数字信号处理2-2

§3离散时间系统变换域分析

系统函数离散时间系统的Z变换解法系统函数的零极点与频率响应系统的分类全通系统与最小相位系统

1系统函数系统函数与系统的频率响应本节将以系统函数和传输函数为核心来研究系统的变换域分析方法，它们分别是h(n)的Z变换和傅立叶变换。1、系统函数：若系统单位脉冲响应为h(n)，则线性时不变离散系统零状态响应的输入输出关系为：两边取Z变换得

称H(z)为线性时不变离散系统的系统函数，它是单位脉冲响应的Z变换

，即：2

2、系统的频率响应（传输函数）系统函数在单位圆上的Z变换，即单位脉冲响应的傅立叶变换称为系统的频率响应，又称为系统的传输函数。传输函数若给系统输入单频率的复信号，则系统的输出为：物理意义结论：当输入为一个单频率的信号时，输出亦为同一频率的信号，但其幅度与相位都因为的加权而发生了变化，且的值是随频率的变化而变化的。3系统的因果性与稳定性系统函数稳定因果系统的收敛域为:因果系统的系统函数H(z)具有包括∞点的收敛域:

系统稳定的充要条件：系统函数H(z)的所有极点都必须在单位圆内。

例：若系统函数如下式，判断系统的因果性和稳定性。

H(z)有2个极点，和，给定的收敛域为，包括无穷远点，故系统为因果系统。但收敛域不包括单位圆，因此系统是不稳定的。

解：若将收敛域改为，这时，收敛域包括单位圆，但不包括无穷远点，此时系统稳定但非因果。实际上这时系统的单位脉冲响应为，显然不是因果的。该例表明:①同一个系统函数，如果收敛域不同，系统的特性是完全不同的。②由于任何物理可实现系统都必定是因果的，对于这种非因果但稳定的系统，有时可采用将单位脉冲响应截取一段后保存在存储器中，通过延时使之变成因果系统来近似实现。如该例中，若将截取从的一段，然后令：来近似实现，如图所示。显然N越大，近似程度越好，但系统也就越复杂成本也越大。4离散时间系统的Z变换解法零状态响应的解法当输入x(n)为因果序列时，线性时不变离散系统的常系数差分方程描述为：在系统初始状态为零，即y(n)=0(n<0)时，对上式两边取双边Z变换，由Z变换的移位特性并经整理可得：由卷积定理，当x(n)给定时就可由下式求得响应：5离散时间系统的Z变换解法初始状态不为零的解法经整理得到：

对差分方程两边进行单边Z变换，并利用单边Z变换的移位特性，得到：零状态响应零输入响应6典型例题对差分方程两边作单边Z变换得：收敛域为。求逆Z变换得：

初始条件y(-1)=1求输入信号x(n)=u(n)时系统的响应。已知系统的输入输出满足以下差分方程：例：解：零输入响应零状态响应7系统函数的零极点与频率响应极零点对其进行因式分解得：

系统函数为两多项式之比H(z)的零点H(z)的极点系统的频率响应对于稳定系统，其极点应全部位于单位圆内，或单位圆包括在收敛域内，其傅立叶变换存在。将代入H(z)

，得到系统的频率响应：

8极零点分布与系统的频率响应系统函数的零极点与频率响应9系统函数的零极点与频率响应系统的频率响应特性系统的幅频特性：系统的相频特性：

由幅频特性可知：①当频率点变到极点附近时，Pk就变小，就会在该极点附近的频率出现峰值，极点越接近单位圆，峰值就越尖锐；同样，当频率点变到零点附近时，Qk就变小，就会在该零点附近的频率出现低谷，当零点在单位圆上时，该零点就是传输零点。可见在单位圆附近的零极点对系统的幅频特性有较大的影响。②零点可在单位圆内外，但极点只能在单位圆内，否则系统将不稳定。③而系统的相位响应对幅度特性没有影响。10典型例题例：系统的传输函数为：

当ejω在单位圆上从ω=0逆时针旋转一周时：①在ω=0处，极点到单位圆的距离最短，∴ω=0频率点幅度最大，成为波峰；②在ω=π时，极点到单位圆的距离最长，∴在ω=π频率点幅度最小，成为波谷；③在原点处的零点，对幅度特性没有影响。

已知系统的差分方程为：指出系统函数的零极点并分析系统的频响特性。解：∴极点为，零点为幅度特性：

相位特性：

系统频响特性为低通特性11系统的分类IIR系统和FIR系统的定义根据离散时间系统的单位脉冲响应h(n)在时域中的长度可将其分为两种类型：①当h(n)的长度为无限长时称为无限长脉冲响应系统，简称为IIR系统。②当h(n)的长度为有限长时称为有限长脉冲响应系统，简称为FIR系统。通常可以根据系统函数的零极点来判断系统是IIR系统还是FIR系统。

无限长单位脉冲响应（IIR）系统一方面，∵h(n)无限长，实际计算中即使x(n)已知，也无法通过卷积，求得系统的响应y(n)，只能用求解差分方程或Z变换的方法求得y(n)。另一方面，∵IIR系统中至少有一个ak≠0（k=1,2,…），其差分方程表达式(设a0=1)为：可见输出不但与输入有关，还与以前的输出及其加权值有关，即系统中存在着输出对输入的反馈回路。这种结构常被称作为递归结构，在求解差分方程时需采用迭代的方法。

