机械制图课件第2章：点、直线、平面的投影

第2章点、直线、平面的投影2.1投影的基本知识2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影第2章点、直线、平面的投影2.5直线、平面之间的相对位置2.1

投影的基本知识2.1.1投影的概念2.1.2投影法分类2.1.3正投影的基本特性2.1.2

投影的概念什么是投影？投影中心投射线物体投影投影面

投影就是物体受到光线照射在平面上投影下影子的自然现象。2.1.1

投影的概念什么是投影法？

投影法是从点光源发出的光线照射物体，在平面上产生影子的概念抽象出来的一种图示方法，投影不是整块黑影，而是这样的一种投影图：将几何形体上被光线照射到的轮廓线用实线画出，而被自身遮挡没被光线照射到的轮廓线用虚线画出2.1.2

投影法分类投影法平行投影法投影法的分类中心投影法斜投影法正投影法投射线汇交于投射中心投射线互相平行中心投影法平行投影法投射线与投影面倾斜投射线与投影面垂直斜投影法正投影法本课程重点介绍2.1.3

正投影的基本特性abABH在该面上的投影ab反映空间直线AB的真实长度。即：ab=ABABCabcH在该面上的投影△abc反映空间平面△ABC的真实形状。即：△abc≌

△ABC（1）实形性

直线段或平面图形与投影面平行时，其投影反映实长或实形。2.1.3

正投影的基本特性（2）积聚性

直线段或平面图形与投影面垂直时，其投影积聚为点或直线。HCDc（d）DEFdefH在该面上的投影cd积聚为一个点。在该面上的投影△def积聚为一条直线。2.1.3

正投影的基本特性（3）类似性

直线段或平面图形倾斜于投影面时，直线段的投影变短但仍然是直线，而平面图形的正投影为比原形状小的类似形。EFefαHKLMklmH在该面上的投影长度变短，ef=EFcosα。在该面上的投影△klm面积变小。2.1.3正投影的基本特性

空间两条平行的直线，其同面投影也一定平行。

直线上的点，其投影也一定位于直线的同面投影上。

两平行直线的实际长度之比与其各同面投影长度之比相等；直线上的点将直线段分为两线段，这两线段的实际长度之比与其投影长度之比相等。（4）平行性（5）从属性（6）等比性2.2

点的投影2.2.1点的三面投影2.2.2点的投影与坐标2.2.3点的相对位置AaHB★

若已知一个空间点，则在给定的投影面上，可以得到该点唯一的投影。★

若已知点的一个投影，则不能确定该点的空间位置。(b)2.2

点的投影点的单面投影2.2.1

点的三面投影点的三面投影的形成正投影法：投射线互相平行，且与投影面垂直投影时，要构成“人—物体—投影面”的关系，且点在三投影面体系中的位置不能改变。90°90°

在V面上得到的投影叫正面投影，用a’表示

在H面上得到的投影叫水平投影，用a表示

在W面上得到的投影叫侧面投影，用a”表示投影面的展开2.2.1

点的三面投影90°90°2.2.2

点的投影与坐标OXZa’aa”aXaZYWaYWYHaYH点的投影特性:（1）点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即：aa’⊥OX；（2）点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即：a’a”⊥OZ；（3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即：aaX=a”aZ；投影与坐标的关系:2.2.2

点的投影与坐标

点的投影与投影轴的距离，反映该点的坐标，也就是该点与相应的投影面的距离。a’aZ=aaYH=aXO=Aa”=xAaaX=a”aZ=aYO=

Aa’=yAa’aX=a”aYH=aZO=

Aa=zA怎样描述A点在三投影面体系中的位置？A点到W面的距离：A点到V面的距离：A点到H面的距离：A（XA，YA，ZA）2.2.2

点的投影与坐标[例2-1]已知A点的正面投影a’和水平投影a，求点A的侧面投影a”。a”●●a’aaxazaz解法一:解法二:a

通过作45°转折线使a

az=aax用圆规画圆弧转角使a

az=aaxxzyHywa

aaxzxyHyw●2.2.2

点的投影与坐标[例2-2]已知点B距V、H、W三个投影面分别为10、20、15，求B点的三面投影。XbYbZb作图步骤:①

找出与三个坐标的对应值;②

在投影图的三个投影轴上截出坐标值;③

推平行线画出投影线;④

画点,并标出相应的字母。bb’b”15

1、两点的相对位置确定：空间两点的相对位置由两点相对于投影面的距离决定，即由两点的坐标值决定，因此，比较两点各坐标的大小，就可判定两点的相对位置。2.2.3点的相对位置2.2.3点的相对位置例2-3

