2022年上海市浦东新区高考第一次模拟数学试卷及答案解析

2022年上海市浦东新区高考第一次模拟数学试卷

一、填空题：(本大题满分54分，其中1-6题每小题4分，7-12题每小题4分.)

1.(4分)已知集合A={XF-2x-320},3={x|-2Wx<2},则ACB=.

2.(4分)函数y=arcsin(x-1)的定义域为.

3.(4分)在等差数列{斯}中，若“3+413=8,则其前15项和Si5=.

4.(4分)方程k>g2(x)+log2(x-3)=2的解x=.

5.(4分)若函数=log2(x+1)+。的反函数的图象经过点(4,1),则实数。=.

6.(4分)设;(〃)=++++…+*(〃CN),则八〃+1)-f(n)=.

1X

7.(5分)若正数-y满足一+x=4,则一的最大值为

yy

X

2Y<n

；一的值域为(-8,1],则实数m的取值范围

{—X2+m,x>0

是.

9.(5分)等比数列他“}的前〃项和为S”，若对于任意的正整数上均有以=〃mCSn-S)

n-*ook

成立，则公比q=.

10.(5分)设/(x)是定义在R上以2为周期的奇函数，当x[0,1]时，f(x)=log2(x+l),

则函数/(x)在(5,6]上的解析式/(x)=.

11.(5分)设a>0,函数/(x)=x+2(1-x)sin(ax),xG(0,1),若函数y=2x-1与

y=f(x)的图象有且仅有两个不同的公共点，则〃的取值范围是

12.(5分)已知y=/(x)是奇函数，定义域为[-1,1],当x>0时，/(x)=|&)2XT一列

-1(a>0,aGQ),当函数g(x)—f(x)-f有3个零点时，则实数t的取值范围

是.

二、选择题(本大题满分20分，每小题5分)

13.(5分)若a,b为实数，则是“工>1”的()

a

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

14.(5分)若1一夜i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程/+bx+c=0的一个复数根，则

()

A.b=2,c=3B.。=2,c=-1C.b=-2,c=-1D.b=-2,c=3

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15.(5分)设函数/'(x)=sin(x-看)，若对于任意ae|-半，在区间［0，〃?］上总存

在唯一确定的0,使得/(a)+f(p)=0,则团的最小值为()

1171771

A.—B.—C.—D.IT

626

16.(5分)对于定义在R上的函数/(x),若存在正常数a,b,使得f(.x+a)Wf(x)+b

对一切x€R均成立，则称/(x)是“控制增长函数”.在以下四个函数中：

®f(x)=7+x+l②/(x)=(x)=sin(x2)®f(x)=x・sinx是“控制增长函数”

的有()

A.1B.2C.3D.4

三、解答题(本大题共5题，满分76分)

17.(14分)已知复数z=4•(旄R),三是实数，i是虚数单位.

1+1

(1)求复数z；

(2)若复数(加+Z)2所表示的点在第一象限，求实数的取值范围.

18.(14分)已知函数/(x)=2V5sinxcosx+2cos2%.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,a=7,b=3,/(A)=2,

求△ABC的周长.

19.(14分)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主

要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年1月起开展网络销售与实体店体

验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验

安装的费用f万元之间满足函数关系式已知网店每月固定的各种费用支出为

3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”

与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和(即每件产品的售价定为32X

150%+盘兀).

(1)建立月利润y关于x的函数关系式，并写出定义域：

(2)求该公司最大月利润.

20.(16分)设数列｛念｝的前〃项和为S”，若=3皿42(n£N*),则称｛斯｝是“紧密数

2an

列

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3981

(1)已知数列传〃｝是“紧密数列”，其前5项依次为1,一,一,x,—,求x的取值范

2416

围；

(2)若数列｛即｝的前〃项和为S”=/(〃2+3〃)(〃€N*),判断｛““｝是否是“紧密数列”，

并说明理由；

(3)设｛斯｝是公比为,/的等比数列，若｛斯｝与｛SQ都是“紧密数列”，求q的取值范围.

21.(18分)对于定义在。上的函数/(x),若对任意“GA,不等式f(x)W/(x+a)对一

切在。恒成立，则称函数/(X)是“A控制函数”.

(1)当4=｛-1｝,判断/(k)=-2x,g(x)=6x+l是否是“A控制函数”；

(2)当A=(I,2),f(x)=log2(x+j),xe[m,+~),若函数/(x)是“4控制函数”，

求正数，”的取值范围；

(3)当4=｛-2,小花｛1,3,5｝,。为整数集，若函数f(x)是“A控制函数”且均

为常值函数，求所有符合条件的，的值.