12有限长单位脉冲响应（FIR）系统系统的分类对于FIR系统，∵它的h(n)为有限长，若已知输入x(n)，可通过卷积直接算出输出y(n)。例如假定h(n)取值范围为0≤n≤N-1则:

另一方面，若直接由差分方程来求输出，由于所有ak=0（k=1,2,…），此时差分方程变为:

可见：其输出仅与当前及以前的输入有关，与以前的输出无关，不存在着输出对输入的反馈，这种结构通常又被称为非递归结构。

13全通系统与最小相位系统全通系统若系统的幅度特性为:

则称该系统为全通系统。全通系统的频率响应还可表示为:N阶全通系统的系统函数为：满足全通定义14全通系统与最小相位系统一个N阶的全通系统的系统函数可化为一阶或二阶系统乘积的形式：其中，ai为系统函数的极点。若系统函数是实有理分式，则a1k、a2k为实数。

设为H(z)的极点,则一定为零点,对实有理分式的H(z),zk,pk还应为共轭成对。这样全通系统的零极点相对单位圆是镜象共轭成对的，零点全部在单位圆外,如图所示。全通系统的零极点的分布特点及幅度特性稳定的全通系统函数的幅度性质15全通系统的相位特性全通系统与最小相位系统性质2

对实稳定全通系统，当频率ω从0变化到π时，N阶全通系统的相位的改变为Nπ。

性质1

全通系统相位特性随频率单调下降，即:

系统的群延时定义据性质1知：式中

代表N阶全通系统的群延时

据性质2知：16最小相位系统全通系统与最小相位系统定义:零极点都在单位圆内的系统称为最小相位系统；系统函数的零点都在单位圆外的系统称为最大相位系统；单位圆内外都有零点的系统称为混合相位系统。设系统具有M个零点，单位圆内有mi个，单位圆外有mo个，有N个极点，单位圆内有ni个，单位圆外有no个。对稳定系统no=0，N=ni。当频率ω由零变到2π时，稳定系统的相位改变量为：当系统函数的所有零点都在单位圆内时mo=0，∴当ω由0变到2π时：最小相位系统的相位改变量为0。17全通系统与最小相位系统最小相位系统的特性

式中H(z)为非最小相位系统

Hmin(z)最小相位系统

HA(z)全通系统的传输函数

性质1

任何非最小相位系统都可以由最小相位系统和全通系统相级联构成。即：

性质2

最小相位系统的具有最小群延时和最小相位滞后特性。即最小相位系统的相位滞后总是小于所有其它具有相同幅度响应的系统的相位滞后，这也就是最小相位系统名称的来由。

推论

全通系统的相位在[0，p]范围内为非正值。

性质3

最小相位系统具有能量延时最小的特性。18§4希尔伯特（Hilbert）变换

Hilbert变换与解析信号实因果信号傅里叶变换的实部与虚部、对数幅度与相位的Hilbert变换关系Hilbert变换是信号分析中的重要工具。Hilbert变换可以用来构造解析信号，使信号仅含正频率成分，从而可降低信号的抽样率。Hilbert变换关系还可以用来表示带通信号，从而为无线电通信中的信号调制提供了一种方法。19Hilbert变换与解析信号连续时间信号实连续时间信号的Hilbert变换定义为：

显然可以看成是通过一单位冲激响应为的变换器的输出若记，则结论：Hilbert变换器是幅频特性为1的全通滤波器。信号x(t)通过Hilbert变换器后，其负频率成分作+90°相移，而正频率成分作－90°相移。其幅频、相频特性为：20Hilbert反变换Hilbert变换与解析信号由时域卷积定理有：由此可得：Hilbert反变换的公式解析信号设为的Hilbert变换，定义为信号的解析信号(analyticsignal)。21Hilbert变换与解析信号结论：由Hilbert变换构成的解析信号，只含有正频率成分，且是原信号正频率分量的2倍。注意：与抽样定理相比，将x(t)构成解析信号后，由于z(t)只含正频率成分，最高频率仍为Ωh，这时只需Ωs≥Ωh即可保证由x(n)恢复出x(t)，从而可降低抽样频率。

22例Hilbert变换与解析信号设，求其Hilbert变换及解析信号解：∴解析函数为:

可以证明，若

则其Hilbert变换

∴的Hilbert变换为：23Hilbert变换与解析信号离散时间信号设Hilbert变换器的单位抽样响应为h(n)，与连续信号Hilbert变换器的频率响应H(jΩ)对应，h(n)的频率响应H(ejω)为：作H(ejω)的傅里叶反变换，求得：

离散时间信号的Hilbert变换记为：∴的Hilbert变换为：求得后，即可构成的解析信号24Hilbert变换与解析信号Hilbert变换的三条性质性质1信号或通过Hilbert变换器后,信号频谱的幅度不发生变化。

性质2

实信号与其Hilbert变换信号相互正交。即与、与是相互正交的。性质3若的Hilbert变换分别是

，且

则离散信号亦然25实因果信号傅氏变换与Hilbert变换实因果信号的特性若序列为因果序列，则：

其中x(n)的偶对称序列x(n)的奇对称序列为实数因果序列26实因果信号傅氏变换与Hilbert变换实因果信号的特性展示将实因果序列用它们的偶对称序列或奇对称序列展示过程：

27实因果信号傅氏变换与Hilbert变换实因果信号的特性若记结论：对于实因果信号，可单独由其偶对称序列恢复出来；除这一点外，也可由其奇对称序列单独恢复。实因果信号