第6章-1 逻辑代数

第1讲逻辑代数1.1逻辑代数1.2逻辑函数及其表示方法教学内容:1.0绪论模拟（analog）信号信号的幅度量值随着时间的延续（变化）而发生连续变化。

用以传递、加工和处理模拟信号的电子电路被称为模拟电路。数字（digital）信号信号的幅度量值随着时间的延续（变化）而呈现离散变化

用于处理数字信号的电路（如变换、传送、执行算术运算和逻辑运算、存储信号等电路）称为数字电路。

1.1逻辑代数

数字信号在时间上和数值上均是离散的。数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流图1.1典型的数字信号（矩形波）１.数字信号２.

数字信号的主要参数一个理想的周期性数字信号，可用以下几个参数来描绘：

Vm

——信号幅度。T

——信号的重复周期。tW

——脉冲宽度。q

——占空比。其定义为：trtf0.9Um0.5Um0.1UmtwTUm实际的矩形波２.

数字信号的主要参数

两种逻辑体制：

正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。采用正逻辑的数字电压信号

数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。３.正逻辑与负逻辑1938年美国物理学家克劳德.香农第一次将其应用于电话继电器开关电路的设计,有称其为开关代数由英国数学家乔治.布尔于1849年提出描述客观事物因果关系[即逻辑关系]的一种数学方法故也称之为布尔代数1.1.1逻辑代数的基本运算１.逻辑代数１.逻辑代数：（１）逻辑变量：

用于描述客观事物对立统一的二个方面。

{0，1}集合：用单个字母或单个字母加下标表示：

是／非；有／无；开／关；低／高电平；（２）基本逻辑运算：

用于描述客观事物的三种不同的因果关系，包括：与、或、非。２.基本逻辑运算（1）与运算Ｂ.逻辑表达式：Ｃ.逻辑符号：

D.对应芯片74LS08当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。EABCYABCY00000000000111100001111010101011ABCY&Y=ABCA.与门真值表就低原则：见0取0，

全1才为1。L＝A+B+C

当决定一件事情的几个条件中，有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。Ｂ.逻辑表达式：Ｃ.逻辑符号：

D.对应芯片74LS32ABCYE••ABCY00010111110111100001111010101011A.或门真值表YABC1就高原则：见1得1，全0才为0。（2）或运算（3）非运算非逻辑举例：某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。Ｂ.逻辑表达式：Ａ.真值表Ｃ.逻辑符号：对应芯片74LS04YAERAY0011A1Y

&ABABYYYA

与或非≥11（a）国际标准图形符号ABYYYABA非或与(b)以前的旧图形符号

（１）与非——由与运算和非运算组合而成Ａ.真值表Ｃ.逻辑符号：Ｂ.逻辑表达式：见0取1，全1出0ABY３.复合逻辑运算D.对应芯片74LS00（２）或非——由或运算和非运算组合而成３.复合逻辑运算Ａ.真值表Ｃ.逻辑符号：Ｂ.逻辑表达式：见1出0，全0出1ABYD.对应芯片74LS02与门：见“0”取“0”，全“1”出1或门：见“1”取“1”，全“0”出“0”例1：根据输入波形画出输出波形ABY1&ABY1≥1ABY2Y2（3）异或Ａ.真值表Ｃ.逻辑符号：Ｂ.逻辑表达式：输入相异，输出为1ABY３.复合逻辑运算D.对应芯片74LS86BAL=10010AB0010111L（4）同或L=A⊙B=Ａ.真值表Ｃ.逻辑符号：Ｂ.逻辑表达式：输入相同，输出为1ABYD.无对应芯片&ABYCD≥1（5）与或非ABCDYABCDY00000001001000110100010101100111111011101000100110101011110011011110111111100000Ａ.真值表Ｃ.逻辑符号：Ｂ.逻辑表达式：只有AB或者CD同时具备时,结果才不会发生D.对应芯片74LS51&YENBA逻辑符号

0

高阻态0

0

1

1

0

1

11

1

0

111

1

10

：表示任意态三态“与非”真值表ABEY输出高阻功能表6)三态与非门1.1.2逻辑代数的基本公式1.1.2逻辑代数的基本公式逻辑等式的证明举例：例1：证明证明：等式的左边分配律=A+B=等式的右边互补律例2：证明证明：等式的左边=等式的右边互补律分配律吸收律逻辑等式的证明举例：例3：证明11011000BA0011010101110111逻辑等式的证明举例：对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量（或逻辑函数）同时取代等式的两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。1.代入定理1.1.3逻辑代数的基本定理令：A＝D＋E已知：则：

将一个逻辑函数Y进行下列变换：

·→＋，＋→·

0→1，1→0

所得新函数表达式叫做L的对偶式，用Ｙ′表示2.对偶定理如:对偶规则：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。3.反演定理利用反演规则，可以方便地求得一个函数的反函数

用表示。将一个逻辑函数Y进行下列变换：

·→＋，＋→·

；

0→1，1→0

原变量→反变量，反变量→原变量。

所得新函数表达式叫做Y的反函数，解：例1.3求以下函数的反函数：应用反演规则求反函数时注意：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号；（2）变换中，几个变量的公共非号保持不变；

