备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及应用

第3讲平面向量的数量积及应用课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的应用.平面向量的数量积运算2023全国卷乙T6；2022全国卷乙T3；2022全国卷甲T13；2021新高考卷ⅡT15；2020北京T13；2019全国卷ⅡT3本讲每年必考，主要考查向量的数量积运算、向量的夹角、模长、垂直问题，一般以客观题形式出现，难度不大.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要关注向量与三角、解析几何等的综合以及坐标法在解题中的应用.平面向量数量积的应用2023新高考卷ⅠT3；2023新高考卷ⅡT13；2023全国卷甲T4；2022全国卷乙T3；2022新高考卷ⅡT4；2022天津T14；2021新高考卷ⅠT10；2021全国卷甲T14；2021全国卷甲T14；2021全国卷乙T14；2020全国卷ⅠT14；2020全国卷ⅡT13；2020新高考卷ⅠT7；2019全国卷ⅠT7平面向量的应用2023全国卷乙T12；2020天津T151.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点.作OA＝a，OB＝b，则①∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞.设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是②[0，π].θ＝0或π⇔③a∥b，④θ＝π2⇔a⊥b注意确定向量的夹角时应注意“共起点”.思维拓展1.两个向量夹角的范围为[0，π]，两条直线夹角的范围为[0，π2]2.（1）两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且向量a，b不共线；（2）两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且向量a，b不共线.2.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b的夹角为θ，我们把数量⑤｜a｜｜b｜cosθ叫做向量a与b的数量积，记作⑥a·b.注意零向量与任一向量的数量积为0.3.投影与投影向量如图，过AB的起点A和终点B，分别作向量CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b⑦投影，A1B1叫做向量a设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则A1B1＝｜a｜cos4.向量数量积的运算律对于向量a，b，c和实数λ，有（1）a·b＝b·a；（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.注意（1）向量数量积的运算不满足乘法结合律，即（a·b）·c不一定等于a·（b·c），这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.（2）a·b＝a·c（a≠0）b＝c，等式两边不能约去同一个向量.（3）平方差公式、完全平方公式仍适用.5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝｜a｜｜b｜cosθ.a·b＝⑨x1x2＋y1y2.模｜a｜＝a·｜a｜＝⑩x12夹角cosθ＝⑪a·bcosθ＝x1a⊥b的充要条件a·b＝0.⑫x1x2＋y1y2＝0.a∥b的充要条件a＝λb（λ∈R）.⑬x1y2－x2y1＝0.｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立）.｜x1x2＋y1y2｜≤（x1.以下说法正确的是（A）A.两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量B.由a·b＝0可得a＝0或b＝0C.（a·b）·c＝a·（b·c）D.已知两个非零向量a与b的夹角为θ，若a·b＞0，则θ为锐角2.[教材改编]已知向量a＝（1＋x，x－3），b＝（1－x，2），a·b＝－4，则a＋2b与b的夹角为（B）A.π3 B.π4 C.2π3解析因为a·b＝－4，所以（1＋x）（1－x）＋2（x－3）＝－4，得x＝1.所以a＝（2，－2），b＝（0，2），所以a＋2b＝（2，2），｜a＋2b｜＝22＋22＝22，｜b｜＝2，所以cos＜a＋2b，b＞＝（a+2b）·b｜a+2b||b｜＝422×2＝22.又＜a＋23.[2022全国卷甲]已知向量a＝（m，3），b＝（1，m＋1）.若a⊥b，则m＝－34解析∵a⊥b，∴a·b＝m＋3（m＋1）＝4m＋3＝0，解得m＝－344.已知点A（－1，1），B（1，2），C（－2，－1），D（3，4），则AB在CD方向上的投影向量为（32，32解析依题意，得CD＝（5，5），则与CD同向的单位向量e＝CD｜CD｜＝（22，22），AB＝（2，1），则AB在CD方向上的投影向量为AB·CD｜CD｜·e＝10+552（22，22）5.[易错题]已知平面内三个向量a，b，c两两夹角相等，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝3，则｜a＋b＋c｜＝2或5.解析当a，b，c共线时，｜a＋b＋c｜＝｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝5；当a，b，c两两夹角为2π3时，a·b＝－12，a·c＝b·c＝－32.｜a＋b＋c｜＝｜研透高考明确方向命题点1平面向量的数量积运算例1（1）[2023全国卷乙]正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝（B）A.5 B.3 C.25 D.5解析解法一由题意知，EC＝EB＋BC＝12AB＋AD，ED＝EA＋AD＝－12AB＋AD，所以EC·ED＝（12AB＋AD）·（－12AB＋AD）＝｜AB｜＝2，所以EC·ED＝4－1＝3，故选B.解法二以点A为坐标原点，AB，AD的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则EC＝（1，2），ED＝（－1，2），EC·ED＝－1＋4＝3，故选B.（2）[2022全国卷甲]设向量a，b的夹角的余弦值为13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝11解析（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×13＋32＝11方法技巧求非零向量a，b的数量积的方法1.定义法：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ.2.基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解.3.坐标法：已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，利用a·b＝x1x2＋y1y2求解.训练1（1）[2022全国卷乙]已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝3，｜a－2b｜＝3，则a·b＝（C）A.－2 B.－1 C.1 D.2解析由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9.又｜a｜＝1，｜b｜＝3，所以a·b＝1，故选C.