第13讲 最小方差调节器和自校正调节器

自适应控制篇目录(1/2)自适应控制篇第10讲自适应控制概述第11讲最优预报和自适应预报第12讲最小方差调节器和自校正调节器第13讲最小方差控制器与自校正控制器第14讲极点配置调节器与极点配置自校正调节器第15讲自校正PID调节器第16讲多变量自适应控制第17讲自适应信号处理与滤波第18讲模型参考自适应控制概述自适应控制篇目录(2/2)自适应控制篇(续)第19讲模型参考自适应系统的数学模型表示第20讲基于李氏稳定性理论的状态空间模型参考自适应控制第21讲基于李氏稳定性理论的输入输出方程模型参考自适应控制第22讲基于Popov稳定性理论的状态空间模型参考自适应控制第23讲神经网络自适应控制第十二讲最小方差调节器和STR(1/3)第十二讲最小方差调节器和自校正调节器自校正调节器(Self-tuningRegulator,STR)最早是由Astrom和Wittenmark于1973年首先提出来的,其结构如图1所示.第十二讲最小方差调节器和STR(2/3)STR是以RLS参数估计方法在线估计最优预报模型,并在此基础上以输出方差最小为调节指标的一种可以适应参数未知或慢时变的自适应控制系统.当被估计参数收敛时,则根据估计参数而推得的输出方差最小调节律将收敛于被控系统参数已知时的输出方差最小调节律.这时,这种调节律就是渐近最优的了.欲讨论参数未知时能调节系统输出方差至最小的STR,需先引入参数已知时调节系统输出方差最小的最小方差调节器.第十二讲最小方差调节器和STR(3/3)最小方差调节的基本思想是:由于系统称中信道存在着d步时滞,这就使得当前的控制作用u(k)要到d个采样周期后才能对输出产生影响.因此,要获得输出方差最小,就必须对输出量提前d步进行预报,然后根据预报值来计算适当的调节作用u(k).这样,通过不断的预报和调节,就能始终保持输出量的稳态方差为最小.下面,我们将顺序讨论:最小方差调节律、最小方差调节闭环系统的稳定性问题,STR,以及最小方差调节与自校正调节的计算机仿真.1最小方差调节器(1/6)1最小方差调节器在最小方差调节器的研究中,所讨论的被控系统的模型为A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-d)+C(z-1)w(k)对该系统,有如下关于其最小方差调节律的定理.定理1

对被控系统A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-d)+C(z-1)w(k),假设1.被控系统时滞时间d以及时滞算子z-1的多项式A、B和C的阶次的上界以及系数都已知;2.被控系统为逆稳定系统,即多项式B(z-1)的所有零点都在单位圆外;1最小方差调节器(2/6)3.C(z-1)为稳定多项式,即它的所有零点都在单位圆外;4.{w(k)}为白色噪声序列,且E{w2(k)}=

2.那么,在最优指标函数J=E{[y(k+d)]2}(1)下,其最小方差调节律和最小方差调节误差分别为u(k)=-[G/(BF)]y(k)(2)y(k)=Fw(k)=w(k)+f1w(k-1)+...+fd-1w(k-d+1)(3)其中F和G满足当P(z-1)=1时的丢番图方程,即C=AF+z-dG1最小方差调节器(3/6)证明设y

