2022-2023学年北京市十一中高二数学上学期期中试卷附答案解析

-2023学年北京市十一中高二数学上学期期中试卷一、选择题，本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．抛物线的焦点到准线的距离是（

）．A． B． C．2 D．42．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．3．双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（

）A．1 B． C．1或 D．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为（

）A．8 B．4 C．2 D．15．已知双曲线C：的一条渐近线为，则C的离心率为（

）A． B． C．2 D．6．已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是直角三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．若，则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．9．已知抛物线，为坐标原点，过其焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，则中点到轴的距离为（

）A． B．C． D．10．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（

）A． B． C． D．11．设点，分别为椭圆的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为（

）A．0 B．1 C．2 D．312．已知椭圆（）与双曲线（，）具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题，本题共6小题，每小题4分，共24分.13．已知双曲线过点，则其渐近线方程为．14．已知椭圆C：的两个焦点为、，P为椭圆C上一点，则的周长为15．已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上一个动点，点，则的最小值为．16．设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为．17．设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为.18．已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是．①曲线C关于坐标原点对称；

②y的取值范围是；③曲线C是一个椭圆；

④曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积．三、解答题，本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19．设抛物线的顶点为，焦点为．过点且斜率为的直线与有两个不同的交点，过点作平行于的对称轴的直线交的准线于点．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)求证：，三点共线．20．已知椭圆过定点，离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程.21．已知椭圆的长轴长为6，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点A，B为椭圆C的左右顶点，M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线AM交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线BN垂直的直线记为l，直线BM交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．22．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.(1)求该抛物线的方程；(2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.1．D【分析】根据抛物线的解析式求出即可【详解】由题意得，得，所以抛物线的焦点到准线的距离是4.故选：D.2．C【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，求出双曲线方程.【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，，故，又，故，故双曲线的标准方程为：.故选：C3．A【分析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点在轴上，依题意得解得.故选：A4．C【分析】由抛物线的性质可求得，从而可得焦点坐标.【详解】抛物线的准线方程为：，由抛物线的性质可知：点到焦点的距离等于到准线的距离，即，得，抛物线方程为，则焦点坐标为，焦点到y轴的距离为2.故选：C5．D【分析】由条件可得，即可得离心率.【详解】因为双曲线：的一条渐近线为，所以，所以双曲线的离心率为.故选：D.6．C【分析】由题意结合向量可得a，b，c之间的关系，进而求出离心率．【详解】由题意可知：椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，则有，∵，则，即，则，解得或（舍去），故选：C.7．A【分析】结合双曲线的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．