第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱(魏)

01三月20241第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱知识结构框图非正弦周期信号分解为傅里叶级数非正弦周期信号稳态电路的分析瞬时值、有效值、平均功率分析计算(谐波分析法)对称三相电路的高次谐波对称分量分析法01三月20242

重点1.非正弦周期电流和电压的有效值、平均值;2.非正弦周期电流电路的平均功率；3.非正弦周期电流电路的计算(谐波分析法)。

难点1.响应的叠加；2.电路中LC对不同次谐波的谐振。01三月20243

与其它章节的联系

本章主要讨论在非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。

非正弦周期信号可以分解为直流分量和一系列不同频率的正弦量之和，对每一信号单独作用下的响应，与直流电路及交流电路的求解方法相同，应用叠加定理将各分量的响应叠加得最后结果，是前面内容的综合。01三月20244§13-1非正弦周期信号

生产实际中，会碰到许多非正弦信号，原因有：①激励本身是非正弦信号；

在电气工程、电子信息、自动控制、计算机等技术领域中经常用到非正弦信号，例如交流发电机的输出电压严格地说是非正弦量。②电路中含有非线性元件。例如整流电路等。①不是正弦波；②按周期规律变化。

非正弦周期交流信号的特点f(t)=f(t+nT)01三月20245实践中常见的非正弦周期信号T2T锯齿波T尖顶脉冲T整流波数字电路、计算机的CP等通过显像管偏转线圈的扫描电流晶闸管的触发脉冲等桥式或全波整流电路的输出波形otiotuT方波otuoti01三月20246实践中常见的非正弦周期信号（续）正弦电压在铁心线圈中产生的电流波形三角波PWM调制器的时间基准信号波形半波otuT阶梯波由数字电路或计算机产生的正弦信号整流波T尖顶波otiT2otuTT2otiTT2控制电压01三月20247§13-2周期函数分解为傅里叶级数1.非正弦周期函数的分解

根据高等数学知识：若非正弦周期信号

f(t)满足“狄里赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。系数a0、ak、

bk分别为：f(t)=

a0

+∑[akcos(k

1t)+bksin(k

1t)]k=1∞a0=T1∫0Tf(t)dtak=T2∫0Tf(t)cos(k

1t)dtbk=T2∫0Tf(t)sin(k

1t)dt01三月20248根据给定f(t)的形式，积分区间也可以改为：积分区间也可以是[0～2p]或[-p～p]，例如：=p1∫f(t)cos(k

1t)d(

1t)-pp02pak=p1∫f(t)cos(k

1t)d(

1t)a0=T∫f(t)dt-T/21T/2ak=T2∫f(t)cos(k

1t)dt-T/2T/2bk=T2∫f(t)sin(k

1t)dt-T/2T/2=p1∫f(t)sin(k

1t)d(

1t)-pp02pbk=p1∫f(t)sin(k

1t)d(

1t)a0=∫f(t)d(

1t)12p02p01三月20249

展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信号的对比时不方便，而且数ak、bk的意义也不明确。将展开式合并成电工技术中更为适用的形式

—余弦级数：则f(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(k

1t+

k)式中：A0=

a0Akm=ak2+bk2

k=arctgak

-bkf(t)=

a0+∑[akcos(k

1t)+bksin(k

1t)]k=1∞令

ak=

Akmcos

kbk=-Akmsin

k01三月202410①

A0

是f(t)的恒定分量，或称为直流分量。②k=1的项Amcos(

1t+

1)

具有与f(t)相同的频率，称基波分量。基波占f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。③

k≥2的各项，分别称为二次谐波，三次谐波等。统称高次谐波。Akm=ak2+bk2

k=arctgak

-bkf(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(k

1t+

k)01三月2024112.非正弦周期信号的频谱

f(t)中各次谐波的幅值和初相不同，对不同的f(t)，正弦波的频率成份也不一定相同。为形象地反映各次谐波的频率成份，以及各次谐波幅值和初相与频率的关系，引入振幅频谱和相位频谱的概念。

