2022届高考数学必练题及答案

2022年高考数学考前必练题

1.如图，在三棱锥P-Z8C中，D,E,尸分别为棱PC,AC,的中点.已知力

PA=6,AB=BC=AC=8,DF=5.

(1)求证：平面2Z)E_L平面Z8C；

(2)求二面角/-PC-8平面角的余弦值.

【分析】(1)连接8。，利用勾股定理证明。尸，由。EJ_/C,结合线面垂直的判定

定理，得到。平面再根据面面垂直的判定定理证明即可；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面P8C的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】解：(1)证明：连接8。，

1

因为。，E为PC,NC中点，所以DE=*P4=3,

1

又E,F为AC,中点，所以EF=5BC=4,

又DF=5,DE1+EF1=DF1,

故NDEF=90°,B[JDELEF,

因为。E〃刈，PA1.AC,所以。EJ_ZC,

又ACCEF=E,AC,EFu平面/8C,

则£>£1_!_平面ABC,又DEu平面BDE,

故平面80E_L平面/8C；

(2)由(1)可知，E为/C中点，AB=BC=AC,则3EL4C,

又。E_L平面/8C,BEanABC,则。E_L8E,

又DECAC=E,DE,/Cu平面HC,

所以8E_L平面以C,即BE,EC,两两垂直，

以E为坐标原点，以EB,EC,ED所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标

系,

则B(4g,0,0),C(0,4,0),D(0,0,3),

所以盛=(一4旧，4,0),CD=(0,-4,3),

因为5E_L平面以C,

则平面/MC的一个法向量为蓝=(1,0,0),

设平面P8C的一个法向量为蔡=(x,y,z),

则F,呼=。

<n-CZ)=0

令x=g,则y=3,z=4,故7=(遮，3,4),

所以cos〈h疥=舌告=焉方=等，

17nH兀|1XNV/

设二面角N-PC-8大小为仇由图可知。为锐角，则cos。=等,

V21

故二面角A-PC-B平面角的余弦值为二丁.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判

定定理，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐

标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

2.如图，在四棱锥尸-/8C。中，AB=BC=V5,AC=4,AD=DC=2&,点、。为AC

中点，尸。上底面”BCD,尸0=2,点〃为棱尸C的中点.

(I)求直线P8与平面40/所成角的正弦值；

(II)求平面/DW和平面ZCM夹角的余弦值：

(III)记棱的中点为N,若点0任线段OP上，且N0〃平面ZDM、求线段O0的

长.

【分析】(I)连接。8,建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，

然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可；

(II)求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可；

(III)设线段。。的长为力(0WAW2),求出点。和N的坐标，表示出向量布的坐标,

将NQ〃平面力。例转化为&•£=0,由向量垂直的坐标表示求解即可.

【解答】解：(I)连接。8,因为/8=8C,AD=DC,。为NC的中点，

所以点。在。8上且。8_L4C,又POJ_平面Z8C。，

则08,OC,O尸两两垂直，

以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

由题意可得，08=1,0/)—2,

则。(0,0,0),A(0,-2,0),B(1,0,0),C(0,2,0),

D(-2,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1),

所以G=(-2,2,0),AM=(0,3,1),

设平面ZDW的法向量为£=(x,y,z),

则旧-AD=0即成普。=°

•AM—0

令y=l,则x=l,z=-3,故£=(L1,-3),

又丽=(1,0,-2),

77/55

所以|cos<PB,£>|=尊同

\PB\\n\Jl+l+9xJl+455

,7V55

故直线PB与平面力。例所成角的正弦值为一^—；

(II)由(I)可知，OBVAC,又0B1P0,且/CCPO=O,AC,POu平面ZMC,

所以08_L平面4WC,

故品=(1,0,0)是平面4MC的一个法向量，

由(I)可知，n=(1,1一3)是平面的一个法向量,

T->-----

|08力|二1二回

因此|cosVOB,n>|—

|05||n|1x71+1+911

<11

所以平面/DW和平面4CW夹角的余弦值为不-；

(III)设线段。。的长为〃(0—),则点。的坐标为(0,0,〃),

由已知可得额点N的坐标为(-1,0,1),则病=(1,0,/i-1),

由N0〃平面ADM,则NQ1n,

TT4

所以NQ-n=0,即1-3Ch-1)=0,解得h=3[0,2],

【点评】本题考查了空间向量在立体几何的综合应用，主要考查了线面角、二面角的求

解，空间距离的求解，线面平行的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合

适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

3.如图，且NO=2BC,ADLCD,EG〃/。且EG=/。，CD〃FG旦CD=2FG,

。6_1_平面/88,DA=DC=DG=2.

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：〃平面CDE；

(2)求二面角E-8C-尸的正弦值.

【分析】(1)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用

待定系数法求出平面CZ5E的法向量，由向量垂直的充要条件，证明疝V_L3),由此可证

明结论；

(2)利用待定系数法求出平面2CE和平面8CF的法向量，然后由向量的夹角公式以及

同角三角函数关系式求解即可.

【解答】解：(1)证明：以。为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

所以£>(0,0,0),4(2,0,0),8(1,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(以

3

I，1),N(l,0,2),

则辰:=(0,2,0),DE=(2,0,2),

设平面CDE的法向量为五=(x,y,z),

则

zx

(n0DE=0+zz-u

令N=-1,则x=l,故元)=(L0,-1)，

-3

又MN=(1,-2，1),

——a

所以

MN-no=lxl+Ox(-|)+(-1)x1=0,

故疝VI五，因为MVU平面CDE；

故MV〃平面CDE；

—♦

(2)由题意可得，BC=(-1,0,0),BE=(1,-2,2),CF=(0,-1,2),

设平面BCE的法向量为£=(a,b,c),

1T

则n•BC=0nnf—a=。

-DUa'a—2b+2c=0'

n-BE—0

令c=l,则6=1,故£=(0,1,1),

设平面8cb的法向量为蓝=(p,q,r),

则行田=。,即已