2024年全国各地市中考数学模拟试题分类汇编-二次函数的图象和性质

第1页共46页二次函数的图象和性质选择题A组1、(中江县2024年初中毕业生诊断考试)小李从如以下列图的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息：〔1〕b2－4ac＞0；〔2〕c＞1；〔3〕ab＞0；〔4〕a－b＋c＜0.你认为其中错误的有() A.2个B.3个C.4个D.1个答案：A2、(2024年江阴市周庄中学九年级期末考)在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是()A．y＝2(x+2)2－2B．y＝2(x－2)2+2C．y＝2(x－2)2－2D．y＝2(x+2)2+2答案：A3、〔2024淮北市第二次月考五校联考〕以下函数中，不是二次函数的是〔〕A、y=B、y=2〔x-1〕2+4C、y=D、y=〔x-2〕2-x2答案D4、〔2024淮北市第二次月考五校联考〕根据以下表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕一个解x的取值范围〔〕x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c－0.06－0.020.030.09A、3<x<3.23B、3.23<x<3.24C、3.24<x<3.25D、3.25<x<3.26答案C5、〔2024淮北市第二次月考五校联考〕把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的解析式是y=x2-3x+5，那么有〔〕ABC-3-2-1ABC-3-2-10123456x4321-1-2-3-4-5yC、b=3，c=3D、b=－9，c=21答案A6、〔2024淮北市第二次月考五校联考〕生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时，就会停产，现有一生产季节性产品的企业，其中一年中获得的利润y与月份n之间的函数关系式为y=－n2+14n-24，那么该企业一年中停产的月份是〔〕A、1月，2月，3月B、2月，3月，4月C、1月，2月，12月D、1月，11月，12月答案C7、〔2024淮北市第二次月考五校联考〕函数图象y=ax2+〔a－3〕x+1与x轴只有一个交点那么a的值为〔〕A、0，1B、0，9C、1，9D、0，1，9答案D8.卷对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于An、Bn两点，以表示这两点间的距离，那么的值是〔〕A． B．C．D．答案：D9．〔2024年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题〕抛物线的顶点坐标是〔〕A．(1，0)；B．(–1，0)；C．(–2，1)；D．(2，–1)．答案：A10．〔2024－2024学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题〕如图，点A，B的坐标分别为〔1,4〕和〔4,4〕,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点〔C在D的左侧〕，点C的横坐标最小值为，那么点D的横坐标最大值为()yxO〔第10题〕A．－3yxO〔第10题〕答案：D11、(2024山西阳泉盂县月考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点〔－1，2〕，且与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，其中－2＜x1＜－1,0＜x2＜1有以下结论：①abc＞0,②4a－2b+c＜0,③2a－b＜0,④b2+8a＞4ac其中正确的结论有〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个答案：D–133第1题112.〔2024年江苏盐都中考模拟〕如图，抛物线y=ax2–133第1题1A.3B.-3C.-1D.0答案D13、〔2024年北京四中中考模拟20〕把抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是()A、B、C、D、答案D14、〔北京四中模拟〕抛物线，那么该抛物线的顶点坐标为〔〕A、〔1，1〕 B、〔4，11〕 C、〔4，－5〕 D、〔－4，11〕答案：B15、〔北京四中模拟〕二次函数的图象如以下列图，那么〔〕A、 B、 C、 D、答案：A16、〔2024杭州模拟〕二次函数经过点M〔-1,2〕和点N〔1，-2〕，交x轴于A，B两点，交y轴于C那么……(▲)①；②该二次函数图像与y轴交与负半轴③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上④假设以上说法正确的有：A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②③答案：C17〔2024杭州模拟26〕二次函数y=的图像如以下列图，令M=︱4a-2b+c︱+︱a+b+c︱-︱2a+b︱+︱2a-b︱，那么以下结论正确的选项是……………()A.M＜0B.M＞0C.M=0D.M的符号不能确定答案：A18.〔2024年北京四中中考全真模拟15〕二次函数y=-2(x-1)2+3的图象如何移动就得到y=-2x2的图象〔〕A.向左移动1个单位，向上移动3个单位。B.向右移动1个单位，向上移动3个单位。C.向左移动1个单位，向下移动3个单位。D.向右移动1个单位，向下移动3个单位。答案：C19.〔2024.河北廊坊安次区一模〕抛物线的图象与x轴一个交点的横坐标是P，那么该抛物线的顶点坐标是A．