版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
第5讲对数与对数函数课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).对数的运算2022浙江T7;2022天津T6;2021天津T7;2020全国卷ⅠT8该讲命题热点为对数运算、对数函数的图象与性质的判断及应用,常与指数函数综合考查,且难度有上升趋势.在2025年备考过程中要熟练掌握对数的运算性质和换底公式;学会构造新函数,结合单调性比较大小;注意对函数图象的应用,注意区分对数函数图象和指数函数图象.对数函数的图象及应用2019浙江T6对数函数的性质及应用2021新高考卷ⅡT7;2021全国卷乙T12;2020全国卷ⅠT12;2020全国卷ⅡT11;2020全国卷ⅢT12;2019全国卷ⅠT31.对数与对数运算(1)对数的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作①x=logaN,其中a叫做对数的②底数,N叫做③真数.以10为底的对数叫做常用对数,记作④lgN;以e为底的对数叫做自然对数,记作⑤lnN.(2)对数的性质、运算性质及换底公式性质loga1=⑥0,logaa=⑦1,alogaN=⑧N(N>0),其中a>0运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)loga(M·N)=⑨logaM+logaN;(2)logaMN=⑩logaM-logaN(3)logaMn=⑪nlogaM,logaan=⑫n(n∈R).换底公式logab=⑬logcblogca(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;推论:(1)logab·logba=⑭1;(2)logambn=nmlogab;(3)logab·logbc·logcd=log2.对数函数的图象和性质函数y=logax(a>1)y=logax(0<a<1)图象性质定义域:⑮(0,+∞).值域:⑯R.图象过定点⑰(1,0),即恒有loga1=0.当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0.当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0.在(0,+∞)上单调递⑱增.在(0,+∞)上单调递⑲减.规律总结1.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(1a-1),函数图象只在第一、四象限.2.如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右对数函数的底数逐渐增大.注意当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论.3.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线⑳y=x对称(如图所示).反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域,互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性.1.[全国卷Ⅰ]设alog34=2,则4-a=(B)A.116 B.19 C.18 解析解法一因为alog34=2,所以log34a=2,则有4a=32=9,所以4-a=14a=1解法二因为alog34=2,所以a=2log34=log39log34=log49,所以4a=9,所以42.[多选]以下说法正确的是(CD)A.若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaNB.对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数C.函数y=ln1+x1-x与y=ln(1+x)-ln(D.对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1),(1a-1),函数图象只在第一、四象限3.lg25+lg2·lg50+(lg2)2=2.4.若loga34<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是(0,34)∪(1,+∞5.设loga2=m,loga3=n,则a2m+n的值为12.6.[2023北京高考]已知函数f(x)=4x+log2x,则f(12)=1解析因为f(x)=4x+log2x,所以f(12)=412+log212=2+log22-1=2研透高考明确方向命题点1对数的运算例1(1)[2022天津高考]化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为(B)A.1 B.2 C.4 D.6解析(2log43+log83)(log32+log92)=(2log223+log233)×(log32+log322)=(log23+13log23)(log32+12log32)=43×log23×(2)[2022浙江高考]已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(C)A.25 B.5 C.259 D.解析由2a=5得a=log25.又b=log83=log23log28=13log23,所以a-3b=log25-log23=log253=log453log42=2log453=log方法技巧对数运算的一般思路(1)转化:①利用ab=N⇔b=logaN(a>0且a≠1)对题目条件进行转化;②利用换底公式化为同底数的对数运算.(2)利用恒等式:loga1=0,logaa=1,logaaN=N,aloga(3)拆分:将真数化为积、商或底数的指数幂形式,正用对数的运算性质化简.(4)合并:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.训练1(1)[2024江苏省如皋市教学质量调研]我们知道,任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z),此时lgN=n+lga(0≤lga<1).当n>0时,N是n+1位数,则41000是(C)位数.(lg2≈0.3010)A.601 B.602 C.603 D.604解析由lg41000=lg22000=2000lg2≈2000×0.3010=602=602+lg1,得n=602,所以41000是603位数.故选C.(2)[2024山东泰安第二中学模拟](2+1027)-23+2log32-log349-5解析原式=[(43)3]-23+log34-log349-5log53=(43)-2+log39-3=命题点2对数函数的图象及应用例2(1)[浙江高考]在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=loga(x+12)(a>0,且a≠1)的图象可能是(A BC D解析若0<a<1,则函数y=1ax是增函数,y=loga(x+12)是减函数且其图象过点(12,0),结合选项可知,选项D可能成立;若a>1,则y=1ax是减函数,而y=loga(x+12)是增函数且其图象过点((2)已知当0<x≤14时,有x<logax,则实数a的取值范围为(116,1解析若x<logax在x∈(0,14]时成立,则0<a<1,且y=x的图象在y=logax图象的下方,作出y=x,y=logax的图象如图所示.由图象知14<loga14,所以0<a<1,a12>14,解得1方法技巧与对数函数有关的图象问题的求解策略1.对于图象的识别,一般通过观察图象的变化趋势、利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.对于对数型函数的图象,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.