2020-2021学年数学选修2-3学案：12.2组合

1,2.2组合

第1课时组合与组合教公式

Z■目标］1.能分析组合的意义，并能正确区分排列、组合.2。

能记住组合数的计算公式，组合教的性质以及组合教与排列教

之间的关系，并能运用这些知也斛决一些简单的组合应用题、

［重点、1掌握组合教公式，能用组合教公式及其性质进行

计算、化简.

［唯点7组合与排列的区别与联系.

------------------本栏目通过课前自主学习，整合知识,梳理主干,夯基固本

♦细读课本

知识点一组合的概念

C填一填1

一般地，从〃个不同元素中取出皿个元素合成一组,

叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合、

U答一答_7

L组合与排列的概念有何异同点？

提示：共同点：都是“从〃个不同元素中取出根（加口）个元

素”；

不同点：组合“不管顺序并成一组“，而排列是要“模照一定

顺序挑成一列二

2、从a,b,c,d中选取2个，与仇？是同一个组合吗？

提示：是，组合与顺序无关，

知识点二组合数与组合数公式

［一一一］

组合从ri个不同兀素中取出m(mWn)个兀素的所有不

数定同组合的个数，叫做从几个小同兀素中取出m个兀

义素的组合数.

表不法C：

乘积n(n-l)---(n-m+1)

Q二,

组合数形式________mi_________

公式

阶乘C^1=___________

形式m!(n-m}\

「m_z>n-m

L/i-；

性质

mmm-,

cn+I+1=cn+cn

①〃,meN*且mWn

备注

②规定C：=1

U答一答J

3、在组合数公式C错误!中，m,〃应满足什么条件？

提示：m,n€N*,且根口。

4、一个组合与组合数有何区别？

提示：一个组合与组合数是两个不同的概念，根据定义，一个

组合是具体的一件事，它不是一个教；而组合教是所有组合的

个教，灯是I个教.斛题时应分请求组合还是组合教.

5,组合教公式C",〃=错误!与C错误！二错误!在作用上有什么不

同？

提示：C错误！=错误!一般用于求值、计算，而C错误！=错误!一般用

于化简、证明，但二者上述作用不是绝对的，有时要相结合使

用,

♦特别关注

1、对组合的三点认识

(1J组合的特点：组合要求H个元素是不同的，被取出的相

个元素自然也是不同的，即“从n个不同的元素中取出m个元

素”.

(2；组合的特性是：元素的无序性，即取出的根个元素不讲

究顺序，亦即元素没有住置的要求、

(3；相同的组合:根据组合的定义，只要两个组合中的元素完

会相同，不管顺序如何，也是相同的组合.

2、组合教两个性质的应用

要注意性质C错误！=C错误！+C错误!的顺用、逆用、变形

用.顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一"；变形

式C7-1=C错误!-C错误!的使用，为某些项相互抵调提供了方

便，在解题中要注意灵活运用。

W典例讲练破题型/本栏目通过课堂讲练冗动，聚焦重点，剖析难点,全线突破

类型一组合的概念

【例1】判断下列问题是组合问题还是排列问题、

(1)禁铁路上有4个车站，列这条铁路线上共需准备多少种车

票？

(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；

(3；从7本不同的书中取出5本给某个同学.

【分析】判断一个问题是组合问题还是排列问题，关键看

元素之间是否与顺序有关，

[<]门)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲

一乙和乙一甲的车票是不同的，所以它是排列问题.

(2)由于书不同，每人拿到的书也不同，有顺序之分,因此它

是排列问题、

(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中

取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题,

通法提炼

y

排列问题与组合问题的区别是元素之间是否有顺序问题，元

素与顺序无关是组合问题，元素与顺序有关是排列问题。

有甲、乙、丙、丁田人相见，他们相互握手1次，问他们握

手共有多少种不同的组合？

解:将甲、乙、丙、丁按照一定顺序挑好，然后按顺序用如图

所示的方法将各个组合逐个写出：

甲乙丙丁

由图可知他们握手的组合有：甲乙、甲丙、甲丁、乙两、乙

丁、丙丁6种.