〔0，－2〕 B． C． D．答案:DyxO20.(2024湖北省天门市一模)二次函数()的图象如以下列图，有以下结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是〔〕yxOA.1B.2C.3答案:D21．〔2024年浙江仙居〕向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2bx+c〔a≠0〕．假设此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，那么在以下时间中炮弹所在高度最高的是〔〕A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒答案：B22.〔2024年江苏盐城〕抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(3，－2)，那么该抛物线有()A.eq\a()最小值3B.eq\a()最大值3C.eq\a()最小值－2D.eq\a()最大值－2答案D23、〔2024年浙江杭州五模〕二次函数的图像如图，那么以下5个代数式：,其值大于0的个数为〔〕A、3B、2C、5D、4答案：ByO1x第1题图24、〔2024年浙江杭州六模〕抛物线y=－x2＋2x－2经过平移得到y=－x2,平移方法是〔〕A.向右平移1个单位，再向下平移1个单位B.向右平移1个单位，再向上平移1个单位C.向左平移1个单位，再向下平移1个单位D.向左平移1个单位，再向上平移1个单位答案：D25.(卷)二次函数y=的图像如以下列图，令M=︱4a-2b+c︱+︱a+b+c︱-︱2a+b︱+︱2a-b︱，那么以下结论正确的选项是………………()0-11A.M＜0B.M＞0-11答案：AB组Oyx2〔第1题图〕1．〔2024天一实验学校二模〕关于的函数图象如以下列图，那么当时，自变量的取值范围是〔〕Oyx2〔第1题图〕A． B．或C． D．或答案：B2．〔2024年杭州三月月考〕二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如以下列图，给出以下结论：①②当时，函数有最大值。③当时，函数y的值都等于0.④其中正确结论的个数是〔〕(A)1(B)2(C)3(D)4答案：Cxxxxx3．〔2024年三门峡实验中学3月模拟〕抛物线图像如以下列图，那么一次函数与反比例函数xxxxx答案：D4.〔2024杭州上城区一模〕。以下函数的图象，经过原点的是〔〕A.B.C. D.答案：A5．〔2024杭州市模拟〕二次函数中，其函数与自变量之间的局部对应值如下表所示：…0123……5212…点A〔，〕、B〔，〕在函数的图象上，那么当，时，与的大小关系正确的选项是〔〕A．≥ B．C． D．≤答案：B第6题2024年杭州市西湖区模拟〕二次函数的图象如以下列图，那么一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为〔〕第6题答案：D7．〔浙江杭州金山学校2024模拟〕〔引九年级模拟试题卷〕函数在同一直角坐标系内的图象大致是〔▲〕答案：C8．〔2024灌南县新集中学一模〕以下函数的图象中，有最高点的函数是【】A．B． C．D．答案：D9．〔2024广东南塘二模〕.二次函数y＝(m－1)x＋4x－5m的图象的对称轴方程是A、x＝1B、x＝－1C答案：A10.〔2024深圳市中考模拟五〕.如图，抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，化简的结果为①c②b③b－a④a－b＋2c，其中正确的有〔〕A．一个B．两个C．三个D．四个答案：C11.〔安徽芜湖2024模拟〕抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，那么b、c的值为〔〕A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=2答案:B12．〔河南新乡2024模拟〕在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是〔〕yyx2oAyxoByx2oCyxoD答案：Ｃ13．〔2024年黄冈市浠水县〕如图，二次函数〔≠0〕的图象经过点12〔1，2〕且与轴交点的横坐标分别为1，2，其中一1＜1＜0，1＜2＜2，12以下结论：eq\o\ac(○,1)＜eq\o\ac(○,2)＜eq\o\ac(○,3)＞4eq\o\ac(○,4)-1其中结论正确的有〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D14．〔江西省九校2024—2024第一次联考〕以下函数中，其图象与x轴有两个交点的是【】A．y＝8(x2024)22024B．y＝8(x2024)22024C．y＝8(x2024)22024D．y＝8(x2024)22024答案：Dxyo15．〔北京四中2024中考模拟14〕二次函数y=axxyoA.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c<oC.a<o,b>0,c<0D.a<0,b>0,c>o答案：D16．〔2024北京四中模拟〕己知二次函数，且那么一定有〔〕.A：B：C：D：答案：A17．〔2024年北京四中34模〕抛物线，假设点P〔，5〕与点关于该抛物线的对称轴对称，那么点的坐标是〔〕A．〔0，5〕B．〔2，5〕C．〔3，5〕D．〔4，5〕答案：D18．〔2024年北京四中34模〕二次函数的图象如右图所示，以下结论：① ② ③④的实数)，其中正确的结论有〔〕A．1个B．2个C．3个 D．4个答案：B19．〔2024年杭州市上城区一模〕以下函数的图象，经过原点的是〔〕A.B.C. D.答案：A第7题20.