如图所示，试判断点B相对于点A的空间位置

。X坐标值确定两点的左右位置大者为左，小者为右；XA<XBY坐标值确定两点的前后位置大者为前，小者为后；YA<YBZ坐标值确定两点的上下位置大者为上，小者为下；ZA>ZBzBzAxBxAyAyB结论:B点在A点的左、前、下方。2、重影点的投影

若空间两点或多点位于垂直于某一投影面的同一条投影线上时，则两点或多点在这个投影面上的投影便互相重合，这两点或多点就称为该投影面的重影点。H面上的重影点上者可见，下者不可见。V面上的重影点前者可见，后者不可见。W面上的重影点左者可见，右者不可见。YB-YAZA-ZBXB-XA（）B点在A点的正下方，或者说A点在B点的正上方。2.2.3

点的相对位置[例]已知A点到V面、H面、W面的距离分别为30、10、25，B点在A点的右15、后20、上25，求A、B两点的三面投影。作图步骤：①

分析A点；②

求A点的三面投影；③

分析B点；XAYAZA④

求B点的三面投影；X坐标差Y坐标差Z坐标差2.3

直线的投影2.3.1直线的三面投影2.3.2各种位置直线的投影特性2.3.3直线上的点2.3.4两直线的相对位置2.3.1

直线的三面投影

求直线AB的三面投影图时，可分别作出两端点A、B的三面投影，然后将其同面投影连接起来即得直线AB的三面投影图。直线按与投影面的相对位置不同分为三类：一般位置直线投影面平行线投影面垂直线不平行于任一投影面的直线。与一个投影面平行，与另二个投影面倾斜的直线。与一个投影面垂直，与另二个投影面平行的直线。特殊位置直线特殊位置直线

直线与H面、V面、W面的倾角，分别用α、β、γ表示2.3.1

各种位置直线的投影特性（1）一般位置直线γ投影特性:

三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，不能直接反映直线与投影面的真实倾角。与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。

直角三角形法：|YA-B|求一般位置线段的实长及对投影面的倾角B0βABa’b’|

YA-B|β|YA-B|a‘b’ABβ

每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个。直角三角形的作图要点:

直角三角形中，斜边为直线的实长，两直角边分别为直线的投影长及坐标差，斜边与投影长的夹角为倾角。ABab

△ZαABa''b''γ△XABβ△Ya'b'（2）投影面平行线投影面平行线正平线水平线侧平线——与V面平行的直线——与H面平行的直线——与W面平行的直线投影特性:①

在平行的投影面上的投影，反映实长，且反映该直线与其他两个投影面的真实倾角。②

在另外两个投影面上的投影，必分别平行于相应的投影轴，且长度缩短。（2）投影面平行线正平线投影特性:①

a’b’反映真实长度②

ab//OX，a”b”//OZ，且长度缩短。和α、γ角。水平线投影特性:①

ab反映真实长度②

a’b’∥OX，a”b”//OY，且长度缩短。和β、γ角。（2）投影面平行线（2）投影面平行线侧平线投影特性:①

a”b”反映真实长度②

a’b’∥OZ，ab∥OY，且长度缩短。和α、β角。（3）投影面垂直线投影面垂直线正垂线铅垂线侧垂线——与V面垂直的直线——与H面垂直的直线——与W面垂直的直线投影特性:①在垂直的投影面上的投影，积聚成一点。②

