B1D1.由题意知EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.（2）记A1，C，C1三点确定的平面为平面α，平面BDEF为平面β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点.同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.（3）因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点.方法技巧1.证明点共线问题的常用方法基本事实法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在交线上.纳入直线法选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.2.证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.辅助平面法先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.训练1如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱CC1，AA1的中点.（1）画出平面BED1F与平面ABCD的交线，并说明理由.（2）设H为直线B1D与平面BED1F的交点，求证：B，H，D1三点共线.解析（1）如图1所示，直线PB为平面BED1F与平面ABCD的交线，理由如下：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为DA⊂平面AA1D1D，D1F⊂平面AA1D1D，且DA与D1F不平行， 图1所以在平面AA1D1D内分别延长D1F，DA，则D1F与DA必相交于一点，不妨设为点P，所以P∈AD，P∈D1F.因为DA⊂平面ABCD，D1F⊂平面BED1F，所以P∈平面ABCD，P∈平面BED1F，即P为平面ABCD和平面BED1F的公共点.连接PB，又B为平面ABCD和平面BED1F的公共点，所以直线PB为平面BED1F与平面ABCD的交线.（2）如图2所示，连接BD1，BD，B1D1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形.因为H为直线B1D与平面BED1F的交点，所以H∈B1D， 图2又B1D⊂平面BB1D1D，所以H∈平面BB1D1D，又H∈平面BED1F，平面BED1F∩平面BB1D1D＝BD1，所以H∈BD1，所以B，H，D1三点共线.命题点2空间直线、平面间的位置关系例2（1）[2023上海春季高考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是 （B）A.DD1 B.AC C.AD1 D.B1C解析对于A，如图1，当点P为A1C1的中点时，连接B1D1，BD，则P在B1D1上，BP⊂平面BDD1B1，又DD1⊂平面BDD1B1，所以BP与DD1共面，故A错误；图1 图2对于B，如图2，连接AC，易知AC⊂平面ACC1A1，BP⊄平面ACC1A1，且BP∩平面ACC1A1＝P，P不在AC上，所以BP与AC为异面直线，故B正确；当点P与点C1重合时，连接AD1，B1C（图略），由正方体的性质，易知BP∥AD1，BP与B1C相交，故C，D错误.故选B.（2）[2023高三名校联考（一）]设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列说法正确的是（B）A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB.若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥αC.若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD.若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m解析A选项，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，如图1，m∥n，且满足m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，但此时l与α斜交，故A错误；B选项，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，因为l⊥α，所以n⊥α，故B正确；C选项，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，因为l∥m，所以l∥n，故C错误；D选项，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，如图2，满足m⊂α，n⊥α，l⊥n，但此时l与m异面，故D错误.故选B.图1 图2方法技巧1.判断空间直线、平面间的位置关系时，注意对平面的基本性质及有关定理的应用.2.判断空间直线、平面间位置关系的命题的真假时，常借助几何模型（长方体、正方体）或实物（墙角、桌面等）.3.注意反证法在判断空间两直线位置关系时的应用.训练2若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（D）A.l与l1，l2都不相交B.l与l1