【详解】当时，，故方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充分条件，方程表示双曲线时，需满足，即或，故“”不是“方程表示双曲线”的必要条件，故选：A.8．D【分析】直线过原点，且与双曲线的两支各有一个交点，则直线在两条渐近线之间，数形结合即可得到答案.【详解】由双曲线，得渐近线方程为，由题意得，直线应该在两条渐近线之间，如图得，.故选：D.9．B【分析】根据抛物线的定义求的横坐标之和，然后得中点的横坐标【详解】设，，，由抛物线定义得：，故中点的横坐标为故选：B10．D【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：设，则，所以，解得，则，.弦长|MN|.故选：D.11．A【分析】设点，根据坐标得到，再结合椭圆的对称性即可得到的范围.【详解】设点，根据椭圆方程得，，，则，，，显然，方程最多有两个解，根据椭圆的对称性可知，要想有四个点，需要方程有两个解，且在范围里，所以.故选：A.12．B【分析】由椭圆和双曲线的定义以及余弦定理解得，再由“1”的代换和基本不等式求得结果.【详解】设P为第一象限的交点，则由椭圆和双曲线的定义可知，∴在△中由余弦定理得：即：∴，即：∴当且仅当，即时，取得最小值为3.故选：B.13．【分析】由双曲线经过可求得，从而即得渐近线方程.【详解】因为双曲线过点，即有，解得或（舍），而，故渐近线方程，即.故答案为：14．16【分析】由椭圆的定义求解即可.【详解】由椭圆的定义有,故的周长为.故答案为：16.【点睛】本题主要考查了椭圆的焦点三角形的周长问题,属于基础题型.15．##4.5【分析】结合抛物线第一定义，由两点间直线距离最短即可求解.【详解】如图所示，设抛物线准线交于点，由抛物线第一定义可知，，要使最小，即最小，当三点共线时，取到最小值，,故答案为：16．【分析】由题意作等价转换，结合抛物线第一定义可直接写出方程.【详解】如图，由垂直平分线的性质可得，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为，故，点P的轨迹方程为.故答案为：17．7【分析】根据题意可得，利用勾股定理和椭圆定义可求得，即可求出面积.【详解】由题意得，，，，∴在以线段为直径的圆上，∴，∴①，由椭圆的定义知，②，由①②，解得，.故答案为：7.18．①②④【分析】①在曲线C上任取一个点，找到它关于原点对称的点，判断是否也在曲线C上即可.②把用表示，借助的范围即可得y的取值范围.③分析曲线C的图形是两个抛物线的部分组成的即可.④在第一象限内，分析椭圆的图形与曲线C的图形的位置关系即可判断.【详解】曲线C的方程为，可变为.①设点，满足，则点关于原点对称的点为，因为，所以点也在曲线C上，即曲线C关于坐标原点对称.故①正确.②因为，所以，则y的取值范围是.故②正确.③时，曲线C的方程可化为，其中，时，曲线C的方程可化为，其中，所以曲线C的图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆.故③不正确.④当时，，设，则，，当且仅当或时等号成立，所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线C的上方.根据曲线C和椭圆的对称性可得椭圆的图形在曲线C的外部（四个顶点都在曲线C上），所以曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.故④正确.故答案为：①②④.19．(1)抛物线的方程为，其准线方程为(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，待定系数求得，再求解方程与准线即可；（2）结合题意，求得，，再证明即可.【详解】（1）解：因为过点且斜率为的直线与有两个不同的交点，所以有，解得，所以抛物线的方程为，其准线方程为.（2）解：因为过点作平行于的对称轴的直线交的准线于点．所以，由于抛物线的方程为，故焦点，所以直线的方程为，所以联立方程，整理得：，所以，即，所以，，因为，且有公共点，所以，三点共线.20．(1)(2)1，【分析】（1）由题意得出后写标准方程（2）待定系数法设直线方程，与椭圆方程联立后由韦达定理表示弦长与面积，转化为函数求最值【详解】（1）依题意可得所以可解得，，所以椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，联立方程组，消去得，化简得所以，即所以==又原点到直线的距离所以=当且仅当即时取等号所以，面积的最大值为，此时直线的方程为21．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据已知条件，列出满足的等量关系，求得，即可求得椭圆的方程；（2）设出点的坐标，求得直线的直线方程，以及点的坐标；再求得直线和的交点，以及点的坐标，利用弦长公式，即可求证.【详解】（1）根据题意可得：，，解得，故椭圆的方程为：.（2）设点的坐标为，则，即；又点坐标为，故可设直线方程为：，令，可得：，即点的坐标为，又点坐标为，故直线的斜率，又直线的斜率满足，则，又因为直线的斜率为，故直线方程为：，联立直线方程，与直线的方程，即，，即；则，故为定值.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中的定值问题；其中第二问处理的关键是根据点的坐标，结合几何关系，求得点的坐标，属综合中档题.22．(1)(2)过定点，证明见解析.【分析】（1）利用点斜式设直线直线的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求,再根据解得；（2）先设直线方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简，得或,代入方程可得直线过定点【详解】（1）拋物线的焦点，∴直线的方程为:.联立方程组，消元得:，∴.∴解得：.∴抛物线的方程为：.（2）由（1）可得点，可得直