2024年高三数学练习题及答案（九）

一、单项选择题：1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，或，．故选：D．2．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”又称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若，，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形阴影部分的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，在中，可得，即为，解得，，．故选：B．3．计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选:B4．，若，则等于（）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】，，，解得．故选：5．已知实数，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】实数，，当，时，，“”推不出“”；反之，实数，，由基本不等式可得，由不等式的基本性质得，整理得，，由基本不等式得，即“”“”．实数，，则“”是“”的必要不充分条件．故选：B．6．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则使不等式成立的x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，是增函数且，又函数是定义在R上的奇函数，则满足，所以，函数在上是连续函数，所以函数在R上是增函数，，∴，∴，即，，又，∴，，即原不等式的解集为．故选：C.7．已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中正确的是（）A．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为B．函数的最大值为2C．函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D．函数图象的对称轴方程为【答案】A【解析】由图象可知，，，，，，，且，，，，：由可得，则的最小值为，故正确；：结合余弦函数的性质可知，的最大值，故错误；：根据导数的几何意义可知，过点的切线斜率，不存在斜率为的切线方程，故错误；：令可得，，，故错误．故选：．8．如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为（）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】设，则．，，，，，同理，其中，，当时，，．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．已知函数，则（）A．的最小正周期为π B．的最大值为2C．的值域为 D．的图象关于对称【答案】ACD【解析】∵，，又因为，所以，∴的值域为，由，则的最小正周期为，令，解得，即的图象关于对称，综上可得选项A,C,D正确，选项B错误，故答案为ACD.10．设向量，，则下列叙述错误的是()A．若时，则与的夹角为钝角B．的最小值为C．与共线的单位向量只有一个为D．若，则或【答案】CD【解析】对于A选项，若与的夹角为钝角，则且与不共线，则，解得且，A选项中的命题正确；对于B选项，，当且仅当时，等号成立，B选项中的命题正确；对于C选项，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，C选项中的命题错误；对于D选项，，即，解得，D选项中的命题错误.故选：CD.11．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算的观测值，则可以推断出（）满意不满意男3020女40100.1000.0500.0102.7063.8416.635A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异【答案】AC【解析】对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为,故A正确；对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为,故B错误；因为,所以有的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C正确,D错误故选：AC12．定义运算，设函数，则下列命题正确的有（）A．的值域为B．的值域为C．不等式成立的范围是D．不等式成立的范围是【答案】AC【解析】由函数，有,即，作出函数的图像如下，根据函数图像有的值域为，若不等式成立，由函数图像有当即时成立，当即时也成立.所以不等式成立时，.故选：AC.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．数列满足，，，则数列的通项公式______.【答案】【解析】数列满足，，，，因此，.故答案为：.14．已知直线与互相垂直，且，则的最大值为______【答案】【解析】直线与互相垂直，且，，可得：，，当且仅当时，取得最大值.故答案为：15．已知圆和圆外切，则的值为__________，若点在圆上，则的最大值为__________．【答案】【解析】（1）由于两圆外切，所以.（2）点在圆上，所以，所以，因为，所以的最大值为5.此时.故答案为：(1).(2).16．设，，，将的最小值记为.则当是偶数时，__________；当是奇数时，__________．【答案】0【解析】根据的定义，列出的前几项：，，，，，，，，由此规律，我们可以推断：当为偶数时，；当为奇数时，.故答案为：；。解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们的终边与单位圆分别相交于点，已知点.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由三角函数的定义得,∴原式.故所求值为.（2）∵,,故,∴,∵,∴,∴,∴.18．（本小题满分12分）数列的前项和为且满足，（为常数，）．（1）求；（2）若数列是等比数列，求实数的值；（3）是否存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】（1）由，得．∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，则；（2）若数列是等比数列，则．∵，，∴，．∴，得；（3）当时，由（1）及，得，即数列是一个无穷等差数列．∴当，满足题意．当时，∵，，即．下面用反证法证明，当，从数列不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列．假设存在，从数列可以取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列．不妨记为，设数列的公差为．（1）当时，，∴数列是各项为正数的递减数列，则．∵，∴当，即，即时，，这与矛盾．（2）当时，令，解得，当时，恒成立，∴数列是各项为负数的递增数列，则．∵，∴，与矛盾．综上所述，是唯一满足条件的的值．19．（本小题满分12分）某中学的高二（1）班男同学有名，女同学有名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）试验结束后，第一次做试验的甲同学得到的试验数据为、、、、，第二次做试验的乙同学得到的试验数据为、、、、，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.【答案】（1）某同学被抽到的概率为，男、女同学的人数分别为、；（2）；（3）甲同学更稳定.【解析】（1），某同学被抽到的概率为，所以，男同学抽取的人数为，女同学抽取的人数为，男、女同学的人数分别为、；（2）设个男同学记为、、，个女同学记为、，则选取两名同学的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，其中恰有一名女同学的有种，选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为；（3）可得，，，，甲同学的实验更稳定.20．（本小题满分12分）如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD,GC垂直于平面ABCD．且（1）求三棱锥A-（2）求证：面GEF⊥面AEF【答案】（Ⅰ）V=13×1×2=【解析】（1）因为面BDEF⊥面ABCD面BDEF∩面ABCD所以FB又因为CG⊥面ABCD，故CG//因为AB⊥所以AB即三棱锥A-因此三棱锥A-FGC（2）如图，设EF的中点为M，连结AM、在RTΔACG中可求得AG=3在直角梯形FBCG、EDCG中可求得在RTΔABF、RTΔADE从而在等腰ΔAEF，等腰ΔGEF中分别求得AM=此时在ΔAMG中有AM所以AM因为M是等腰ΔAEF底边中点，所以AM⊥所以AM⊥因此面GEF⊥面21．（本小题满分12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：【答案】（1）时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数（2）证明见解析【解析】（1）易知的定义域为，且，时，在上恒正，所以在上单调递增，时，对于，①当，即时，，在上是增函数；②当，即时，有两个正根，所以，，单调递增，，，单调递减综上，时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数（2）令，方程有两个不相等的实根函数有两个零点，由定义域为且①当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；②当时，得，在上单调递增，在上单调递减要使有两个零点，则，由解得此时易知当时，，令，所以，时，在为增函数，在为增函数，，所以，即所以函数在与各存在一个零点综上所述，.∴证明证明时，成立设，则易知在上递减，，在上单调递减，所以.22．（本小题满分12分）已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过