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文档简介
1第六节
广义积分本节学习目标010203理解广义积分的计算步骤了解广义积分的定义及常见情况能熟练计算常见的广义积分一、广义积分上面所讨论的定积分是以有穷积分区间与有界被积函数为前提的,这样的定积分称为常义积分但是在实际问题中,有时需要考虑有界函数在无穷区间上的积分,这样的积分称为广义积分31.广义积分定义2.广义积分有三种基本情况:
4广义积分代表什么?
显然,有穷闭区间[a,b]当左端点a→-∞时的极限区间就是无穷区间(-∞,b],有穷闭区间[a,b]当右端点b→+∞时的极限区间就是无穷区间[a,+∞),于是有下面的定义.5
定义5.2已知函数f(x)在有穷闭区间[a,b]上连续,那么:
6
7二、广义积分的计算若上述常义积分的极限不存在,则称相应的广义积分发散,这时它无意义,不代表任何数如何计算广义积分?如果函数F(x)为被积函数f(x)的一个原函数,分下列三种基本情况讨论广义积分.81.第一种基本情况
92.第二种基本情况
103.第三种基本情况
114.上述讨论说明:广义积分的计算可以省略极限记号,写成§5.3牛顿-莱不尼兹公式的形式,当然,在原函数表达式中积分变量x用无穷积分限代入,意味着求极限运算在计算广义积分过程中,当然要用到第一章中有关极限的概念、定理与求极限的方法,而且经常应用下列函数的极限121.指数函数观察指数函数y=ex的图形,如图13三、广义积分计算中常用到的函数极限
容易得到极限
可以推广为
142.对数函数观察对数函数y=lnx的图形,如图容易得到极限
153.反正切函数观察反正切函数y=arctanx的图形,如图
容易得到极限
16四、求广义积分步骤综合上面的讨论,求广义积分的步骤如下:步骤1求出被积函数的一个原函数;步骤2计算原函数从积分下限到积分上限的改变量,其中在原函数表达式中积分变量用无穷积分限代入,意味着求极限运算.17例1
18例2
=1-0=119例3
20例4
=-(0-1)=121例5
解:计算广义积分
=kπ再从已知
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