在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴（与直线相平行的投影轴），且反映实长。正垂线投影特性:①

a’b’积聚成一点。②

ab∥OY，a”b”∥OY，且反映实长。（3）投影面垂直线铅垂线投影特性:①

ab积聚成一点。②

a’b’∥OZ，a”b”∥OZ，且反映实长。（3）投影面垂直线（3）投影面垂直线侧垂线投影特性:①

a”b”积聚成一点。②

a’b’∥OX，ab∥OX，且反映实长。2.3.2直线上的点①

直线上的点的投影，必定在直线的同面投影上。反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一定在直线上。②

直线上的点分割直线段成两段，则这两线段的空间长度之比等于其各个同面投影的长度之比。反之………。AKKBa’k’k’b’=AKKBakkb=AKKBa”k”k”b”=AKKBa’k’k’b’akkba”k”k”b”===同理可得：结论——等比性2.3.2直线上的点的投影特性[例2-4]已知如图所示，点K在直线AB上，求作它们的三面投影。作图步骤:①作出AB的水平投影ab；②

在ab和a”b”上确定K点的水平投影k和侧面投影

k”。2.3.2直线上的点的投影特性[例2-5]已知如图所示，试在直线AB上取一点C，使AC:CB=2:3。作图步骤:①取直线任一投影ab，过a作任一直线ak；②

将ak五等分，得1、2、3、4、5等分点；③连接b和5，自2作2c∥b5,则c即为所求；④由c求出c’。2.3.3

两直线的相对位置两直线的相对位置平行相交交叉

在V、H两投影面体系中判断两直线的相对位置时，如有侧平线，则还需加W面投影或用其他的投影特性协助检查。共面直线异面直线（1）两直线平行投影特性：①若空间两直线平行，则其同面投影必互相平行。2.3.3

两直线的相对位置②空间两平行线段之比，等于其同面投影之比。[例2-6]如图所示，EF、GH为两侧平线，ef∥gh，e’f’∥g’h’。试判断EF与GH

两直线在空间是否平行？判断方法一：求出侧面投影e”f”和g”h”；判断方法二：

从H面投影与V面投影测量其长度，因ef:gh≠e’f’:g’h’,故EF不平行GH。2.3.3

两直线的相对位置因e”f”不平行g”h”，故EF不平行GH。（2）两直线相交投影特性：

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点符合点的投影特性，反之也成立。2.3.3

两直线的相对位置2.3.3

两直线的相对位置[例2-7]

直线AB与CD在V面上和H面上同名投影相交，如图所示，试判断此两直线在空间是否相交？方法一：利用第三面投影判断方法二：利用等比性判断结论：AB与CD在空间不相交（3）两直线交叉投影特性：

交叉两直线可能有一组、二组或三组同名投影都相交，各同名投影的交点一定不符合点的投影规律。也可能会有一组或两组同面投影互相平行，但绝对不会有三组同面投影互相平行。重影点2.3.3

两直线的相对位置（3）两直线交叉确定重影点投影可见性的方法：

从两交叉线的重影点向相邻投影面作投射连线，与两交叉线的相邻投影各交得一点。按（W面上）左遮右、（V面上）前遮后、（H面上）上遮下的规定，确定在重影点的投影重合处，哪点可见，哪点不可见。2.3.3

两直线的相对位置AHBCacbcOXb′a′c′ba

直角投影规律：

空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投影必定垂直。反之……。2.3.4

垂直两直线的投影两直线交叉垂直OXb′a′bamnnmBHACcbaMNnm【例题】求点K到直线AB的距离。kk′aba′b′ll′垂线KL的实长△ZKL△ZKL【例题】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30mm，试完成三角形ABC的投影。e′f′efa′abb′cc′量取bc=30mm【例题】已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试完成该正方形的正面、侧面投影。a′f′e′e″f″a″b″c″d″b′d′c′o″o′=△XAO△XAO半对角线实长【例题】求两直线AB、CD之间的距离。aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm两交叉线间距离(n)2.4