二次函数的图象如以下列图，那么一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为第7题答案：D第9题21.如图，在直角梯形中，∥，，，，动点同时从点出发，点沿、、运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是/，而当点到达点时，点正好到达点．设点运动的时间为，的面积为．那么能正确表示整个运动中关于的函数关系的大致图象是第9题A．B．C．D．答案：B22．〔2024年海宁市盐官片一模〕二次函数，那么函数值y的最小值是〔▲〕A.3 B.2 C.1 D.－1答案：D23．〔赵州二中九年七班模拟〕点E为正方形ABCD的BC边的中点，动点F在对角线AC上运动，连接BF、EF．设AF＝x，△BEF的周长为y，那么能表示y与x的函数关系的图象大致是〔〕OOxOOOxxxyyyyABCDABCDFE答案：Bxy024．〔赵州二中九年七班模拟〕二次函数xy0A.B.C.D.0答案：D填空题A组1、〔2024重庆市纂江县赶水镇〕在正方形的网格中，抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如以下列图，请你观察图象并答复：当－1<x<2时，y1____y2〔填“>〞或“<〞或“=〞号〕．答案：＜2、〔重庆一中初2024级10—11学年度下期3月月考〕小颖同学想用“描点法〞画二次函数的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：…012……112－125…由于粗心，小颖算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x=______．答案：23、〔2024年北京四中四模〕抛物线的顶点坐标是_____.答案：〔0，－3〕4、(2024年江阴市周庄中学九年级期末考)抛物线的顶点坐标是________.答案：(3，－6)5、〔2024北京四中模拟6〕把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是.答案：46、〔2024淮北市第二次月考五校联考〕抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕上两点，当x取-1与3时，y值相同，抛物线的对称轴是__________.答案X＝17．〔淮安市启明外国语学校2024－2024学年度第二学期初三数学期中试卷〕如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2－2ax+EQ\F(3,2)〔a＜0〕的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，那么点D的坐标为．第第7题图答案：〔2，EQ\F(3,2)〕8、〔2024年北京四中模拟28〕抛物线的顶点坐标是．答案：〔0，-1〕9、(2024浙江杭州模拟14)老师给出一个y关于x的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时y>0.这四位同学表达都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数______________.答案：答案不唯一.例如：10、(2024浙江杭州模拟15)甲、乙两位同学对问题“求函数的最小值〞提出各自的想法。甲说：“可以用配方法，把它配成，所以函数的最小值为-2”。乙说：“我也用配方法，但我配成，最小值为2”。你认为__________〔填写“甲对〞、“乙对〞、“甲、乙都对〞或“甲乙都不对〞〕的。你还可以用________法等方法来解决．答案：乙图象〔答案不唯一〕11、〔2024年黄冈中考调研六〕抛物线y＝7x2＋28x＋30的顶点坐标为。答案12、关于x的函数y＝〔m－1〕x2＋2x＋m图像与坐标轴有且只有2个交点，那么m＝答案：13.(河北省中考模拟试卷)抛物线y=〔x+1〕2-2的顶点坐标是．答案：(-1,-2)B组1．〔2024年三门峡实验中学3月模拟〕抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为____________．答案：或第2题2．〔2024年三门峡实验中学3月模拟〕如图，⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为.第2题答案：或3．〔2024年杭州三月月考〕将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是▲。答案：OxAyHCy=x24．〔2024天一实验学校二模〕．如图，在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30o,在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x2(x>0)上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与OxAyHCy=x2源答案：(3，EQ\r(,3)),(EQ\F(1,3)EQ\r(,3)，EQ\F(1,3)),(2EQ\r(,3)，2),(EQ\F(2,3)EQ\r(,3)，EQ\F(2,3))5．〔2024〕我们把一个半圆与抛物线的一局部合成的封闭图形称为“蛋圆〞，如果一条直线与“蛋圆〞只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆〞的切线。如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆〞与坐标轴的交点，点D的坐标为〔0，-3〕AB为半圆直径，半圆圆心M〔1，0〕，半径为2，那么“蛋圆〞的抛物线局部的解析式为__________________。