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2022年上海市浦东新区高考第一次模拟数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：（本大题满分54分，其中1-6题每小题4分，7-12题每小题4分.）

1.（4分）已知集合4={xl?-2x-320},B={x|-2Wx<2},则448={次-2WxW-

u_-

【解答】解：由A中不等式变形得：（X-3）（x+1）20,

解得：xW-1或x23,即A={x|xW-1或x23},

：B={x|-2WxV2},

.•.An8={x|-2WxW-1},

故答案为：{M-2WxW-1}

2.（4分）函数y=arcsin（x-1）的定义域为[0,2].

【解答】解：函数y=arcsin（x-1）中，

令-IWX-IWI,解得0WxW2,

所以函数的定义域为[0,2J.

故答案为：[0,2].

3.（4分）在等差数列{斯}中，若3+53=8,则其前15项和乱5=60.

【解答】解：由{%}是等差数列,得S15=苧（<7!+<715）=苧（43+413）=苧x8=6.

故答案为：60.

4.（4分）方程k>g2（x）+Iog2（x-3）=2的解x=4.

【解答】解：依题意，「>°，解得x>3,且10g2[x（x-3）]=2,即/-3元=4,解

1%-3>0

得x=-1或x=4,

又x>3,

・・・x=4,即方程的解为x=4.

故答案为：4.

5.（4分）若函数/（尤）=1082（1+1）+。的反函数的图象经过点（4,1）,则实数4=3.

【解答】解：函数/（x）=log2（x+1）+。的反函数的图象经过点（4,1）,

即函数/（x）=log2（x+l）+4的图象经过点（1,4）,

.*.4=log2（1+1）+a

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***4=1+cif

a=3.

故答案为：3.

iii11

6.(4分)设/(〃)=—T-T+-------F5"~(〃€N),贝！J/(〃+l)-/(〃)=----------------.

Jn+1n+22nJJ—2n+l2n+2-

【解答】解：•"(")=+H------F-J-(HGN),

ftIJLILI乙乙，l

・，/八1,11,1.1,1

♦J(n+1)=帝+帝+…+而++

11111111

/.Kn+1)-火〃)=(---+----+•••4--+---------+---------)-(------+-------4-•••+—)

n+271+32n271+12九+271+171+22n

=1]________1_

一2九+1+2九+2n+l

11

―2九+12n+2*

7.(5分)若正数1,y满足一+x=4,贝。的最大值为4.

yy

【解答】解：•・•正数尤，y满足工+x=4,

y

^•x=4—^=~~~^*0»解得丁>/.

x4v-14111-1

，―=——=———=—(——2)2+4,当—=2(y=5)时取最大值4.

yy2yy2yy2

的最大值为4.

y

故答案为：4.

2XY<n

；-的值域为(-8,1],则实数〃7的取值范围是

{—X2+m,x>0

(0,11.

【解答】解：x<0时：/(x)=2*(0,1].

x>0时，f(x)=-/+m，函数的对称轴x=0,/(1)在(-8,0)递增，.*./(x)=

-f+mV/x,

23x0

一的值域为(-8,]],

(-x2+m,x>0

故

故答案为：(0,1].

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9.(5分)等比数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，若对于任意的正整数我,均有或)「)

n->oo(SSk

成立，则公比q=_J_.

【解答】解：等比数列｛斯｝的前〃项和为S”

对于任意的正整数k,均有以=lim(S,「Sk)成立,

ACln=Cl\(^11，

%(1-甲)

Sn=

i-q'

(S〃-R

ak=7l1imT8S)

ai(qk-q")

lim

n->ool-<7

当&=2时,

ai(q2-q”)

lim

42=n->ool-q

『/,

nU-»m8♦q

2

q二

Q-zQzq

1in12(q2—n

=a=nT718q—q=nUtm8q),

2o

4-4r

1)

vf%--o

解得4=2，或q=o(舍).

.,♦公比q=.

,,…,1

故答案为：

10.(5分)设/(x)是定义在R上以2为周期的奇函数，当x6[0,1]时，/(x)=log2(x+l),

则函数/(x)在(5,6]上的解析式f(x)=函og2(7-x).

【解答】解：因为/(x)是定义在R上以2为周期的奇函数，当x6[0,1]时，f(x)=log2

(x+1),

设(5,6],则X-6E(-1,0],

故-(x-6)G[0,1),

则f(x)=f(%-6)=-/I-(x-6)]=-log2(6-x+1)=-log2(7-x),

所以函数/(k)在(5,6]上的解析式/(x)=-log2(7-x).

故答案为：-k)g2(7-x).