１.逻辑函数的建立如果以逻辑变量作为输入,以运算结果作为输出,那么当输入变量的取值确定后,输出的取值便唯一确定,

输出与输入之间构成一种函数关系,写作:Y=F(A,B,C,·····)

逻辑电路ABCY1.2逻辑函数

例1.４

三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑函数。第三步：根据题义及上述规定列出函数的真值表如表。第一步：设置自变量和因变量。第二步：状态赋值。对于自变量A、B、C设：同意为逻辑“1”，不同意为逻辑“0”。对于因变量Y设：事情通过为逻辑“1”，没通过为逻辑“0”。ABCY00000010010011100101110111010111

逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点：（1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。（2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、

“非”三种基本运算决定的。

一般地说，若输入逻辑变量A、B、C…的取值确定以后，输出逻辑变量Y的值也唯一地确定了，就称Y是A、B、C的逻辑函数，写作：

Y=F（A，B，C…）1.逻辑真值表2.逻辑函数（逻辑表达式）3.逻辑（电路）图4.卡诺图5.几种表示方法之间的相互转换1.2.1逻辑函数的表示方法1．真值表——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。

2．逻辑表达式

——由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达式。第一步：写出函数值为1的乘积项；

1用原变量表示

0用反变量表示第二步：将所有使函数值为1

的乘积项相加；

由真值表转换为函数表达式的基本方法：例如:

由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达式：ABCY00000010010011100101110111010111ABCABCABCABC解：该函数有两个变量，有4种取值的可能组合，计算出每组的函数值，将他们按顺序排列起来即得真值表。例1.5

列出下列函数的真值表：由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式。3．逻辑电路图

由逻辑符号及连接导线构成的图形。解：可用两个非门、

两个与门和一个或门组成。例1.6画出下列函数的逻辑图：ABABABAB＋AB例1.7写出如图所示逻辑图的函数表达式。解：可由输入至输出逐步写出逻辑表达式：ABBCACL=AB+BC+AC4.几种表示方法之间的相互转换1)已知逻辑函数式求真值表例1.8ABCY00000011010011100101110111101111把输入逻辑变量所有可能取值的组合代入对应函数式算出其函数值2）已知真值表写逻辑函数式ABCY000000110101011010001011110011113）已知逻辑函数式画逻辑图&1≥1Y&1C&ABABCABCABCABC+ABC+ABC4）已知逻辑图写逻辑函数式≥1≥1

≥111ABYABA＋BA＋BA＋B＋A＋B1.3逻辑函数的化简

教学重点：1.逻辑函数的最小项表达式2.逻辑函数的代数化简法3.逻辑函数的卡诺图化简法1.2.3逻辑函数的两种标准形式1.最小项：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项——最小项表达式——最大项表达式三变量函数Y=F(A,B,C)的最小项：编号符号01组合式变量表示法01234567m0m1m2m3m4m5m6m7000001010011100101110111四变量函数

Y=F(A,B,C,D)的最小项：m11=m19=五变量函数

Y=F（A，B，C，D，E）的最小项：①在输入变量的任何一组取值下，必有一个且仅有一个最小项的值为1；②全体最小项之和为1；③任意两个最小项的乘积为0；④相邻两个最小项之和可合并为一项，并消去一个不同的因子2.最小项的性质01组合变量表示000001010011100101110111m0+m1=逻辑相邻：

两个最小项只有一个因子不同2.最小项的性质例如：m0+m1+m4+m5=逻辑函数的标准形式之一：最小项表达式推论：任一逻辑函数都可以用唯一最小项之和的形式表示1．逻辑函数式的常见形式

一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互转换。例如：1.3.1逻辑函数的化简与转换其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。2．逻辑函数的最简“与—或表达式”的标准（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“

·

”号最少。或：

（1）表达式中乘积项最少。（2）每个乘积项中的因子最少。（1）并项法运用公式，将两项合并为一项，消去一个变量。如:1.3.2代数法化简逻辑函数（2）吸收法运用吸收律A+AB=A

，消去多余的与项。如：

1.3.2代数法化简逻辑函数（3）消去法1.3.2代数法化简逻辑函数如：（4）配项法

1.3.2代数法化简逻辑函数如：

在化简逻辑函数时，要灵活运用这些方法，才能将逻辑数化为最简。配项

解：例2.1

化简逻辑函数

（利用）（利用

A+AB=A

）（利用

）例代数法化简举例①并项法例②配项法例5化简③加项法④吸收法吸收例6化简

代数法化简小结优点：不受变量数目的限制。缺点：没有固定的步骤可循；

需要熟练运用各种公式和定理；

化简时需要一定的技巧和经验；

有时很难判定化简结果是否最简。1.什么是卡诺图？将n变量的相邻最小项在几何位置上

相邻地排列起来所组成的图形二变量逻辑函数Y=F(A,B)1.3.3逻辑函数的卡诺图化简法（自学、不考！）BABAAB01

010132AB

AB

AB

AB最小项编号三变量逻辑函数

Y=F(A,B,C)