经过点C的“蛋圆〞的切线的解析式为__________________。〔08年益阳第20题〕答案：y=x2-2x-3,y=-2x-36．〔2024年27模〕我们知道，根据二次函数的平移规律，可以由简单的函数通过平移后得到较复杂的函数，事实上，对于其他函数也是如此。如一次函数，反比例函数等。请问可以由通过_________________________平移得到。答案：向右平移1个单位，再向上平移3个单位第7题7.〔2024年浙江省杭州市模2〕如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x2〔x＞0〕上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么符合条件的点A的坐标是第7题答案：(，)(，)(3，)(2，2)8.〔安徽芜湖2024模拟〕如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一局部，其对称轴为直线x=1，假设其与x轴一交点为A〔3，0〕，那么由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是.答案:x＜-1或x>39.〔河南新乡2024模拟〕抛物线与轴的一个交点为，那么代数式的值为＿＿＿＿＿＿＿．答案：202410.〔浙江杭州进化2024一模〕老师给出一个y关于x的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时y>0.这四位同学表达都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数______________.第11题图答案：答案不唯一.例如：第11题图11．〔2024北京四中模拟〕如图示：己知抛物线，关于轴对称，抛物线，关于轴对称。如果抛物线的解析式是，那么抛物线的解析式是12．〔江西省九校2024—2024第一次联考〕将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是．答案：y＝2x2-113．〔北京四中2024中考模拟12〕一个函数具有以下性质：=1\*GB3①它的图象不经过第三象限；=2\*GB3②图象经过点〔－1，1〕；=3\*GB3③当时函数值随自变量x增大而增大.试写出一个满足上述三条性质的函数的解析式。答案：等〔写一个即可〕14．〔北京四中2024中考模拟13〕把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是.答案：；15．〔北京四中2024中考模拟14〕抛物线y=(k+1)x-9开口向下,且经过原点,那么k=_____.答案：-3;解答题A组1、〔衢山初中2024年中考一模〕如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为．〔1〕请在图中画出向下平移3个单位的像；〔2〕假设一个二次函数的图象经过〔1〕中的三个顶点，求此二次函数的关系式．xxOyACB答案：20、〔1〕xOyAxOyACBAAA〔2〕由题意得的坐标分别是〔0，-1〕，〔3，-1〕，〔2，0〕设过点的二次函数的关系式为，那么有解得∴二次函数的关系式为2、(中江县2024年初中毕业生诊断考试) 如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点，D是抛物线的顶点，O为坐标原点.A、B两点的横坐标分别是方程的两根，且cos∠DAB＝.〔1〕求抛物线的函数解析式；〔2〕作AC⊥AD，AC交抛物线于点C，求点C的坐标及直线AC的函数解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△APC的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标和△APC的最大面积；如果不存在，请说明理由.答案：〔10分〕解：〔1〕解方程得，.∴A〔－2，0〕，B〔6，0〕.过D作DE⊥x轴于E，∵D是顶点，∴点E是AB的中点，∴E〔2，0〕.在Rt△DAE中，∵cos∠DAB＝，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE＝4，∴D〔2，4〕〔由A、B、D三点坐标解出二次函数解析式，不管用顶点式、两根式还是一般式均可〕∴抛物线的解析式为〔或写成〕.〔2〕∵AC⊥AD，由〔1〕∠DAE＝45°得：∠BAC＝45°，△ACG是等腰直角三角形.∴设C〔a，b〕〔显然a＞0，b＜0〕，那么b＝―a―2，即C〔a，―a―2〕∵点C在抛物线上，∴―a―2＝―〔a―2〕2＋4a2―8a―20＝0解之得：a1＝10，a2＝－2〔舍去〕∴C〔10，－12〕设直线AC的方程为，代入A、C的坐标，得解之得：∴直线AC的解析式为y＝―x―2.〔3〕存在点P〔4，3〕，使S△APC最大＝54.理由如下： 作CG⊥x轴于G，PF∥y轴交x轴于Q，交AC于F.设点P的横坐标是h， 那么G〔10，0〕，P〔h，〕，F〔h，－h－2〕 ∴PF＝ △PCF的高等于QG. S△APC＝S△APF＋S△PCF＝PF·AQ＋PF·QG＝PF〔AQ＋QG〕＝PF·AG＝＝ ∴当h＝4时，S△APC最大＝54.点P的坐标为〔4，3〕.3、〔2024年北京四中四模〕二次函数的图象经过点〔－1，－5〕，〔0，－4〕和〔1，1〕.求这个二次函数的解析式.答案：设所求函数的解析式为把〔―1，―5〕，〔0，－4〕，〔1，1〕分别代入，得

，解这个方程组，得所求的函数的解析式为4、〔2024北京四中模拟7〕二次函数，它的图象与x轴只有一个交点，交点为A，与y轴交于点B，且AB=2.

