高考理科第一轮复习课件(6.7数学归纳法)

第七节数学归纳法1.数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与________有关的数学命题的一种方法.它的根本步骤是:(1)验证:________________(如n0=1或2等)时,命题成立;(2)在假设当_________________时命题成立的前提下,推出当______时,命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对______________________都成立.正整数n当n取第一个值n0n=k(k∈N+,k≥n0)n=k+1一切从n0开始的正整数n2.数学归纳法的框图表示n=k+1时命题也成立正整数n所有的判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.()(4)不管是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.()【解析】(1)错误.用数学归纳法证明时,第一步是验证当n取第一个可取值时结论成立,第一个可取值不一定是1.(2)错误.例如,证明等式时,也可直接运用等比数列的求和公式证明.(3)错误.用数学归纳法证明问题时,归纳假设必须用上,否那么就不是用数学归纳法证明.(4)错误.用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时项数不一定都增加了一项.(5)正确.当n=1时左边式子一共有4项,为1+2+22+23.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√1.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4,n∈N+)第一步应验证n等于()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选D.由n≥4,n∈N+可知,应验证n=4时不等式成立.2.假设那么f(1)为()【解析】选D.3．用数学归纳法证明：(n∈N+且n>1)时，在第二步证明从n＝k到n＝k＋1成立时，左边增加的项数是()(A)2k(B)2k-1(C)2k-1(D)2k+1【解析】选A.增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k，应选A.4．用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N+)，由n=k到n=k+1时，等式左边的变化是()(A)多乘了(2k+1)(B)多乘了2(2k+1)(C)多乘了(2k+1)(2k+2)(D)多乘了2(k+1)(n∈N+)【解析】选B.当n=k时，左边=(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1时，左边=［(k+1)+1］[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1),所以多乘了2(2k+1).5．在数列{an}中，a1＝且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，a4，猜测an的表达式，其结果是.【解析】由且Sn=n(2n-1)an得，而可得答案：考向1用数学归纳法证明等式【典例1】(2013·延安模拟)用数学归纳法证明【思路点拨】利用数学归纳法的根本步骤进行证明.【标准解答】(1)当n=1时，左边=12=1,右边等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，即12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2当n=k+1时，∴当n=k+1时，等式成立,∴当n∈N+时，等式成立.【拓展提升】用数学归纳法证明等式的注意点(1)明确等式两边项的构成规律，弄清由n=k到n=k+1时左边的项是如何变化的，由此明确变形的目标.(2)注意合理利用恒等变形的常用方法.例如,因式分解、添拆项、配方等.【变式训练】是否存在常数a，b，c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝对一切正整数n都成立？证明你的结论．【解析】把n＝1，2，3代入等式得方程组解得猜测：等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝对一切n∈N+都成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．(2)假设n＝k(k≥1,k∈N+)时等式成立，即那么当n＝k+1时，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2＝[k(3k＋5)＋12(k＋2)]=[3(k+1)2+11(k+1)+10],∴当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)(2)，对n∈N+等式都成立．考向2用数学归纳法证明不等式【典例2】由以下不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.【思路点拨】观察所给出的不等式，其左边是假设干个分式相加，分子都是1，分母由1开始，每一项比前一项大1，最后一项是2n-1，因此左边的式子为不等式的右边是一个分数，依次为由此可得到一般的不等式.证明可采用数学归纳法.【标准解答】根据给出的几个不等式可以猜测第n个不等式，即一般不等式为用数学归纳法证明如下：(1)当n=1时，猜测成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，猜测成立，即那么当n=k+1时，即当n=k+1时，猜测也成立，所以对任意的n∈N+，不等式都成立.【拓展提升】用数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他方法不容易证，那么可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.【提醒】在证明由k到k+1时一定要分清左右两边变化了哪些项.【变式训练】求证：【证明】(1)当n＝2时，左边不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N+)时命题成立，即那么当n＝k＋1时，∴当n＝k＋1时不等式亦成立．∴原不等式对一切n≥2，n∈N+均成立．考向3归纳、猜测、证明【典例3】在数列{an}中，a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+,λ>0).(1)求a2，a3，a4.(2)猜测{an}的通项公式，并加以证明.