YA01BC00011110m0m1m2m3m4m5m6m7ABABCCC四变量逻辑函数

Y=F(A,B,C,D)YAB00011110CD00011110m8m9m10m11m12m13m15m14m1m3m2m6m7m5m4m0CACDDDABBBABC00011110010

1324

5760132457612131514891110ABCD0001111000011110ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCABCABCABCABCABCABCABC三变量卡诺图四变量卡诺图

YA01BC00011110111100002.用卡诺图表示逻辑函数1）间接填入法

先将逻辑函数写成最小项表达式，再填卡诺图YAB00011110CD000111100

0000000111101112.用卡诺图表示逻辑函数1）间接填入法YAB00011110CD0001111011100000000001112.用卡诺图表示逻辑函数

2）直接填入法利用卡诺图化简逻辑函数基本原理：由于卡诺图几何相邻（包括对称相邻）与逻辑上相邻性一致，所以几何相邻（包括对称相邻）的最小项可合并几何相邻性：两个几何位置相邻的单元其输入变量的取值只能有一位不同。0132457612131514891110ABCD0001111000011110ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD对称相邻性：任意两个对称的单元其输入变量的取值也只能有一位不同。

（1）

只要有两个相邻单元取值同为1，可以将这两个最小项合并成一项，并消去一个变量。ABC000111100111=BC(A+A)Y=ABC+ABC利用A+A=1的关系

卡诺图化简规则：=BC（2）如果是四个几何相邻单元取值同为1，则可以合并，并消去两个变量。ABC0001111001

1111ABC0001111001

1111Y=A=AC+AC=C

卡诺图化简规则：Y=ABC+ABC+ABC+ABCY=

ABC+ABC+ABC+ABC

=AC(B+B)+AC(B+B)YAB00011110CD00011110111111111（2）如果是四个几何相邻单元取值同为1，则可以合并，并消去两个变量。YAB00011110CD000111101111（3）若八个最小项相邻，可合并为一项消去三个不同因子11111111A

卡诺图化简规则：利用对称相邻性化简举例ABCD0001111000011110ABCD00011110000111101111111111Y=BCDY=D总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同变量而合并为1项。

卡诺图化简规则：（1）2个相邻的最小项结合，可以消去1个取值不同的变量而合并为1项。（3）8个相邻的最小项结合，可以消去3个取值不同的变量而合并为1项。（2）4个相邻的最小项结合，可以消去2个取值不同的变量而合并为1项。

用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）

（1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。（2）圈的个数尽量少。（3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。（4）在新画的包围圈中，至少要含有1个末被圈过的

1方格，否则该包围圈是多余的。ABCD0001111000011110错误的圈法正确的圈法1111错误举例：①应包含所有的最小项②矩形组数目最少③矩形组应尽量包含多的最小项卡诺图化简步骤：1）画出对应逻辑函数的卡诺图2）找出可以合并的最小项的矩形组3）选择化简后的乘积项解：（1）由真值表画出卡诺图。（2）画包围圈合并最小项。

通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。

例2.3

某逻辑函数的真值表，用卡诺图化简该逻辑函数。有两种画圈的方法，分别写出表达式YAB00011110CD000111101111111111110000A例2.4（2）用圈0法画包围圈，得：

例2.5

已知逻辑函数的卡诺图，分别用“圈1法”和“圈0法”写出其最简与—或式。解：（1）用圈1法画包围圈，得：(1)约束项：输入逻辑变量的取值不是任意的，对取值外加限制;(2)任意项：在某些输入变量的取值下，函数值为1还是为0不影响电路的功能，这些取值等于1的最小项(3)无关项：约束项、任意项统称无关项4.具有无关项的逻辑函数及其化简(4)带无关项的逻辑函数及其表示例：描述电机的状态:可用A、B、C三个逻辑变量A=1：表示电机正转，A=0：表示电机不正转；B=1：表示电机反转，B=0：表示电机不反转；C=1：表示电机停止，C=0：表示电机转动；ABCY000001010011100101110111×√√×√×××即为约束条件YAB00011110CD0001111011111××××0000000(5)

带无关项的逻辑函数的化简解：设红、绿、黄灯

分别用A、B、C表示，灯亮为1，灯灭为0。

车用L表示，车行L=1，车停L=0。带无关项的逻辑函数表达式为：

L=∑m（）+∑d（）则函数可写成

L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）

例2.6在十字路口有红、绿、黄交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。例2.6注意:在考虑无关项时，哪些无关项当作1，哪些无关项当作0，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函数更简为原则。考虑无关项时:

不考虑无关项时：解（1）画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1；将10、11、12、13、14、15号小方格填入×。（2）合并最小项。注意，1方格不能漏。×方格根据需要，可以圈入，也可以放弃。（3）写出逻辑函数的最简与—或表达式:不考虑无关项则：例2.7

某逻辑函数输入是8421BCD码，其逻辑表达式为：

L（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）