江苏省2021-2022学年高二上学期数学开学考试（五）

江苏省2021—2022学年度高二开学分班考试（五）数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点，满足，，()，若，则的值为（）A． B． C． D．2．（）A． B．2 C． D．43．已知，且，则（）A． B． C． D．4．已知复数对应的向量如图所示，则复数是（）A． B． C． D．5．在中，a，b，c分别为角A､B､C的对边，，则的形状为（）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形6．设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，则下列命题①若，则；②若，则；③若，则为钝角三角形；④若，则；中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”．已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为．当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是（）A． B． C． D．8．正三棱锥中G为的中点，H为上的任意上点，设与所成的角的大小为与平面所成的角的大小为，二面角的大小为，则（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列说法中，正确的是（）A．任意单位向量的模都相等. B．若，是平面内的两个不同的点，则C．若向量，，则 D．零向量与任意向量平行10．下列等式成立的是（）A． B．C． D．11．在中，角，，的对边分别为，，，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，，有意义，则恒成立C．若，，则满足要求的角有两个D．若，则是锐角三角形12．如图，正方体的棱长为1，分别为的中点.则（）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面的距离相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某单位年龄（单位：岁）在的员工有40人，年龄在的员工有60人，年龄在的员工有20人．现准备用分层抽样的方法从这些员工中选拔18人代表单位参加技术比武活动，则选拔出的员工中，年龄小于50岁的员工人数为______．14．在四边形中，，，，，，，则对角线的长为______．15．已知个两两互不相等的复数、、、、、，满足，且（其中、2；、1、2、、），则的最大值为_______16．如图，正方体的棱长为，、分别是、的中点，过点、、的截面将正方体分割成两部分，则较小部分几何体的体积为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知复数：.（1）若_______，求实数的值；（2）若复数的模为，求的值.18．在中，内角、、的对边分别为、、，且.（1）求角的大小；（2）如果，，求的值.19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，_________.（1）求；（2）在边上取一点D，使得，求.20．新冠疫苗接种是能构建人群免疫屏陈，阻断病毒传挪，国家卫健委宣布至2021年6月14日，我国已累计报告接种新冠病毒疫苗超9亿剂次.在某社区接种点，随机抽取了100名来接种疫苗的市民，统计其在接种点等待接种的时间(等待时间不超过40分钟)，将统计数据按分组，制成以下频率分布直方图.（1）由所给的频率分布直方图：①估计该接种点市民等待时间的上四分位数；(结果保留一位小数)②记A事件为该接种点居民等待接种时间少于30分钟”，试估计件A的概率.（2）为鼓励市民踊跃接种，在该接种点接种疫苗的市民有机会获取小礼物；现场有1个箱子，箱子中有质地相同的10个小球，其中9个蓝球，1个红球，每个完成接种的市民有两种选择，选择1：每次摸出1球，有放回地摸10次；选择2：每次可摸出2球，有放回地摸5次.两种选择至少能摸出一个红球即可获赠小礼物，则哪种选择获得小礼物的概率较大？说明理由.21．如图，数轴的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标)．(1)若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角．22．已知集合，定义上两点，的距离.（1）当时，以下命题正确的有__________（不需证明）：①若，，则；②在中，若，则；③在中，若，则;（2）当时，证明中任意三点满足关系；（3）当时，设，，，其中，.求满足点的个数，并证明从这个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.2021—2022学年度高二开学分班考试（五）数学·全解全析1．D【详解】因为，又，故可得，又三点共线，故可得，即.由解得，故选：D.2．C【详解】，故选：C．3．D【详解】因为，所以，，由得，，故选：D.4．C【详解】由题意知，所以，也可通过复数三角形式的几何意义直接得到结论.故选：C．5．D【详解】由正弦定理得，所以，所以,因为,所以.所以三角形是等腰三角形.故选：D.6．