训练2(1)[多选/2024辽宁省部分学校模拟]已知ax=b-x(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数y=loga(-x)与y=bx的图象可能是(AB)解析因为ax=b-x,即ax=(1b)x,所以a=1b,当a>1时,0<b<1,函数y=bx在R上单调递减,且过点(0,1),因为y=logax与y=loga(-x)的图象关于y轴对称,故y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递减且过点(-1,0),故A当0<a<1时,b>1,函数y=bx在R上单调递增,且过点(0,1),y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递增且过点(-1,0),故B符合题意.故选AB.(2)[2024安徽省皖江名校联考]已知函数f(x)=|log3|x||,x≠0,0,x=0,设a,b,c,d是四个互不相同的实数,且满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则|a|+|b解析作出函数f(x)的图象,如图所示,易知f(x)图象关于y轴对称.设f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m(m>0),且a>b>c>d,作直线y=m,则由图象得0<b<1<a,则由题意知,log3a=-log3b,且a=-d,b=-c,所以ab=1,即b=1a,则|a|+|b|+|c|+|d|2(a+b)=2(a+1a)>4,所以|a|+|b|+|c|+|d|的取值范围是(4,+∞)命题点3对数函数的性质及应用角度1比较大小例3(1)[2021新高考卷Ⅱ]若a=log52,b=log83,c=12,则(CA.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c解析a=log52=log54<log55=12=c,b=log83=log89>log88=12=c,所以a<c<b.(2)[2024天津市蓟州区第一中学模拟]已知函数f(x)在R上是增函数,若a=f(log215),b=f(log24.1),c=f(20.5),则a,b,c的大小关系为(AA.a<c<b B.b<a<cC.c<b<a D.c<a<b解析log215=-log25<-log24=-2,log24.1>log24=2,20.5=2∈(1,2),故log215<20.5<log24.1.由于f(x)在R上是增函数,故f(log215)<f(20.5)<f(log24.1),所以a<c<b方法技巧比较对数值大小的常用方法1.底数相同时,比较真数的大小;真数相同时,利用换底公式转化为底数相同的形式,再比较大小,也可以借助对数函数的图象比较大小.2.当底数和真数都不相同时,常借助0,1或题干中出现的有理数等中间量比较大小,也可以通过作差或者作商比较大小.角度2解对数方程或不等式例4(1)[2024湘豫名校联考]已知函数f(x)=log2|x|+x2,则不等式f(lnx)+f(-lnx)<2的解集为(D)A.(1e,1) B.(1e,C.(1,e) D.(1e,1)∪(1,e解析由题可知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴lnx≠0.∵f(-x)=log2|-x|+(-x)2=log2|x|+x2=f(x),∴f(x)是偶函数,∴由f(lnx)+f(-lnx)<2可得2f(lnx)<2,即f(lnx)<1.当x>0时,f(x)=log2x+x2.∵y=log2x和y=x2在(0,+∞)上都是单调递增的,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=1,∴|lnx|<1且lnx≠0,∴1e<x<e且x≠1,所以原不等式的解集为(1e,1)∪(1,e).(2)[2024江苏省淮安市五校联考]已知x=4log6x-9log6x,y=9loA.5+12 B.C.5+1 D.5-1解析令log6x=m,log4y=n,则x=6m,y=4n.由x=4log6x-9log6x,y=9log4y+6log4y可得6m进而可得(32)m=1-(32)2m,故(32)m+(32)2m=1,同理得(32)2n+(32)n=1,所以(32)m与(32)n均为方程t由t2+t-1=0,解得t=-1+52或t因为(32)m>0,(32)n>所以(32)m=(32)n=由于函数y=(32)x为增函数,所以m=n,xy=6m4n=(32方法技巧1.(1)logaf(x)=b⇔f(x)=ab(a>0,且a≠1).(2)logaf(x)=logag(x)⇔f(x)=g(x)(f(x)>0,g(x)>0).2.解简单对数不等式,先统一底数,化为形如logaf(x)>logag(x)的不等式,再借助y=logax的单调性求解.角度3对数函数性质的应用例5(1)[全国卷Ⅱ]设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(D)A.是偶函数,且在(12,+∞B.是奇函数,且在(-12,1C.是偶函数,且在(-∞,-12D.是奇函数,且在(-∞,-12解析由2x+1≠0,2x-1≠0,得函数f(x)的定义域为(-∞,-1+∞),其关于原点对称,因为f(-x)=ln|2(-x)+1|-ln|2(-x)-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A,C.当x∈(-12,12)时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),易知函数f(x)单调递增,排除B.当x∈(-∞,-12)时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln2x+12x-1=ln((2)[全国卷Ⅰ]若2a+log2a=4b+2log4b,则(B)A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2解析令f(x)=2x+log2x,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上单调递增.又2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log2(2b),所以f(a)<f(2b),所以a<2b.故选B.方法技巧对数型复合函数的单调性问题的求解策略(1)对于y=logaf(x)型的复合函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反.(2)研究y=f(logax)型的复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.注意
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 物流运输数据库课程设计
- 2025年度定制化家具销售合同范本2篇
- 机器视觉课课程设计书
- 2025年度建筑设备安全施工与安装服务协议
- 二零二五年度商业综合体给排水专业分包合同2篇
- 2025年度知识产权质押委托保证反担保服务合同3篇
- 贪吃蛇课程设计c语言
- 英语语法课程设计依据
- 2025年中学校长开学典礼讲话(2篇)
- 网上投票系统课程设计
- 投资合作备忘录标准格式
- 职场吐槽大会活动方案
- 《生物质热电联产工程设计规范》
- 微波治疗技术的临床应用指南
- 安徽省合肥市庐阳区部分学校2023-2024学年八年级上学期期末考试英语试题(含答案)
- JTG 3441-2024公路工程无机结合料稳定材料试验规程
- 羊肉销售人员工作汇报
- 律所标书模板
- 安徽省合肥市包河区四十八中学2023-2024学年数学七年级第一学期期末学业质量监测试题含解析
- 美术概论-课件
- 危险化学品安全监管执法培训课件
评论
0/150
提交评论