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文档简介

1二

二元函数的二阶偏导数本节学习目标010203掌握二元函数二阶偏导数的计算规则理解二元函数二阶偏导数定义能熟练计算二元函数二阶偏导数一、二元函数的二阶偏导数二元函数的一阶偏导数仍为自变量的二元函数,还可以考虑它们对自变量求一阶偏导数1.定义后.2二元函数z=f(x,y)的一阶偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)再分别对自变量x,y求一阶偏导数,所得到的偏导数称为二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数,共有四个,分别记作3二元函数的二阶偏导数

42.二元函数的二阶偏导数计算方法已知二元函数,若求其二阶偏导数,必须先求出一阶偏导数,一阶偏导数表达式再对自变量求一阶偏导数,就得到二阶偏导数.5例1求二元函数z=x3y2-5xy4的二阶偏导数解:计算一阶偏导数z'x=3x2y2-5y4z'y=2x3y-20xy3所以二阶偏导数6z″xx=(3x2y2-5y4)'x=6xy2z″xy=(3x2y2-5y4)'y=6x2y-20y3z″yx=(2x3y-20xy3)'x=6x2y-20y3z″yy=(2x3y-20xy3)'y=2x3-60xy2例2

解:计算一阶偏导数

所以二阶偏导数7

在例1与例2中都有关系式:z″xy=z″yx,这反映出在某种条件下计算二阶偏导数的一种规律经过深入的讨论可以得到结论:如果二阶偏导数z″xy与z″yx都连续,则有关系式z″xy=z″yx下面所讨论的二元函数都满足这个结论的条件,因此只需计算三个二阶偏导数.8例3求二元函数z=ex-y的二阶偏导数解:计算一阶偏导数z'x=ex-y(x-y)'x=ex-yz'y=ex-y(x-y)'y=-ex-y所以二阶偏导数9

例4求二元函数z=ysinex的二阶偏导数解:计算一阶偏导数z'x=ycosex·(ex)'x=yexcosexz'y=sinex所以二阶偏导数10

=yex(cosex-exsinex)z″xy=z″yx=excosexz″yy=0二元函数在定义域内点(x0,y0)处的二阶偏导数值为二阶偏导数的表达式中自变量x,y分别用数x0,y0代入所得到的数值.11例5

(a)-2 (b)2(c)-1 (d)112解

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