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11.(5分)设a>0,函数/(x)=x+2(1-x)sin(ar),x&(0,1),若函数y=2x-1与

y=f(x)的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是手］—

66

【解答】解：函数y=2x-1与y=/(x)的图象有且仅有两个不同的公共点,

即方程2x-l=x+2(1-x)sin(ax')有两不同根,

也就是(x-1)(2sintw+l)=0有两不同根,

xE(0,1sinax=—/在(0,1)上有两不同根.

Vn>0,，依二普+2%7或〃工=+2/CTT,kEZ.

XVxG(0,1),且”>0,

等6aVI

.'.0<ax<a,仅有两解时,应有

、6a

则,lln狂1等97T

197r

•二。的取值范围是(:一，v]-

6

-…A,UTT197r

故答案为：C—-.——］•

66

12.(5分)已知y=/(x)是奇函数，定义域为［7,1］,当x>0时，/(x)=|(》2"1一训

-1(a>0,a€Q),当函数g(x)=f(x)-f有3个零点时，则实数t的取值范围是

11

(一1,-1]U{0}U[i,1)_.

【解答】解：当XC(0,1］时，易知函数y=(》2x-i—单调递减，且Xf。时，y-2,

：.f(X)=|(32"-1一/|-1在(0,1］的大致图象如下,

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又函数/（X）是定义在[-1,1]上的奇函数，故函数/（X）的图象如下,

要使函数g（x）=f（x），有3个零点，只需函数y=/（x）的图象与直线y=f有且仅

有3个交点，

由图象可知，£€（—1,—刍U{0}Ug,1）.

故答案为：（一L-1]U{0}U[J,1）.

二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）

13.（5分）若a,力为实数，则％<1"是>1"的（）

a

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

1

【解答】解：由—>1,可得OVaVl,

a

11

故由〃VI,不能推出一>1,所以是一>1的不充分条件，

aa

1i

由->1,可推出"VI,所以〃V1是一〉1的必要条件，

aa

1

故。VI是一>1的必要不充分条件，

a

故选：C.

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14.(5分)若是虚数单位)是关于x的实系数方程/+公+c=0的一个复数根，则

()

A.b=2,c=3B.b=2,c=-1C.b=-2,c=-1D.b=-2,c=3

【解答】解：是关于x的实系数方程f+6x+c=0的一个复数根,

.,.1+V2/是关于x的实系数方程/+云+°=0的一个复数根,

.fl-V2i+1+V2i=-b

*1(1-720(1+720=c解得b=-2,c=3.

故选：D.

15.(5分)设函数/'(x)=sin(x-看)，若对于任意ae［一系,-刍，在区间［0,〃“上总存

在唯一确定的0,使得/(a)+f(p)=0,则加的最小值为()

兀7177r

A.—B.-C.—D.7i

626

【解答】解：因为f(%)=sinQr-—如

所以X—看6［—71,—冬］,

所以f(X)W［—苧，0］»即/(a)E［-0］,

由在区间［0,M上总存在唯一确定的0,使得f(a)+/(P)=0,

V3

则在区间［0,上总存在唯一确定的0,使得/(0)6［0,

27r1TCTCV3

由函数/(x)在［0,工­］为增函数，值域为：［一亍1］,又/(二)=sin—=―,

3/232

即心去故〃?的最小值为：P

故选:B.

16.(5分)对于定义在R上的函数/(x),若存在正常数”，江使得/(尤+a)Wf(x)+b

对一切X6R均成立，则称/(X)是“控制增长函数”.在以下四个函数中：

①/'(x)=7+x+l②/(x)=Ji五③/"(x)=sin(x2)@f(x)=x，sinx是“控制增长函数”

的有()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：对于①，f(x+a)Wf(x)+6可化为：(x+a)2+(x+a)+lW/+x+l+6,

即2ar<-a2-a+b,即x<也对一切x€R均成立，

由函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a、b,故f(x)=f+x+l不是“控制

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增长函数”；

对于②，若#x)=何是“控制增长函数"，则火x+〃)W/(x)+万可化为:庐国<娴+b,

仅+。区卜|+/+2%/]可恒成立，又|x+a|W|x|+a,

2a

|x|+^+2fe1/ixi,/.yjx[>~^-,显然当aW启时式子恒成立，

.V(x)=闹是“控制增长函数”；

对于③，：-IW/(x)=sin(x2)Wl,/./(x+iz)-f(x)W2,

当匕22时，a为任意正数，使/Xx+a)W/(x)+b恒成立，故/(x)=sin(x2)是“控

制增长函数”；

对于④，若fG)=xsinx是“控制增长函数"，则(x+a)sin(x+a)Wxsinx+b恒成立，

(x+a)sin(x+a)Wx+“，需x+aWxsinx+bWx+b,即“Wb,

：.f(x)=xsiar是''控制增长函数”.