(1)求二次函数解析式；

(2)当b<0时，过A的直线y=x＋m与二次函数的图象交于点C，在线段BC上依次取D、E两点，假设，试确定DAE的度数，并简述求解过程。答案解法一：(1)∵的图象与x轴只有一个交点∴一元二次方程＝0有两个相等的实数根由AB=2，得A与B不重合，又a>0∴c>0∴ac=1∴二次函数与x轴，y轴交点坐标为在RtABO中，把(1)代入(2)，解得把二次函数解析式为

(2)当b<0时，由二次函数的解析式直线与二次函数图象交点C的坐标为过C点作CFx轴，垂足为F，可推得AB=AC，BAC=90(如以下列图)

在CF上截取CM=BD，连结EM、AM，那么

可证ABD≌ACM从而可证DAE≌MAE∴∠1=∠2，∠DAE=∠EAM∴∠DAM=∠BAC=90∴∠DAE=455、〔2024北京四中模拟8〕如图，在直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上。抛物线经过点B、C。〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点D、E分别是AB、BC上的动点，且点D从点A开始，以1cm/s的速度沿AB向点B移动，同时点E从点B开始，以1cm/s的速度沿BC向点C移动。运动t秒〔t≤2〕后，能否在抛物线上找到一点P，使得四边形BEDP为平行四边形。如果能，请求出t值和点P的坐标；如果不能，请说明理由。答案;能,,P6、〔2024淮北市第二次月考五校联考〕，二次函数y=x2+bx+c的图象过点A〔－1，0〕和点B〔3，0〕两点，且与y轴交于点C，〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕求△ABC的面积。答案解：(1)y＝(x+1)(x-3)=x2-2x-3………………2分(2)AB=3-(-1)=4………………4分S△ABC=×4×3=6………………8分7、〔2024淮北市第二次月考五校联考〕丁丁推铅球的出手高度为1.6m，在如以下列图的直角坐标系中，铅球运动路线是抛物线y=－0.1〔x－k〕2+2.5，求铅球的落点与丁丁的距离。答案y=0.1x2+0.2kx-0.1k2+2.5………………2分-0.1k2+2.5=1.6k＝±3k＝3………………4分0.1〔x－3〕2+2.5=0x1=－2(舍去)x2=8所以,铅球的落点与丁丁的距离为8cm.………………8分8．〔淮安市启明外国语学校2024－2024学年度第二学期初三数学期中试卷〕如以下列图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3〔a≠0〕经过、两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点〔不与B、D重合〕，过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．〔1〕求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；〔2〕如果P点的坐标为〔x，y〕，△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；12331DyC12331DyCBAP2ExO第8题图答案：〔1〕抛物线解析式为：．顶点的坐标为．〔2〕设直线解析式为：〔〕，把两点坐标代入，得解得．∴直线解析式为．，s=EQ\F(1,2)PE·OE∴．∴当时，取得最大值，最大值为．(E)12331DyC(E)12331DyCBAP2xOFMH∴四边形是矩形．作点关于直线的对称点，连接．过作轴于，交轴于点．设，那么．在中，由勾股定理，．解得．∵，∴．由，可得，．∴．∴坐标．不在抛物线上。9．题〕二次函数的图象Q与x轴有且只有一个交点P，与y轴的交点为B〔0，4〕，且ac＝b，〔1〕求这个二次函数的解析式。〔2〕将一次函数y＝－3x的图象作适当平移，使它经过点P，记所得的图象为L，图象L与Q的另一个交点为C，请在y轴上找一点D，使得△CDP的周长最短。答案：〔1〕由B〔0，4〕得，c=4.Q与x轴的交点P〔，0〕，由条件，得，所以=，即P〔，0〕．所以解得所求二次函数的解析式为．〔2〕设图象L的函数解析式为y=x+b，因图象L过点P〔，0〕，OPBCOPBCxyP’Dy=．令=，解得，．将它们分别代入y=，得，．所以图象L与Q的另一个交点为C〔，9〕．∵点P〔，0〕关于y轴的对称点为点P’〔2，0〕那么直线CP’的解析式为，且与y轴的交点为即10．〔2024年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题〕：抛物线经过点，，且对称轴与轴交于点.〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕如图，点、分别是轴、对称轴上的点，且四边形是矩形，点是上一点，将沿着直线翻折，点与线段上的点重合，求点的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，点是对称轴上的点，直线交于点，，求点坐标.(第(第3题图)答案：〔1〕由题意得解，得∴.〔2〕∵与重合，，∴，，∴，又，∴，∵，∴∽，∴，∵四边形是矩形，∴，，设，那么，∴，∴，解，得，∴，∴.〔3〕过点作，垂足为点.∵，∴，∵，，∴∥，∴，∴，∴.∴经过点，的直线的表达式为，∴.11．