C【详解】①若，所以，则，故①正确；②当时，，但是，故②错误；③若，则，，故，所以，所以，则为钝角三角形，故③正确；④若，则所以，即，所以,所以，故，而，所以则，故④正确；故选：C.7．D【详解】设事件：麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜；由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为，∴麒麟部获胜的概率分别是：，故选：D．8．C【详解】如图所示，记在底面的投影点为点，取中点，连接，显然过点，过作交于点，连接，过作交于点，连接，因为，所以二面角的平面角为，所以，所以，又因为平面，所以与平面所成角即为，所以，所以，又因为，所以，所以，结合正切函数的单调性可知，因为，所以与所成的角为，所以，所以，当点在点时，此时，又，所以，所以，所以，当由向运动时，此时增大，减小，所以增大，所以增大，综上可知：，故选：C.9．AD【详解】解：对于A：根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故A正确；对于B：与互为相反向量，故B错误；对于C：若时，与不一定共线，故C错误；对于D：零向量与任意向量平行，故D正确；故选：AD10．ABD【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD11．BD【详解】对于A选项，当时，满足，此时不满足，故A选项错误；选项：由题意知：，，，且，又，，即，故选项正确；选项：因为，所以，由或，当时，与矛盾，所以，所以满足要求的角只有1个，故选项错误；选项：的三边长分别为，，，且，．．又，．中，由余弦定理可得，故角为锐角．再由题意可得，边为最大边，故角为的最大角，所以是锐角三角形，选项正确；故选：12．BC【详解】对于A：在正方体中，,因为直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直.故A错误；对于B：取的中点N，连结GN,A1N,因为，N分别为,的中点,所以由三角形中位线定理得：所以因为面，EF面，所以面.同理可证：面.又面，面，，所以面面,所以直线与平面平行.故B正确；对于C：连结,由上面证明过程可知,所以平面截正方体所得的截面为面.因为，,所以为等腰梯形，如图示：过E、F分别作EP、FQ垂直AD1于P、Q，则,所以,所以等腰梯形的面积为.故C正确.对于D：假设C与G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG交EF于H,而H不是CG中点,则假设不成立,故D错误.故选：BC13．15【详解】解：总人数为：人，年龄小于50岁的员工人数为：人，则用分层抽样的方法从这些员工中选拔18人代表单位参加技术比武活动，则选拔出的员工中，年龄小于50岁的员工人数为人.故答案为：15.14．【详解】在四边形中，，，，，，，所以，、、、四点共圆，由余弦定理得，所以，，设的外接圆半径为，则，，，故为圆的直径，所以．故答案为：．15．5【详解】设，（），，，即，即，故、对应平面内距离为的点，如图、，，与、对应的点的距离为或，构成了点、、、、共个点，故的最大值为，故答案为：.16．【详解】如下图所示，延长分别交、的延长线于、，连接交于点，连接交于点，再连接、，则该截面截正方形的截面为五边形.，则，则，，为的中点，则，，，同理，，，，，在中，，则，，，，所以，正方体位于截面下方的几何体体积为.因此，较小部分几何体的体积为.故答案为：.17．（1）答案见解析；（2）.【详解】（1）选择①，则，解得.选择②为虚数，则，解得.选择③为纯虚数，则，，解得.（2）由可知复数.依题意，解得.因此.18．（1）；（2）.【详解】（1），由正弦定理可得，可得，，因此，；（2）由平面向量数量积的定义可得，可得，由余弦定理可得，因此，.19．（1）（2）【详解】选①得，即，解得因为，所以选②因为所以即，，因为，所以选③，所以，所以，因为所以，因为，所以（1）在中，由余弦定理：，可得所以.（2）因为，所以即为钝角，且又，所以为锐角所以所以20．（1）①；②；（2）选择2获赠概率大，理由见解析.【详解】（1）①前两组的频率和是，所以四分位数在第二组，设四分位数为，满足，解得：，所以估计该接种点市民等待时间的上四分位数是；②的频率为，所以，（2）选择1：10次都没有摸到红球的概率,所以至少有一次摸到红球的概率,即获赠小礼物的概率是；选择2：1次没有摸到红球的概率，那么5次都没有摸到红球的概率，所以至少有1次摸到红球的概率,即获赠小礼物的概率是.，所以选择2获得小礼物的概率大.21．(1)；(2).【详解】(1)时，坐标系为平面直角坐标系，设点P(x,y)，则有，而，，又，所以，又因，解得，故点P的坐标是；(2)依题意夹角为45º，，，，，，所以＝2，，而，故.22．（1）①；（2）证明见解析；（3），证明见解析．【详解】（1）当时，①若，，则，①正确；②在中，若，则，设，所以而，，但不一定成立，②错误；③在中，若，在②中的点坐标，有，但不一定成立，因此不一定成立，从而不一定成立，③错误．空格处填①（2）证明：设，根据绝对值的性质有，，所以．,（3），，所以，当且仅当以上三个等号同时成立，又由已知，∴，又，∴，，点是以为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，．这125个点在这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无