（2）[全国卷Ⅱ]已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，则AB·BC＝（C）A.－3 B.－2 C.2 D.3解析因为BC＝AC－AB＝（1，t－3），所以｜BC｜＝1+（t－3）2＝1，解得t＝3，所以BC＝（1，0），所以AB·BC＝2×1＋3命题点2平面向量数量积的应用角度1向量的模问题例2（1）[2022全国卷乙]已知向量a＝（2，1），b＝（－2，4），则｜a－b｜＝（D）A.2 B.3 C.4 D.5解析由题意知a－b＝（2，1）－（－2，4）＝（4，－3），所以｜a－b｜＝42＋（－3（2）[2023新高考卷Ⅱ]已知向量a，b满足｜a－b｜＝3，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝3.解析由｜a－b｜＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3①.由｜a＋b｜＝｜2a－b｜，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2＝2a·b，结合①，得a2＝a2＋b2－3，整理得，b2＝3，所以｜b｜＝3.方法技巧求平面向量模的两种方法公式法利用如下公式转化求解.①a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝a·②｜a±b｜＝（a±b③若a＝（x，y），则｜a｜＝x2几何法利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等求解.角度2向量的夹角问题例3（1）[2023全国卷甲]已知向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，且a＋b＋c＝0，则cos＜a－c，b－c＞＝（D）A.－45 B.－25 C.25 解析∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.解法一∵a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且｜a－c｜＝｜2a＋b｜＝（2a＋b）2＝4+1＝5，｜b－c｜＝｜a＋2b｜＝∴cos＜a－c，b－c＞＝（a－c）解法二如图，令OA＝a，OB＝b，则OC＝c，∴CA＝a－c，CB＝b－c，而｜AB｜＝2，｜AC｜＝｜BC｜＝5，在△ABC中，由余弦定理得cos＜a－c，b－c＞＝cos＜CA，CB＞＝cos∠ACB＝5+5－225×解法三如图，令向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B，以OA，OB的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a＝（1，0），b＝（0，1），c＝－a－b＝（－1，－1），所以a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），则cos＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（C）A.－6 B.－5 C.5 D.6解析解法一由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即a·c｜a||c｜＝b·c｜b||解法二因为＜a，c＞＝＜b，c＞，且c＝a＋tb，所以由向量加法的平行四边形法则得｜a｜＝t｜b｜，易知｜a｜＝5，｜b｜＝1，所以t＝5.方法技巧求平面向量夹角问题的三种方法定义法当a，b是非坐标形式时，由cosθ＝a·b坐标法若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则cos＜a，b＞＝x1x2＋y1y2x12＋y解三角形法可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.注意向量夹角与三角形内角的关系.角度3向量的垂直问题例4（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1）.若（a＋λb）⊥（a＋μb），则（D）A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1 D.λμ＝－1解析因为a＝（1，1），b＝（1，－1），所以a＋λb＝（1＋λ，1－λ），a＋μb＝（1＋μ，1－μ），因为（a＋λb）⊥（a＋μb），所以（a＋λb）·（a＋μb）＝0，所以（1＋λ）（1＋μ）＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得λμ＝－1.故选D.（2）[全国卷Ⅱ]已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（D）A.a＋2b B.2a＋b C.a－2b D.2a－b解析解法一由题意，得a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝12.对于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合题意；对于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合题意；对于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）⊥解法二根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示. A B C D由图易知，只有选项D满足题意.故选D.解法三不妨设a＝（12，32），b＝（1，0），则a＋2b＝（52，32），2a＋b＝（2，3），a－2b＝（－32，32），2a－b＝（0，3），易知，只有（2a－b）·b＝0，即（2a－b方法技巧1.证明两个向量垂直的解题策略先计算出这两个向量的坐标或表示出两个向量，然后根据数量积的运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可.2.已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.训练2（1）[2023广州市二检]已知两个非零向量a，b满足｜a｜＝3｜b｜，（a＋b）⊥b，则cos〈a，b〉＝（D）A.12 B.－12 C.13 解析因为（a＋b）⊥b，所以（a＋b）·b＝0，即a·b＝－b2，所以｜a｜·｜b｜·cos〈a，b〉＝－｜b｜2，即3｜b｜·｜b｜cos〈a，b〉＝－｜b｜2，则cos〈a，b〉＝－13.故选（2）[2021全国卷甲]若向量a，b满足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，则｜b｜＝32.解析由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝32.命题点3平面向量的应用例5在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情况（如图）.假设行李包所受重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2.若｜F1｜＝｜F2｜，F1与F2的夹角为θ，则下列结论不正确的是（D）A.｜F1｜的最小值为12｜GB.当θ＝2π3时，｜F1｜＝｜C.当θ＝π2时，｜F1｜＝22｜D.当θ＝2π3时，F1在F2解析由题意知，｜G｜＝｜F1＋F2｜，且｜G｜为定值，因为｜F1｜＝｜F2｜，所以｜G｜2＝｜F1｜2＋｜F2｜2＋2｜F1｜｜F2｜·cosθ＝2｜F1｜2（1＋cosθ），所以｜F1｜2＝｜G当θ∈