〔2024－2024学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题〕如图1，抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.〔1〕求该抛物线的函数关系式；〔2〕将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒〔0≤t≤3〕，直线AB与该抛物线的交点为N〔如图2所示〕.①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？假设存在，求出这个最大值；假设不存在，请说明理由．图2B图2BCOADEMyxPN·图1BCO(A)DEMyx答案：〔1〕〔2〕①点P不在直线ME上②依题意可知：P〔,〕，N〔，〕当0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得： =+=+==∵抛物线的开口方向向下，∴当=，且0＜t＝＜3时，=当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形依题意可得，==3综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值．12、(2024浙江杭州模拟15)_M_A_B_O_M_A_B_O_x_y第1题图当M为抛物线的顶点时，求△OMB的面积；当点M在抛物线上，△OMB的面积为10时，求点M的坐标；当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧，M运动到何处时，△OMB的面积最大；答案：13、〔2024年北京四中中考模拟20〕(此题14分)直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如以下列图，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠局部(图中的阴影局部)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠局部的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？假设存在，求出这个最大值，并求此时t的值；假设不存在，请说明理由。yyxOBCATyxOBCAT解：(1)∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，∴，∴当点A´在线段AB上时，∵，TA=TA´，∴△A´TA是等边三角形，且，∴，，AA´BPAA´BPTECOyx当A´与B重合时，AT=AB=，所以此时。(2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，纸片重叠局部的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)，A´A´ATCOyxPF又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0)BE所以当纸片重叠局部的图形是四边形时，。BE(3)S存在最大值eq\o\ac(○,1)当时，，在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，∴当t=6时，S的值最大是。eq\o\ac(○,2)当时，由图eq\o\ac(○,1)，重叠局部的面积∵△A´EB的高是，∴当t=2时，S的值最大是；eq\o\ac(○,3)当，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图eq\o\ac(○,2)，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)，∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴综上所述，S的最大值是，此时t的值是。图514、〔2024年北京四中中考模拟18〕

二次函数的图象经过点〔2，0〕、〔－1，6〕。

〔1〕求二次函数的解析式；

〔2〕画出它的图象；

〔3〕写出它的对称轴和顶点坐标。

图5解：〔1〕依题意，得：，解得：所以，二次函数的解析式为：y＝2x2－4x〔2〕〔图略〕；〔3〕对称轴为x＝1，顶点坐标为〔1，－2〕。15、〔2024年北京四中中考模拟19〕〔本小题总分值6分〕抛物线与x轴交于A〔－1，0〕和B〔3，0〕两点，且与y轴交于点C〔0，3〕。〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕抛物线的对称轴方程和顶点M坐标；〔3〕求四边形ABMC的面积。解：〔1〕y=—x2+2x+3；〔2〕x=1，M〔1，4〕，〔3〕9；16、〔北京四中模拟〕：二次函数的图象与X轴交于A〔1，0〕、B〔5，0〕，抛物线的顶点为P，且PB=，求：〔1〕二次函数的解析式。〔2〕求出这个二次函数的图象；〔3〕根据图象答复：当x取什么值时，y的值不小于0。