平面的投影2.4.1平面的表示法2.4.2各种位置平面的投影特性2.4.3平面上的点和直线2.4.1

平面的表示法（1）用几何元素表示平面不在同一直线上的三点一直线和线外一点相交两直线平行两直线任意平面图形（2）用迹线表示平面PHPVPWP迹线——平面与投影面的交线。平面与V面的交线称为正面迹线，用PV表示。平面与H面的交线称为水平迹线，用PH表示。平面与W面的交线称为侧面迹线，用PW表示。PVPHPW2.4.1

平面的表示法平面按与投影面的相对位置不同分为三类：一般位置平面投影面垂直面投影面平行面不平行于任一投影面的平面。与一个投影面垂直，与另二个投影面倾斜的平面。与一个投影面平行，与另二个投影面垂直的平面。特殊位置直线特殊位置平面

平面与H面、V面、W面的倾角，分别用α、β、γ表示2.4.2

各种位置平面的投影特性一般位置平面投影特性：三个投影都是面积缩小的类似形，不反映真实倾角。2.4.2

各种位置平面的投影特性投影面垂直面投影特性：①在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线。正垂面与V面垂直，与H、W面倾斜铅垂面与H面垂直，与V、W面倾斜侧垂面与W面垂直，与V、H面倾斜②

在其他两个投影面上的投影，均为类似形。2.4.2

各种位置平面的投影特性正垂面投影特性：①

V面投影积聚为一直线，并反映α和γ角。②

另两面投影为面积缩小的类似形。α

α

2.4.2

各种位置平面的投影特性2.4.2

各种位置平面的投影特性铅垂面投影特性：①

Ｈ面投影积聚为一直线，且反映β和γ角。②

另两面投影为面积缩小的类似形。β

β

2.4.2

各种位置平面的投影特性侧垂面投影特性：①

Ｗ面投影积聚为一直线，且反映β和α角。②

另两面投影为面积缩小的类似形。βααβ投影面平行面投影特性：①在它所平行的投影面上的投影反映实形。正平面与V面平行，与H、W面垂直水平面与H面平行，与V、W面垂直侧平面与W面平行，与V、H面垂直②

在其他两个投影面上的投影，积聚成直线，平行于相应的投影轴。2.4.2

各种位置平面的投影特性正平面投影特性：①

V面投影反映实形。②另两面投影积聚成直线，分别平行于OX、OZ轴。2.4.2

各种位置平面的投影特性2.4.2

各种位置平面的投影特性水平面投影特性：①

H面投影反映实形。②另两面投影积聚成直线，分别平行于OX、OY轴。侧平面投影特性：①

W面投影反映实形。②另两面投影积聚成直线，分别平行于OZ、OY轴。2.4.2

各种位置平面的投影特性1、点在平面上的几何条件：若点在平面上的任意直线上，则此点一定在该平面上。[例]已知K点在△ABC上，求K点的水平投影。作图步骤:①连接a’k’并延长交b’c’于d’，求出BC上D点的水平投影d；②

连接ad，再利用直线上点的投影特性，求出k。2.4.3

平面上的点和直线ABCMNP2、直线在平面上的几何条件：R①如果一直线通过平面上的两个点，则此直线必在该平面内。②如果一直线通过平面上的已知点且平行于平面内的另一直线，则此直线必在该平面内。

如图所示，相交两直线AB、AC决定一平面P，在AB、AC上分别取点M、N，则过M、N两点的直线一定在平面P上。过点M作直线MR平行直线

AC,则MR一定在平面P上。2.4.3

平面上的点和直线[例]已知直线MN在△ABC所决定的平面内，如图所示，求作其水平投影。作图步骤:①延长m’n’，分别与a’b’、b’c’交于1’和2’；②

应用直线上点的投影特性，求得Ⅰ、Ⅱ的水平投影1和2；③

连接1和2，再应用直线上点的投影特性，求出m和n。2.4.3

平面上的直线和点[例]已知平面五边形ABCDE的正面投影和其中AB、CB两边的水平投影，且AB∥CD，如图所示，试完成该五边形的水平投影。作图步骤:①连接a’e’并延长交b’c’于f’，根据F点在直线BC上，求得F点的水平投影f；②