振幅频谱：

f(t)展开式中Akm与

(=k

1)的关系。反映了各频率成份的振幅所占的“比重”，因k是正整数，故频谱图是离散的，也称线频谱。

相位频谱：指

k与

的关系。f(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(k

1t+fk)01三月202412锯齿波的振幅频谱图

今后若无说明，均指振幅频谱。iotI-IT/2-T/2Ti(t)=p2Icos(

1t-90o)+21cos(2

1t+90o)+31cos(3

1t-90o)+41cos(4

1t+90o)+

锯齿波的傅里叶级数展开式为o

12

13

14

15

1Ikm2IpI2pI3pI4p01三月202413(1)若f(t)是偶函数即满足

f(t)=f(-t)(2)若f(t)是奇函数outT/2-T/2则ak=0，只求bk即可：A0=T2∫0f(t)dtT/2ak

=T4∫0f(t)cos(k

1t)dtbk

=T4∫0f(t)sin(k

1t)dtiotT-T/2T/2T/2T/2即满足

f(-t)=-

f(t)则bk=0。3.波形特征及其与级数分解的关系01三月202414(3)若f(t)为“镜”对称

满足

f(t)=-

f(t±T/2)则a2k=

b2k

=0,

otf(t)T/2T移动半个周期，得另半个周期的镜像知A0是f(t)在一个周期内与横轴围成的面积。t1A由A0=T1∫0Tf(t)dt

所以即使f(t)不是“镜”对称，只要它的正、负半周与横轴围成的面积相等，就有A0=0。另外，对某些f(t)，求A0时也可以不用积分。①无直流分量；展开式中②不含偶次谐波。又称奇谐函数。01三月202415(4)若f(t)为半波对称即满足f(t)=

f(t±T/2)

对某些f(t)，适当移动纵坐标(另选一个计时起点)，就变为偶函数或奇函数。

Akm与计时起点无关，由于ak、bk与计时起点有关，所以

k与计时起点有关，但各次谐波的相对位置不变。也可以先移坐标轴，待求得系数后，再找到原函数的系数。otuT/2-T/2TT是整流电源周期即展开式中不含奇次谐波。则a2k+1

=

b2k+1

=001三月202416例：求右图方波的傅里叶级数展开式及频谱。矩形波电流在一个周期内的表达式为:解：i(t)=Im

，0＜t＜T/20

，T/2＜t＜Toti(t)T/2ImT

t2ppI0=T∫0i(t)dtT1=T∫0ImdtT/21=2Im直流分量:基波、谐波分量:bk

=p∫0i(t)sin(kwt)d(wt)2p1

=p∫0Imsin(kwt)d(wt)p1=0k

为偶数kp2Imk

为奇数=Imkp[1-cos(kp)]01三月202417ak

=p∫0Imcos(kwt)d(wt)p1oti(t)T/2ImT

t2pp=Imkpsin(kwt)0p=0i(t)=2Im(sin

t+31+2Impsin3

t+51sin5

t+…)f(t)=

a0+∑[akcos(k

1t)+bksin(k

1t)]k=1∞代入得i(t)的展开式为(k为奇数)Ikm=ak2+bk2=bk=kp2Im谐波振幅01三月202418owti(t)i(t)

=2Im(sin

t+31+2Impsin3

t+51sin5

t+…)基波分量三次谐波五次谐波直流分量owti(t)取到5次谐波的情况

实用中，根据展开式的收敛速度和误差要求取前几项，高次谐波可以忽略。01三月202419矩形波的幅度频谱矩形波的相位频谱132Impokww3w5w7w11517fkokww3w5w7w-90o

k=arctgak

-bk=-90oAkm=bk=kp2Im01三月202420§13-3有效值、平均值和平均功率①sin、cos在一个周期内的积分为0；回忆三角函数的性质∫02pcoskwtd(wt)=0∫02pcos2kwtd(wt)=p例如(k为整数,下同)③正交性质(k≠q)∫02pcoskwtsinqwtd(wt)=0∫02pcoskwtcosqwtd(wt)=0∫02psinkwtsinqwtd(wt)=0②sin2、cos2

在一个周期内的积分为p；01三月2024211.有效值则I=T∫0Ti2(t)dt若i(t)

=I0+Sk=1∞Ikmcos(kw1t+fk)i(t)2=I02+2I0Sk=1∞Ikmcos(kw1t+fk)+[k=1S∞Ikmcos(kw1t+fk)]2

T1∫0TI0

dt=I0

22第一项第二项T1∫0T2I0Ikmcos(kw1t+fk)dt=01三角函数的性质01三月202422k=1S∞[Ikmcos(kw1t+fk)]2Sk=1∞2Ikmcos(kw1t+fk)

Iqmcos(qw1t+fq)+T1∫0TSk=1∞Ikmcos2(kw1t+fk)

dt

2T1∫0TSk=1∞2Ikmcos(kw1t+fk)(k

q)

整理上述结果得到：Sk=1∞Ikmcos2(kw1t+fk)