(k+d/k)和y~

(k+d/k)分别为y(k+d)在k时刻的d步最优预报和最优预报误差.因此,被控系统输出量的方差为

J=E{[y(k+d)]2}=E{[y

(k+d/k)+y~

(k+d/k)]2}=E{[y

(k+d/k)]2}+E{[y~

(k+d/k)]2}+2E{y

(k+d/k)y~

(k+d/k)}最优预报误差y~

(k+d/k)与最优预报y

(k+d/k)统计无关且期望值为零=E{[y

(k+d/k)]2}+E{[y~

(k+d/k)]2}

E{[y~

(k+d/k)]2}(4)要使(4)式所示的输出量的方差为最小,即把上式的不等式取等式即可.因此,令y

(k+d/k)=0可求得最优调节律.1最小方差调节器(4/6)当P=1,j=d时,由第十三讲中的定理1可知,输出y(k)的d步最优预报和最优预报误差分别为y

(k+d/k)=[Gy(k)+BFu(k)]/C(5)y~

(k+d/k)=Fw(k+d)(6)故,系统的最小方差调节律为u(k)=-[G/(BF)]y(k)(7)此时,最小方差调节误差为y(k)=y~

(k/k-d)=Fw(k)=w(k)+f1w(k-1)+...+fd-1w(k-d+1)(证毕).1最小方差调节器(5/6)对于Astrom的最小方差调节器,有两种实现方法:一为用数字器件实现的传递函数型控制器,如另一为可用数字计算机实现的在线递推计算型控制器,如1最小方差调节器(6/6)例1

求解被控系统(1-0.9z-1)y(k)=0.5u(k-2)+(1+0.7z-1)w(k)的最小方差调节律.解

该算例与第十二讲中的算例为同一被控系统.因此,由定理1和第十一讲中求出的输出y(k)的2步最优预报式,可得如下最小方差调节律传递函数型控制器或在线递推计算型控制器u(k)=-2.88y(k)-1.6u(k-1)1最小方差调节器(7/6)此时的输出误差的方差为E{[y(k+2)]2}=E{[Fw(k+2)]2}=E{[(1+1.6z-1)w(k+2)]2}=(1+1.62)

2=3.56

22最小方差调节系统的闭环稳定性质(1/4)2最小方差调节系统的闭环稳定性质由被控系统模型Ay(k)=Bu(k-d)+Cw(k)和最小方差调节律u(k)=-[G/(BF)]y(k)可得调节系统的闭环框图如图2所示.由图2可以导出最小方差调节系统的闭环方程2最小方差调节系统的闭环稳定性质(2/4)因此,当B为稳定多项式时,上式中分子和分母中的多项式B可以对消,于是利用恒等式(8)可得y(k)=Fw(k)(9)2最小方差调节系统的闭环稳定性质(3/4)不难看出,最小方差调节系统的实质,就是利用调节器(2)的极点去对消被控系统的零点.实际上,由于存在建模误差使得系统模型的极点并不完全与实际系统的极点相等(即存在模型误差),且在控制过程中计算工具和计算方法存在计算误差(如舍入误差和截断误差)等原因,要能实现用调节器的极点去精确对消被控系统的零点而不至于产生不稳定的数值计算,这就要求B(z-1)的全部零点都在单位圆外,即要求系统具有逆稳定的性质.2最小方差调节系统的闭环稳定性质(4/4)否则,闭环系统内部将隐含有不稳定极点的环节使得闭环系统在受到外界扰动时不稳定,或由计算机递推计算控制量u(k)时由于计算误差扩散使得系统的输出y(k)和控制量u(k)不稳定.要求被控系统为逆稳定系统,对许多离散化的工程系统达不到,这就在一定范围内限制了最小方差调节器的应用(对许多离散化过程,将增加临界不稳定的零点).3STR(1/7)3自校正调节器(STR)前面我们讨论了被控系统在参数已知时的随机离散系统的最小方差调节规律,而STR主要解决被控系统参数未知或慢时变时的最小方差调节问题.对STR问题,与自适应预报类似,亦有直接法和间接法.所谓间接法,即在每一控制(采样)周期先系统模型,然后基于实时辨识模型求解丢番图方程,计算最小方差调节律及相应的在线控制量.所谓直接法,则直接辨识系统的输出预报模型,以避免在每一控制周期求解丢番图方程和计算最小方差调节律.3STR(2/7)下面主要介绍STR的直接法.STR的基本思想如图1所示.下面,将讨论Astrom和Wittenmark最初提出的STR算法.对被控系统Ay(k)=Bu(k-d)+Cw(k),Astrom和Wittenmark的STR算法考虑的是C(z-1)=1时，即系统所受到的扰动可用白噪声建模的输出调节问题。因此，系统输出y(k)的最优预报为：y(k+d)=y