类型二组合数的计算与证明

【例2】(1)求值：C5一〃，"+C错误！

(2J证明：C错误！=错误!C错误！。

【分析】门)首先确定〃的值；

(2)按组合教公式的阶乘形式展开、

【斛】(1J由组合教定义知：

错误!所以4s於5,又因为〃WN*,所以〃=4或5。

当几=4时，C?-"+C错误！=C错误！+C错误！=5；

当儿=5时，C错误！+C错误！=C错误！+C错误！=16o

(2J证明：错误!C错误！=错误!•错误！=错误！二C错误!.

通法提炼

(1)关注组合数C：中的隐含条件：mW九，且九eN*,

meN,求解时应检验其结果是否满足这一条件.

(2)组合数公式C；=，—丁的主要作用：一

m!(八一Tn)J

是计算加力较大时的组合数；二是对含有字母的组合数

的式子进行变形和证明.

(1)式子错误!可表示为(D)

A、A错误！B.C错误！

101

C、IOIC/^IOOD.1O1C,,J+ioo

解折：分式的分母是100!,分子是101个连续自然数的尿秋,

最大的为川+100,最小的为儿

故错误！

=101•错误！=101C错误!.

(2)证明：相C错误！=错误！

证明："2C错误！二m•错误！=错误！

=〃•错误！="C错误!。所以原式j成立,

类型三组合的简单应用

【例3】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名、

(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多

少种？

(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少

种不同的选法？

【分析】首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分

步，还是分类.

【解】(U从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，

就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C错误！=错误！=

45o

(2)可把问题分两类:第1类,选出的2名是男教师有C2,6种

2

方法；第2类，选出的2名是女教师有C3种方法，即C,6+

C错误！=21种.

(3)从6名男教师中选2名的选法有C错误!种，队4名女教师中

选2名的选法有C错误!种，根据分步乘法计数原理，共有选法C错误!

XC2，4=错误!X错误！=90种.

通法提炼

斛简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元

素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一

列，与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时,

才能运用组合教公式求出其种数.在解题时还应注意两个计数原

理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏。

禁人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种

股票和7种债券、问：此人有多少种不同的投资方式？

斛：需分两步：

第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C错误!

种选法；

第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C错误!

种选法、

根据分步乘法计数原理，此人有C错误!・C错误！=17325种不同

的投咨方式、

H素养提升

规范解答系列：组合教性质巧用

【例4】（1）计算C错误！+C错误！+C错误！+...+C错误!的值为

A、C错误！B、C错误！

C、C错误！一1D,C错误！一1

(2)求证：C%+2=C〃，机+2C〃T,加+C错误!.

【斛折】n)C错误！+C错误！+C错误！+...+C错误！

=C4,4+C错误！+C错误！+...+C错误！一C错误！

=Cg+C错误！+...+C错误！-1二...

=C错误！+C错误！-1=C错误！一1。

(2)证明：由组合教的性质C错误！=C错误！+C错误!可知，

右边二(C",加+C错误!)+(C错误！+C错误!)

—C%+1+C错误！-C错误！—龙.苴.、

所以原式成立、

【答案】(1；c(2J见解析

【解后反思】本题是组合教公式和组合教性质的应用，多

个组合教的和化简为一个组合数的关键在于掌握性质2两边的

上、下标的特征，并注意观察和分析待化简的组合式的特征、

(1J计算C错误！+C错误!；

(2)已知C错误！=C错误!，求〃；

(3J已知C错误！一C错误！=C错误!，求几的值.

解：(\)C错误！+C错误！=C错误！+C错误！=错误！+200=5150.

(2)由题意得3〃+6=4几-2或3几+6=18-(4n-2),解得〃

=2或〃=8.

而3〃+6518且4〃一2518,即且几WN:

「.H=8不合题意，应舍去，：.n=2。

(3)根据题意C错误！一C错误！=C错误!，变形可得，C错误！=C错误！+C

错误！，

由组合教的性质，可得C2+C错误！=C错误!，即C错误！=(2错误!，

故8+7=〃+1,解得〃=14。

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L给出下面几个问题，其中是组合问题的有(C)

①由123,4构成的2个元素集合；

②五个队进行单循环比赛的分组情况；

③由1,