广西钦州市第四中学高三上学期第二次月考数学（理）试题

广西钦州市第四中学2021届高三上学期第二次月考理科数学试卷一、选择题1.设a＝log32，b＝ln2，c＝5－eq\f(1,2)，则()A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．c＜b＜a2.已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．2 D．43.函数f(x)＝ln(2x)－1的零点所在区间为()A．(2,3) B．(3,4)C．(0,1) D．(1,2)4．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．6个 B．4个C．3个 D．2个5.已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为b，则下列不等式成立的是()A．f(a)＜f(1)＜f(b)B．f(a)＜f(b)＜f(1)C．f(1)＜f(a)＜f(b)D．f(b)＜f(1)＜f(a)6.函数f(x)＝|x|＋eq\f(a,x2)(其中a∈R)的图象不可能是()7.函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为()8.对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．09.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是()A．118元 B．105元C．106元 D．108元10.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A．8 B．9C．10 D．1111.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A．16小时 B．20小时C．24小时 D．28小时12.拟定甲、乙两地通话m分钟的费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的费为()A．3.6元 B．3.85元C．3.96元 D．4.24元二、填空题13．已知实数a，b满足logeq\f(1,2)a＝logeq\f(1,3)b，下列五个关系式：①a＞b＞1，②0＜b＜a＜1，③b＞a＞1，④0＜a＜b＜1，⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________个．14.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x<1，,log2x，x≥1，))若函数y＝f(x)－k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是________．15.若函数y＝f(x)的图象经过点(2,3)，则函数y＝f(－x)＋1的图象必定经过的点的坐标是________16.某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，那么，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．三、解答题17.已知f(x)＝logaeq\f(1－x,1＋x)(a＞0，且a≠1)．(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2020)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2020)))的值．(2)当x∈[－t，t](其中t∈(0,1)，且t为常数)时，f(x)是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．(3)当a＞1时，求满足不等式f(x－2)＋f(4－3x)≥0的x的取值范围18．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a.(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内各有一个零点，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)＝eq\f(|x2－4|x＋1,x＋2).(1)画出函数f(x)的图象，并写出其单调区间；(2)求方程f(x)＝m的解的个数．20.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图6所示的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．参考答案C13.214.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))15.(－2,4)16.417.(1)由eq\f(1－x,1＋x)＞0，得－1＜x＜1，∴f(x)的定义域为(－1,1)．又f(－x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))－1＝－logaeq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2020)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2020)))＝0.(2)设－1＜x1＜x2＜1，则eq\f(1－x1,1＋x1)－eq\f(1－x2,1＋x2)＝eq\f(2x2－x1,1＋x11＋x2).∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，(1＋x1)(1＋x2)＞0，∴eq\f(1－x1,1＋x1)＞eq\f(1－x2,1＋x2).①当a＞1时，f(x1)＞f(x2)，f(x)在(－1,1)上是减函数．又t∈(0,1)，∴x∈[－t，t]时，f(x)有最小值，且最小值为f(t)＝logaeq\f(1－t,1＋t).②当0＜a＜1时，f(x1)＜f(x2)，f(x)在(－1,1)上是增函数．又t∈(0,1)，∴x∈[－t，t]时，f(x)有最小值，且最小值为f(－t)＝logaeq\f(1＋t,1－t).综上，当x∈[－t，t]时，f(x)存在最小值．当a＞1时，f(x)的最小值为logaeq\f(1－t,1＋t)；当0＜a＜1时，f(x)的最小值为logaeq\f(1＋t,1－t).(3)由(1)及f(x－2)＋f(4－3x)≥0，得f(x－2)≥－f(4－3x)＝f(3x－4)．∵a＞1，∴f(x)在(－1,1)上是减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤3x－4，,－1＜x－2＜1，,－1＜3x－4＜1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,1＜x＜3，,1＜x＜\f(5,3)，))即1＜x＜eq\f(5,3).∴x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))18.(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内各有一个零点，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＞0，,f0＜0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－4a＞0，,1－2a＜0，,\f(3,4)－a＞0，))解得eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,4).故实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))).19.(1)化简可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2，x≥2或x<－2，,－x2＋x＋2，－2<x<2.))函数f(x)的图象如下，根据图象可得，函数的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))和[2，＋∞)，函数的单调减区间为(－∞，－2)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).(2)当m≤－4时，方程无解；当－4<m<0或eq\f(9,4)<m≤4时，方程有1个解，当m＝0或m＝eq\f(9,4)或m>4时，方程有2个解；当0<m<eq\f(9,4)时，方程有3个解．20.(1)由题图，设y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kt，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－a，t＞1，))当t＝1时，由y＝4，得k＝4；由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－a＝4，得a＝3.所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\