(k+d/k)+Fw(k+d)(10)3STR(3/7)式中y

(k+d/k)为如下最优预报y

(k+d/k)=Gy(k)+BFu(k)(11)当被控系统的参数,即多项式A(z-1)和B(z-1)的系数未知时,则可根据(10)式的形式设定一个与k时刻系统输入u(k)和输出y(k)统计独立的随机扰动

(k)=F(z-1)w(k).因此,由(10)式和(11)式,有如下预报模型y(k+d)=G(z-1)y(k)+

(z-1)u(k)+

(k+d)(13)其中

(z-1)=B(z-1)F(z-1)=

0+

1z-1+...+,n

=nb+d-1

(14)3STR(4/7)因此,由定理1可得如下最小方差调节律u(k)=-[G/(BF)]y(k)其中G和F满足如下丢番图方程1=AF+z-dG基于预报模型(13),类似于前一讲中讨论的自适应预报,我们可以递推估计预报模型(13)的未知参数.3STR(5/7)为了保证预报模型(13)在闭环下的参数可辨识性的要求,可以设定多项式

(z-1)的首项系数

0为一合理的估计值

^0,则由式(13)可列写出如下自回归方程y(k+d)-

^0u(k)=

τ(k)

+

(k+d)(15)其中自回归方程(15)的未知参数向量

可由如下带遗忘因子的渐消记忆ELS法和SA法来估计:3STR(6/7)一、渐消记忆ELS法二、SA法3STR(7/7)基于参数向量

的在线估计值

^(k)和最小方差调节律(12),有如下自校正调节律上述自校正调节器为保证闭环可辨识性，未辨识参数

0，而是辨识其估计值。可以证明，若

0的估计值满足:则上述自校正调节律一样可以收敛。3STR(8/7)综上所述,STR的基本算法步骤可总结如下:1.确定被控系统模型的结构,并选定预报模型;2.设定递推参数初值

^(0)和P(-1)(或r(-1))，以及

0的估计值;3.采样获取新的观测数据y(k);4.组成观测数据向量

(k)5.用渐消记忆的ELS法(或SA法)计算当前参数递推估计值;6.由自校正调节律(21)计算控制作用u(k),并输出控制作用u(k)到被控系统;7.将采样次数加1,转回到第3步继续循环.4最小方差调节与自校正调节的计算机仿真(1/1)4最小方差调节与自校正调节的计算机仿真下面分别讨论最小方差调节与自校正调节的计算机仿真4.1最小方差调节的计算机仿真(1/7)4.1最小方差调节的计算机仿真下面给出针对随机线性离散系统(XARMA)A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-d)+C(z-1)w(k)的最小方差调节仿真程序伪代码./%第一步初始化输入系统阶次na,nb和nc,以及时滞d,输入系统模型Az=[1a1a2…]和Bz=[b0b1b2…];输入噪声模型Cz=[1c1c2…]预报模型阶次nf=d-1;ng=max(nc,na+nf)-d;输入噪声w(k)的方差

w设定系统变量初始值:yf[1:na+1]=0;uf[1:d+nb+1]=0;wf[1:nc+1]=0;设定预报变量初始值:yc[1:d+na+1]=0;uc[1:d+nf+nb+1]=04.1最小方差调节的计算机仿真(2/7)/%第二步求解Diophant方程和最优预报模型PCz=Cz;Fz[1]=1;PCz(nc+2:n+1)=0;ifnf>0fork=2:d

PCz(i-1:i-1+na)=PCz(i-1:i-1+na)-Fz(i-1)*Az;

