天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题

天津市南开中学2021届高三年级第一次月考数学学科试题一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．对于实数a，b，c，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设，则（）A．B．C．D．4．函数的零点一定位于区间（）A．B．C．D．5．函数的图象可能是（）A．B．C．D．6．如图，在矩形中，，点E为的中点，点F在边上，若，则的值是（）．A．B．1C．D．27．定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A．B．C．D．8．已知函数，若在区间上有m个零点，则（）．A．4042B．4041C．4040D．40399．若曲线与曲线存在公切线，则实数a的取值范围（）．A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）．10．已知复数（i为虚数单位），则________．11．的展开式的常数项是________．（用数字作答）12．已知函数，若，则实数x的取值范围是_________．13．已知函数，当时，则函数的最大值与最小值之和是________．14．已知函数的最小值为，则实数m的值为_________．15．已知，函数，，若有4个零点，则实数m的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共75分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）已知函数的周期为．（1）求的值及函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值．17．（本小题15分）已知函数为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式；（3）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．18．（本小题15分）如图，平面，，，，，点E，F，M分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求锐二面角的大小；（3）若N为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长．19．（本小题15分）已知函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值；（2）若对于任意都有成立，试求a的取值范围；（3）记．当时，函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（本小题16分）已知函数，其中．（1）求的单调区间；（2）当时，斜率为k的直线l与函数的图象交于两点，，其中，证明：；（3）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．天津市南开中学2021届高三数学第一次月考参考答案一、选择题123459789DBCBDCABD二、填空题10．11．24012．13．614．15．三、解答题16．解：（1），∵，∴．∴，解得∴的递增区间为（2）∵∴∴∵∴∴∴17．解：（1）∵为奇函数∴∴∴（2）∵∴，解得所以不等式的解集为（3）因为不等式对任意恒成立，所以对任意恒成立，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以．18．（1）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形．由点E和M分别为和的中点，可得且，因为，F为的中点，所以且，可得且，即四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因为平面，，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得．设锐二面角的平面角为∴，所以．所以，二面角的大小为．（3）设，即，则．从而．由（2）知平面的法向量为，由题意，，即，整理得，解得或，因为所以，所以，．19．（1）直线的斜率为，函数的定义域为．因为，所以，所以，（2）由解得；由解得．所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值．因为对于任意都有成立，所以即可．∴，即，解得，所以a得取值范围是．（3）依题意得，则，由解得，由解得．函数在区间上有两个零点，所以，解得．所以b的取值范围是．20．（1）因为，当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，时，，在上单调递增，时，，在上单调递减,综上所述：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）当时，，所以，所以，要证，即证，因为，即证，令，即证，令，由（1）知，在上单调递减，所以，即，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，即；综上可得，即；（3）由已知得，即为，即，令，则，当时，，所以在上单调递增，，即，矛盾