2=Sk=1∞Ik

2=Iqmcos(qw1t+fq)dt=0正交性质三角函数的性质01三月202423

结论

同理，非正弦周期电压u(t)的有效值为

当给出的电流或电压是展开的级数形式时，可分别用以上两式计算有效值。U0

+2Sk=1∞Uk

2U=周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。I0

+2Sk=1∞Ik

2I=

非正弦周期电流的有效值与各分量的关系为01三月2024242.平均值IavT1∫0T|

i(t)

|dt

相当于正弦电流经全波整流后的平均值。def直流量的平均值：Iav=T1∫0TI0

dt=I0正弦量的平均值：Iav=T1∫0T|

Imcos

t

|dt0.637Im

0.898I

在实际应用中，对非正弦周期电流或电压的平均值也同样定义为绝对值的平均值。∫Uav=T10T|u(t)|dtIavot|i|TT20.637Im01三月202425

对同一非正弦量,不同类型的仪表测量结果不同:直流仪表(磁电系仪表)表针的偏转角测量结果是直流量。T1∫0Tidta

交流仪表(电磁系仪表)表针的偏转角测量结果是有效值。全波整流(磁电系仪表)表针的偏转角测量结果是平均值。T1∫0Ti2dta

T1∫0T|

i

|

dta

01三月2024263.平均功率任意一端口+-uiP=T1∫0TuidtP=U0I0+∑k=1∞Uk

Ikcosjk设i

=I0+Sk=1∞Ikm

cos(kw1t+fik)u

=U0+Sk=1∞Ukm

cos(kw1t+fuk)利用三角函数的正交性得

u与i参考方向关联,一端口吸收的平均功率为平均功率=直流分量的功率+各次谐波的平均功率。

结论式中：jk=fuk-fik式中，Uk

、Ik

是第k次谐波的有效值；

k

是第k次谐波电流与电压的相位差。01三月202427§13-4非正弦电流电路的计算①分解；②计算；③叠加。把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅里叶级数分解。利用直流和正弦交流电路的计算方法，对直流和各次谐波激励分别计算其响应。将以上计算结果转换为瞬时值迭加。

注意交流各次谐波电路计算可应用相量法，迭加时必须用瞬时值；L、C对直流分量、各次谐波分量的“态度”是不同的：XkL=kwLXkC=-kwC1将通过例题说明。01三月202428例1uS=[10+141.40cos(w1t)+47.13cos(3w1t)

+28.28cos(5w1t)+20.20cos(7w1t)

+15.71cos(9w1t)+

]V,试求i和P。k=

0，C有隔直作用k=

1，基波作用.Im(1)=3

-

j9.45141.40o解：分析步骤①分解；已是级数形式。②分别求各分量单独作用的结果；

注意感抗、容抗与频率的关系！

=14.2672.39oAP(1)=

I(1)2R=21Im(1)2R=

305.02WRC+-uSi3W-j9.45W所以I0=

0，P0=

001三月202429同理可求得：和P(5)、P(7)、P(9)。③用叠加原理，按时域形式叠加k=

3，XC(3)=31XC(1)=-39.45=-3.15W.Im(3)

=3

-

j3.1547.130o

=10.8346.4oAP(3)=

I(3)2R=21Im(3)2R=

175.93W.Im(5)、.Im(7)、.Im(9)i=14.26cos(w1t+72.39o)P=

P0+P(1)+P(3)+

+P(9)

注意：同频率的电压电流构成有功功率。72.39oA,.Im(1)

=14.26P(1)

=

305.02W+10.83cos(3w1t+46.4o)+

=669.8WRC+-uSi3W-j9.45W01三月202430例2：已知u(t)是周期函数(波形如图),求理想变压器原边电流i1(t)及输出电压u2的有效值。L=1/2mH,C=125/F2410.5u/Vt/ms012解：

=2/T=2×103rad/su(t)=12+12cost当u=12V作用时，电容开路、电感短路，有：i1=12/8=1.5A,2

:18

-+uL-+u2Ci1i2u2=0。当u=12cost作用时：XC

=-1/

C=-4

2×103×125

×10-6-

=01三月202431XL=

L=2×103×

210-3=1

XC

=-4

2

:18

-+L-+C.I1.I2-j4

j1

.U212V.I1m

=j4

.U1m=120oj4=-j3A

.U1m=

.Um0oV

.U2m=n1

.U1m=60oVU2==1226=4.243V,i1=1.5+3cos(t-90o)A8

-+C.I1-j4

12V-+

.U1j4

L'副边阻抗j1

折算到原边为j4

。(Zeq=n2ZL)发生并联谐振01三月202432例3：已知求Uab、i及功率表的读数。2u1=220costVu2=220cost+100cos(3t+30o)V22解：三次谐波作用：4402+1002=Uab=451.22V一次谐波作用：.Uab(1)=4400oV.I(1)