【思路点拨】利用递推公式将n=1,2,3代入即可求得a2，a3，a4，然后再用数学归纳法证明猜测成立.【标准解答】(1)a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)2＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2)由(1)可猜测数列通项公式为：an=(n-1)λn+2n.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝2，等式成立．②假设当n＝k(k≥1,k∈N+)时等式成立，即ak=(k-1)λk+2k，那么当n=k+1时，ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,即当n＝k＋1时等式也成立，根据①和②可知，等式对任何n∈N+都成立．【拓展提升】解“归纳—猜测—证明”题的关键环节(1)准确计算出前假设干具体项，这是归纳、猜测的根底.(2)通过观察、分析、比较、联想，猜测出一般结论.(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.【变式训练】数列{an}中，且求a3,a4,猜测an的表达式，并用数学归纳法证明你的猜测.【解析】因为且所以同理可求得归纳猜测下面用数学归纳法证明猜测正确.(1)当n=1时，易知猜测正确.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，猜测正确，即那么当n=k+1时，即当n=k+1时，猜测也正确.由(1)(2)可知，猜测对任意正整数都正确.考向4用数学归纳法证明整除问题【典例4】用数学归纳法证明：(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.【思路点拨】在第二步证明中，注意利用归纳假设，对n=k+1时的式子进行合理变形.【标准解答】(1)当n=1时，(3×1+1)×7-1=27能被9整除，命题成立；(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立，即(3k+1)·7k-1能被9整除，那么当n=k+1时，[3(k+1)+1]·7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+6(3k+1)·7k+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k.由于(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除，所以(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k能被9整除，即当n=k+1时，命题也成立，故(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.【拓展提升】证明整除问题的关键——“凑项”证明整除问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.【变式训练】用数学归纳法证明能被13整除，其中n为正整数.【证明】(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，42k+1+3k+2能被13整除，那么当n=k+1时，方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除,∴42(k+1)+1+3k+3能被13整除.方法二：［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)=(42k+1·42+3k+2·3)-3(42k+1+3k+2)=42k+1·13,∵42k+1·13能被13整除，∴［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,∴当n=k+1时，命题也成立,由(1)(2)知，对任意n∈N+，42n+1+3n+2都能被13整除.【易错误区】未运用归纳假设致误【典例】用数学归纳法证明：【误区警示】此题错误在于证明当n=k+1等式也成立这一步骤时，没有运用归纳假设，而是直接利用等比数列的前n项和公式求得这是错误的.【标准解答】①当n=1时，左边=右边等式成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，等式成立，即那么当n=k+1时，即当n=k+1时，等式也成立.由①②知，等式对n∈N+成立.【思考点评】必须运用归纳假设在运用数学归纳法证明问题时，两个步骤缺一不可，尤其是在证明第二步时，一定要运用归纳假设，即运用当n=k时得到的结论，去证明当n=k+1时命题的正确性，否那么，假设没有运用归纳假设，就不是利用数学归纳法证明问题，是错误的.1.(2013·西安模拟)用数学归纳法证明3n＞n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()(A)n=1(B)n=2(C)n=3(D)n=4【解析】选C.∵n≥3，故应验证n=3.2.(2013·九江模拟)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N+)能被8整除时，当n=k+1时，对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为()(A)56·34k+1+25(34k+1+52k+1)(B)34·34k+1+52·52k(C)34k+1+52k+1(D)25(34k+1+52k+1)【解析】选A.∵当n=k时，34k+1+52k+1能被8整除，那么当n=k+1时，34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-52·34k+1+34k+5=(34-52)·34k+1+52(34k+1+52k+1)=56·34k+1+25(34k+1+52k+1),应选A.3.(2013·蚌埠模拟)利用数学归纳法证明“(a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是()(A)1(B)1+a(C)1+a+a2(D)1+a+a2+a3【解析】选C.在验证n=1时，左边应是1+a+a2.4.(2013·上饶模拟)数列{an}的前n项和为Sn，其中且(1)求a2,a3.(2)猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.【解析】(1)∵且∴Sn=n(2n-1)an.当n=2时，a1+a2=S2=2×3a2，当n=3时，a1+a2+a3=S3=3×5a3,∴(2)猜测(i)当n=1时，成立,(ii)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时，成立,那