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文档简介

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽1、概念的引入S=

第二章极限与连续第一节、数列的极限正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”例如2、数列的定义数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取点:数列是整标函数数列的几何意义.子列的概念:n=19n=32n=42n=503、数列的极限问题:1)当n无限增大时,数列xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何用数学语言描述?2)“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.随着n的增加，1/n会越来越小。我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程度只要n无限增大，xn就会与1无限靠近。引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。如果数列没有极限,就说数列是发散的.注:几何解释:其中数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在。例1证例2证注:用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).1.有界性例如,有界；无界。二、收敛数列的性质数列xn有上界,即存在M,使xn≤M(n=1,2,…)。数列xn有下界,即存在m,使xn≥m(n=1,2,…)。定理1收敛的数列必定有界.证由定义,有界性是数列收敛的必要条件.2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.发散数列判别法:1.无界数列必定发散.2.一子列发散,那么数列发散.3.两子列收敛到不同的极限,那么数列发散.例:证1.单调有界准那么〔P26〕单调增加单调减少单调数列几何解释:三、数列收敛判别准那么例1：设(n=1,2,…)，证由及知设对某正整数k有那么有故由归纳法，对一切正整数n，都有即为单调减少数列，且试证数列极限存在，并求此极限。解得所以数列由递推关系给出时，求极限或证明极限存在，往往用单调有界准那么。1)有界性的证明一般有如下几种方法：根据条件推断出界；通过观察找出界，并用归纳法证明；先求出极限，根据极限求出界，并用归纳法证明2)单调性的证明一般有如下几种方法：用观察法.如：单增情况〕。根据第一、第二项的大小关系，确定单调性，并用归纳法证明.注意2.夹逼准那么〔P24〕证上两式同时成立,四、数列极限的四那么运算法那么定理5假设,那么〔k为常数〕例题数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性；小结两个准那么夹挤准那么;单调有界准那么.

思考证明要使只要使从而由得取当时，必有

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