解〔1〕由题意，设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-5),即y=ax2-6ax+5a对称轴为x=3，设对称轴与x轴的交点为C(3,0)∴OC=3∵OB=5∴BC=2∵P是顶点，BP=∴PC=4P〔3，-4〕∴∴∴二次函数的解析式为〔2〕略 〔3〕当1<x<5时，y<017、〔北京四中模拟〕如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是边长为8的正方形，OA=2，求：〔1〕写出A、B、C、D各点的坐标；〔2〕假设正方形ABCD的两条对角线相交于点P，请求出经过O、P、B三点的抛物线垢解析式；〔3〕在〔2〕中的抛物线上，是否存在一点Q，使△QAB的面积为16，如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由。解：〔1〕A〔2，0〕、B〔10，0〕、C〔10，8〕、D〔2，8〕〔2〕过P作PE⊥X轴于E∴PE=AE=BC=4OE=6∴P〔6，4〕设抛物线，即∴故二次函数的解析式为：，顶点〔5，〕〔3〕存在点Q使△QAB的面积为16，Q1〔4，4〕、Q2〔6，4〕Q3〔-2，-4〕Q4〔-4，12〕18、〔北京四中模拟〕如图，抛物线，与轴交于点，且．〔=1\*ROMANI〕求抛物线的解析式；〔=2\*ROMANII〕探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？假设存在，求出点坐标，假设不存在，请说明理由；〔=3\*ROMANIII〕直线交轴于点，为抛物线顶点．假设，的值．解：〔=1\*ROMANI〕，且．．代入，得〔=2\*ROMANII〕①当可证∽．②同理:如图当③当综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，．〔=3\*ROMANIII〕．．∴．．．又．．．19、〔2024杭州模拟25〕在△ABC中，∠AOB=90°，OA=OB=10，分别以边OA、OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点P自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止。同时点D自原点O出发沿x轴正方向匀速运动。在点P、D运动的过程中，始终满足PO=PD，过点O、D向AB做垂线，垂足分别为点C、E,设OD=x(1)AP=(用含x的代数式表示)〔2〕在点P、D运动的过程中，线段PC与BE是否相等？假设相等，请给予证明，假设不相等，说明理由。〔3〕设以点P、O、D、E为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围。〔原创〕20、〔2024杭州模拟26〕：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长〔OB<OC〕是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且A点坐标为〔－6，0〕．〔1〕求此二次函数的表达式；〔2〕假设点E是线段AB上的一个动点〔与点A、点B不重合〕，过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；〔3〕在〔2〕的根底上试说明S是否存在最大值，假设存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8┄┄┄┄┄┄┄………1分∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC,∴B、C三点的坐标分别是B〔2，0〕、C〔0，8〕┄┄┄┄┄…………3分将A〔－6，0〕、B〔2，0〕、C〔0，8〕代入表达式y＝ax2＋bx＋8，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝36a－6b＋8,0＝4a＋2b＋8))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,3),b＝－\f(8,3)))∴所求二次函数的表达式为y＝－eq\f(2,3)x2－eq\f(8,3)x＋8┄┄┄┄┄┄┄┄………5分2〕∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，那么BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10.∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄………6分∴eq\f(EF,AC)＝eq\f(BE,AB).即eq\f(EF,10)＝eq\f(8－m,8).∴EF＝eq\f(40－5m,4).┄┄┄┄…………7分过点F作FG⊥AB，垂足为G，那么sin∠FEG＝sin∠CAB＝eq\f(4,5).∴eq\f(FG,EF)＝eq\f(4,5).∴FG＝eq\f(4,5)·eq\f(40－5m,4)＝8－m.┄┄┄┄┄┄┄┄…………8分∴S＝S△BCE－S△BFE＝eq\f(1,2)〔8－m〕×8－eq\f(1,2)〔8－m〕〔8－m〕＝eq\f(1,2)〔8－m〕〔8－8＋m〕＝eq\f(1,2)〔8－m〕m＝－eq\f(1,2)m2＋4m.自变量m的取值范围是0＜m＜8.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄………9分(3)存在．理由如下:∵S＝－eq\f(1,2)m2＋4m＝－eq\f(1,2)〔m－4〕2＋8,且－eq\f(1,2)＜0,∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8.