=60+j20440=6.96-18.4oA.Uab(3)=10030oV.I(3)

=60+j60=1.18-15oA10030oi

=6.9622cos(3t-15o)A+1.18P=220×6.96cos18.4测量的是u1的功率=1452.92W-+.I

.U1j20

-+

.U2W**60

abcos(t-18.4o)01三月202433例4：已知L=0.1H，C3=1

F，电容C1中只有基波电流，电容C3中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。给定iS=5+20cos1000t+10cos3000tA。LC2C1C3iSi1i2i3200W100W解：

C1、C3“有隔直通交”的作用，所以i2、i3中不含直流分量。I1(0)=5AC1中只有基波电流，说明L和C2对三次谐波发生并联谐振：

I2(0)=I3(0)=0，C2=9w2L1=910mFC3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对基波发生串联谐振：jwC11+j(wL-1/wC2)L/C2=0C1=980mF01三月202434基波作用时发生串联谐振i2(1)=20cos1000tAi1(1)=i3(1)=0

三次谐波作用时发生并联谐振.I3m(3)

=100+200-j103/3100×10=9-j1030=2.2348oA.I1m(3)=.IS(3)-.I3m(3)-11oALC2C1C3iSi1i2i3200W100WiS=5+20cos1000t+10cos3000tALC2C1C3iSi1i2i3200W100W并联谐振i2(3)=0。Z1(3)=100

Z3(3)=200

-j3103

=8.6701三月202435iS=5+20cos1000t+10cos3000tA直流作用时I1(0)=5A，I2(0)=I3(0)=0基波作用时i2(1)=20cos1000tAi1(1)=i3(1)=0

三次谐波作用时的瞬时值i3(3)=2.23cos(3000t+48o)A

i1(3)=8.67cos(3000t-11o)A

按时域形式叠加：i1=5+8.67cos(3000t-11o)Ai2=20cos1000tAi3=2.23cos(3000t+48o)A

.I3m(3)

三次谐波作用时=2.2348oA.I1m(3)=8.67-11oAi2(3)=0。LC2C1C3iSi1i2i3200W100W01三月202436*§13-5对称三相电路的高次谐波设三相电源满足uB=u(wt-120o)uC=u(wt+120o)

三相发电机、变压器、电动机等都带有铁心，所以由它们组成的对称三相电路，其电压、电流都含有高次谐波分量。uA=u(wt)uowt由于电网中的电压是镜对称的，为奇谐函数。所以三相电压的傅里叶级数展开式中仅含有奇次谐波，不含直流和偶次谐波。则称uA、uB、uC为对称非正弦三相电源。iowt平顶波尖顶波01三月2024371.分析以uA、

uB、uC为例的展开式(k为奇数)：注意到三角函数的周期性，展开式可以整理为uA

=Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7)+

+Um(k)cos(kw1t+fk)

uB

=Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t-360o+f3)+Um5cos(5w1t-600o+f5)+Um7cos(7w1t-840o+f7

)uC

=Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+360o+f3)+Um5cos(5w1t+600o+f5)+Um7cos(7w1t+840o+f7

)+

+

Um(k)cos[k(w1t-120o)+fk)]+

+

Um(k)cos[k(w1t+120o)+fk)]01三月202438uA

=Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7)

+

uB

=Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3)

+Um5cos(5w1t+120o+f5)+Um7cos(7w1t-120o+f7

)

+

uC

=Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3)

+Um5cos(5w1t-120o+f5)+Um7cos(7w1t+120o+f7

)

+

讨论(n=0,1,2,3,

)：①基波、7次、、(k=6n+1)次谐波分别是正序对称的三相电压，构成正序组；②5次、11次、、(k=6n+5)次谐波分别构成负序组；③3次、9次、、(k=6n+3)次谐波分别构成零序组。01三月202439

结论三相对称的非正弦周期量(奇谐波)可以分解为3类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序对称组。分析计算时，按3类对称组分别进行。对于正序和负序对称组，可直接引用第12章的方法和有关结论。

下面仅分析零序组分量的响应。01三月202440(1)对称的△电源零序组电压源等幅同相k=3,9,15,

k=6n+3.UA(k)=.UB(k)=.UC(k)=.US(k)在三角形电源的回路中将产生零序环流3Zk3=.I0(k)=.US(k).US(k)Zk.UAB(k)=.UBC(k)=.UCA(k)=.US(k)-.I0(k)Zk=0

整个系统中除电源中有零序组环流外，其余部分的电压、电流中将不含零序组分量。如在环流的作用下零序线电压为零；