综上，是“控制增长函数”的有3个.

故选：C.

三、解答题(本大题共5题，满分76分)

17.(14分)已知复数Z=〃M€R),三是实数，，・是虚数单位.

1+1

(1)求复数Z；

(2)若复数(巾+Z)2所表示的点在第一象限，求实数机的取值范围.

【解答】解：(1),:z=bi(b€R),

.z—2bi—2(bi-2)(1—i)b—2b+2.

■*1+7=1+i=(i+i)(i-0=~T'+-2~1,

:・b=~2,即z=-2i.

(2)Vz=-2z,〃店R,

(m+z)2=(A77-2/)2=加2-4加+4,2=(川-4)-4加,

・・•复数(m+z)2所表示的点在第一象限，

fni2—4〉0

\，解得mV-2,即mE(-8,-2).

1―4m>0

18.(14分)已知函数/(%)=2Bsinxcos%+2cos2；t.

(1)求函数/G)的单调递增区间；

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(2)在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,4=7,b=3,f(A)=2,

求△ABC的周长.

【解答】解：(1)/(%)=2y/3sinxcosx+2cos2x=V3sin2x+cos2x+l=2sin(2%+,)+1,

令2Ali-为看W2An+*k£Z,解得左n—掾卷，％EZ,

可得函数/⑴的单调递增区间为同一全内i+J依Z.

⑵/(A)=2sin(2A+Q+1=2,可得sin(2A+Q=p

冗冗1371

因为AC(0,IT),2A+Z€(一,---),

666

所以24+左=咨可得A=不

又a=7,b—3,

所以由余弦定理a2=b1+c2-2hccosA,可得49=9+<?-2x3xcxi,即c2-3c-40=0,

解得c=8,或-5(舍去)

所以△ABC的周长=7+3+8=18.

19.(14分)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主

要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年1月起开展网络销售与实体店体

验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验

安装的费用f万元之间满足函数关系式》=3-告.已知网店每月固定的各种费用支出为

3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”

与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和(即每件产品的售价定为32X

150%+&兀).

(1)建立月利润y关于x的函数关系式，并写出定义域：

(2)求该公司最大月利润.

99

【解答】解：(1)由x=3—扛7得t=---1(0<%<3),

t+13-x

所以月利润为y=(32X1.5+白)x-32x-3-16x—3：.—.(0<x<3)；

(2)由(1)y=16x-5T?-1=45.5-[16(3-x)+^-]<45.5-2V16=37.5,

当且仅当16(3-x)=心，即x=¥时取到等号，

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所以月利润的最大值为37.5万元.

20.(16分)设数列｛斯｝的前八项和为％,若=S皿S2(nCN*),则称｛斯｝是“紧密数

2°n

列”.

39QI

(1)已知数列｛斯｝是“紧密数列”，其前5项依次为1,X,―,求x的取值范

围；

(2)若数列｛如｝的前〃项和为S"=J(/+3”)(〃eN*),判断｛金｝是否是“紧密数列”，

并说明理由；

(3)设｛〃“｝是公比为q的等比数列，若｛〃”｝与｛&｝都是“紧密数列”，求q的取值范围.

81

*1Y]-Q1Q

【解答】解：(1)由题意得：-<—<2,-<—<2,解得二70工亍

2-2X322

4

(2)由S〃=,(/+3〃)(隹N*),

=2

〃22时，anSn-5/?-1=T(/+3〃)—4[(〃-1)+3(n-1)]=in+i,

44LL

〃=1时，4|=S|=1,对于上式也成立.

11

因此斯=2"+2,

.£n+i_加+1咒,1

•.而一1n+i-

因为对任意"CN"，0<九：[W,,即1VI+jW去

<如1<2(〃€N*),

2即

即数列｛斯｝是“紧密数列”.

(3)由｛如｝是公比为q的等比数列，得4=粤」，

an

・・・｛斯｝是“紧密数列”，.・，WqW2.

,Sn+in+11

①当4=1时，Sn=na\,——=---=1+-，

Snn几

13

••©=1时，数列｛5｝为“紧密数列"，故q=l满足题意.

②当"W1时，S尸智茅，

第12页共14页

则如=安，

n

Snl-q

;数列｛5｝为“紧密数列”，

1l-an+1

：.-<-----<2,对任意正N*恒成立.

2l-qn

11

(i)当5〈qVI时，-(1-qn)<1-^+1^2(1-qn),

q”(2q—1)<1_*>

即"n〉"二1，对任意“€TN恒成上.