┄┄┄┄┄┄┄┄┄……10分∵m＝4，∴点E的坐标为〔－2，0〕∴△BCE为等腰三角形．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄………12分(其它正确方法参照给分)解：〔1〕AP=〔2分〕〔2〕PC=BE〔1分〕0≤x＜10时PC=AC-AP=BE=BD=(10-x)=〔4分〕〔3〕当0＜x＜10时，〔3分〕当10＜x＜20时，21.〔2024年兴华公学九下第一次月考〕如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线(1)求点E的坐标；(2)求过A、O、E三点的抛物线解析式；(3)假设点P是〔2〕中求出的抛物线AE段上一动点〔不与A、E重合〕，设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值。答案：解：〔1〕作AF⊥x轴与F∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=∴点A〔1，〕………1分代入直线解析式，得，∴m=∴当y=0时，得x=4，∴点E〔4，0〕……………3分〔2〕设过A、O、E三点抛物线的解析式为∵抛物线过原点∴c=0∴∴∴抛物线的解析式为…………6分〔3〕作PG⊥x轴于G，设………8分当xOyACB22.xOyACB为．〔1〕请在图中画出向下平移3个单位的像；〔2〕假设一个二次函数的图象经过〔1〕中的三个顶点，求此二次函数的关系式．〔1〕〔2〕由题意得的坐标分别是〔0，-1〕，〔3，-1〕，〔2，0〕设过点的二次函数的关系式为，那么有解得∴二次函数的关系式为23、〔2024年浙江杭州五模〕如图，设抛物线交x轴于两点，顶点为．以为直径作半圆，圆心为，半圆交y轴负半轴于．〔1〕求抛物线的对称轴；〔2〕将绕圆心顺时针旋转，得到，如图．求点的坐标；〔3〕有一动点在线段上运动，的周长在不断变化时是否存在最小值？假设存在，求点的坐标；假设不存在，说明理由．答案：〔1〕对称轴为直线x=12’(2)A(-1,0)，B(3,0)，M(1,0)所以圆M的半径为211’〔3〕顶点坐标为D〔1，-1〕D〔1，-1〕关于x轴的对称点D‘〔1，1〕1那么直线CD‘为1’那么CD‘与X轴的交点即为所求的Q点为2’B组1．〔2024天一实验学校二模〕：如图，直线：经过点M(0,)，一组抛物线的顶点〔为正整数〕依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：A1〔x1,0〕,A2〔x2,0〕,A3〔x3,0〕,……An+1〔xn+1,0〕〔为正整数〕，设〔1〕求的值；〔2〕求经过点的抛物线的解析式〔用含的代数式表示〕〔3〕定义：假设抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，那么这种抛物线就称为：“美丽抛物线〞．yOMxnlyOMxnl123…答案：⑴∵M(0,在直线y=x+b上，∴b=⑵由⑴得y=x+,∵B1(1,y1)在直线l上，∴当x=1时，y1=×1+=∴B1(1,)又∵A1(d,0)A2(2-d,0)设y=a(x-d)(x-2+d),把B1(1,)代入得：a=-∴过A1、B1、A2三点的抛物线解析式为y=-(x-d)(x-2+d)(或写出顶点式为y=-(x-1)+)⑶存在美丽抛物线。由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必定是以抛物线为顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵0<d<1,∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1。∵当x=1时，y1=×1+=<1;当x=2时，y2=×2+=<1当x=3时，y2=×3+=1>1∴美丽抛物线的顶点只有B1B2.①假设B1为顶点，由B1(1,)，那么d=1-=②假设B2为顶点，由B2(2,)，那么d=1-=综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线。2.〔2024浙江慈吉模拟〕如图,四边形ABCD是平行四边形,A、B均在轴上,点C的坐标是(6,3),AD所在的直线的解析式为.(1)求A、B、D的坐标；(2)以D为顶点的抛物线经过点B,假设将抛物线向上平移()个单位后经过点A,求原抛物线的解析式及的值.答案：〔1〕当时，，得点A的坐标为〔〕四边形ABCD是平行四边形AB∥CD，AB=CD得点D的坐标为〔〕AB=CD=点B的坐标是〔〕〔2〕设原抛物线的解析式为把点B的坐标〔〕代入得原抛物线的解析式为设原抛物线向上平移个单位后的解析式为把点A〔〕代入得3．〔2024年杭州三月月考〕如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．〔1〕求抛物线的解析式及其顶点的坐标；〔2〕设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；ABCOxy〔3〕过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ABCOxy答案：〔1〕设抛物线解析式为，把代入得．，顶点〔2〕假设满足条件的点存在，依题意设，由求得直线的解析式为，它与轴的夹角为，设的中垂线交于，那么．那么，点到的距离为．又．．平方并整理得：．存在满足条件的点，的坐标为．〔3〕由上求