Fz(i)=PCz(i);endPCz(d:d+na)=PCz(d:d+na)-Fz(d)*Az;Gz=PCz(d+1:ng+d+1);BFz=conv(Bz,Fz);4.1最小方差调节的计算机仿真(3/7)/%第三步最小方差调节仿真fork=1:最大仿真步数{/%被控对象模型仿真(产生系统输入输出信号,即数据)yf[2:na+1]=yf[1:na];uf[2:d+nb+1]=uf[1:d+nb];wf[2:nc+1]=wf[1:nc];wf[1]=2*w*(rand()-0.5);yf[1]=-Az[2:na+1]*yf[2:na+1]+Bz[1:nb+1]*uf[d+1:d+nb+1]+Cz[1:nc+1]*wf[1:nc+1];4.1最小方差调节的计算机仿真(4/7)%输出数据检测yc[1]=yf[1];输出在线最小方差调节值y(k)=yc(1)；%计算在线最小方差调节控制量uc[1]=(-Gz*yc(1:ng+1)-FBz(2:nb+nf+1)*uc(2:nb+nf+1))/FBz(1);%输出控制变量至被控对象uf[1]=uc[1];%数据移位yc[2:d+ng+1]=yc[1:d+ng];uc[2:d+nf+nb+1]=uc[1:d+nf+nb];}4.1最小方差调节的计算机仿真(5/7)%计算输出y(k)的最小方差调节的统计分析结果输出y(k)的最小方差=norm(y)^2/最大仿真步数4.1最小方差调节的计算机仿真(6/7)仿真示例:模型:最优预报中所介绍的例1

系统方程(1-0.9z-1)y(k)=0.5u(k-2)+(1+0.7z-1)w(k)白化后的噪声信号w(k)均值E{w(k)}=0方差E{w2(k)}=

2.参数

可用于控制噪声信号的能量/噪信比.控制要求:试进行输出y(k)的最小方差调节,并对调节结果进行统计分析.4.1最小方差调节的计算机仿真(7/7)仿真结果表1计算机仿真结果输出方差理论值仿真1仿真2仿真3仿真步数50003.563.50213.51113.58394.2自校正调节的计算机仿真(1/13)4.2自校正调节的计算机仿真下面给出针对随机线性离散系统(XARMA)A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-d)+w(k)的自校正调节仿真程序伪代码.4.2自校正调节的计算机仿真(2/13)/%第一步初始化输入系统阶次na,nb和nc,以及时滞d,加权因子

输入系统模型Az=[1a1a2…]和Bz=[b0b1b2…];预报模型阶次nf=d-1;ng=max(nc,na+nf)-d;辨识参数个数n=ng+nf+nb+1输入噪声w(k)的方差

w输入b0的估计值b0g设定系统变量初始值:yf[1:na+1]=0;uf[1:d+nb+1]=0;wf[1:nc+1]=0;设定预报变量初始值:yc[1:d+na+1]=0;uc[1:d+nf+nb+1]=0;设定辨识的初始值

[1:n]=0;P[n,n]=10^6*I4.2自校正调节的计算机仿真(3/13)%第二步自校正调节仿真fork=1:最大仿真步数{%被控对象模型仿真(产生系统输入输出信号,即数据)yf[2:na+1]=yf[1:na];uf[2:d+nb+1]=uf[1:d+nb];wf[2:nc+1]=wf[1:nc];wf[1]=2*w*(rand()-0.5);yf[1]=-Az[2:na+1]*yf[2:na+1]+Bz[1:nb+1]*uf[d+1:d+nb+1]+wf[1];4.2自校正调节的计算机仿真(4/13)%输出数据检测yc[1]=yf[1];输出在线自校正调节值y(k)=yc(1)；%在线辨识自校正调节律

=[yc(d+1:ng+d+1)uc(d+2:d+nf+nb+1)];K=P*/(+*P*);

=+K*[yf(1)-b0g*u(d+1)-*];P=[I-K*]*P/;修正矩阵P；4.2自校正调节的计算机仿真(5/13)%在线计算自校正调节器控制量

=[yc(1:ng+1)uc(2:nf+nb+1)];uc(1)=-*/b0g;%输出控制变量至被控对象uf[1]=uc[1];%数据移位；yc[2:d+ng+1]=yc[1:d+ng];uc[2:d+nf+nb+1]=uc[1:d+nf+nb];}%计算输出y(k)的自校正调节的统计分析结果输出y(k)的最小方差=norm(y)^2/最大仿真步数4.2自校正调节的计算机仿真(6/13)仿真示例:模型:最优预报中所介绍的例1

系统方程(1-1.5z-1+0.7z-2)y(k)=(1+0.5z-1)u(k-d)+w(k)白化后的噪声信号w(k)均值E{w(k)}=0方差E{w2(k)}=

2.参数

可用于控制噪声信号的能量/