连接af，根据E点在AF上，从而求得E的水平投影；③

作cd∥ab，并由d’得d；④

依次连接c、d、e、a得平面图形ABCDE的水平投影。（1）平面内的投影面平行线（倾角为0）（2）平面内对投影面的最大斜度线（倾角最大）ABCDdbcaH3、平面内的投影面平行线和最大斜度线abcaˊbˊcˊdˊdeˊe

平面上的投影面平行线，应符合直线在平面上的几何条件，又要符合投影面平行线的投影特性。（1）平面内的投影面平行线

平面内与某一投影面成最大倾角的直线，称为平面上对该投影面的最大斜度线。在平面内有无数条最大倾斜线，是一组互相平行的直线。αθAaBCPHEFPH最大斜度线的投影特性：1.对投影面倾角最大的直线；2.最大斜度线垂直于平面内的投影面平行线；3.平面对投影面的夹角等于平面内的最大斜度线对投影面的倾角。（2）平面上对投影面的最大斜度线abca′c′b′m′mα△ZCM△ZCM【例题】求平面△ABC的α角。abca′c′b′△YCM△YCMⅠⅠ′mm′β【例题】求平面△ABC的β角。caba′b′α△ZCDd′△ZCDc′d【例题】已知△ABC平面的α=30°，边AB为水平线，试完成△ABC的正面投影。cbab′a′c′dd′【例题】已知AB为平面△ABC对H面的最大斜度线，试完△ABC的正面投影。2.6直线、平面之间的相对位置一

直线与平面、两平面的平行问题二

直线与平面、两平面的相交问题三直线与平面、两平面的垂直问题四综合作图题一、直线与平面以及两平面平行问题1、直线与平面平行2、平面与平面平行EFABQQPABCDMNEF3、基本作图1、直线与平面平行几何条件:

若直线平行于平面上的某一直线，则直线与该平面平行。PHaba'b'PVPHCDcdABabPEFABQ

若平面具有积聚性，则平面的积聚性投影应平行于直线的同面投影。2、平面与平面平行几何条件：

一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线。QPABCDMNEFPPHQHQPHQH若两个同一投影面垂直面平行，则两平面的积聚性投影相互平行。3、基本作图（1）判别直线与平面是否平行（2）过空间一点作平面的平行线（3）过空间一直线作已知直线的平行面（4）判别平面与平面是否平行（5）过空间一点作已知平面的平行面【基本作图一】判别直线与平面是否平行；efe′f′abca′b′c′d′d作a′d′∥e′f′EF不平行△ABC【基本作图二】过空间一点作平面的平行线aa′deff′e′d′g′gb′b作ab∥fg并量取ab=35mm过空间点A作一条水平线AB=35mm，且平行于△DEF。【基本作图三】过空间一直线作已知直线的平行面aba′b′eff′e′c′c【基本作图四】判别平面与平面是否平行？abca′b′c′hefgg′f′e′h′d′dAD∥HGBC∥HE两平面平行【基本作图五】过空间一点作已知平面的平行面b′bcc′a′adefd′f′e′二、直线与平面以及两平面相交问题1、利用积聚性求交点或交线2、无积聚性时求交点或交线

直线与平面相交于一点，交点是直线与平面的共有点；两平面相交于一直线，交线是两平面的共有线。1、利用积聚性求交HacbkmnNMABCK基本作图HMmnlPABCacPHkfFKNL

两相交元素中若有一个元素具有积聚性，则可利用其积聚性来求交点或交线。①一般线与投影面垂直面相交②投影面垂直线与一般面相交③一般面与投影面垂直面相交④两个同一投影面垂直面相交【基本作图一】一般线与投影面垂直面相交xb’ba’acc´m´mnn´kVHacbkmnNMABCKk'k【基本作图二】投影面垂直线与一般面相交1′1abce′f′c′b′e(f)a′(k)k′VHEFABCEe´f´a´b´e(f)bcaKk´(k)【基本作图三】一般面与投影面垂直面相交VHMmnlPABCacPHkfFKNLnlmm´l´n´bacc´a´b´f´k´fk【基本作图三】一般面与投影面垂直面相交aa′bb′cc′d′dee′ff′nn′m0m0′m′m【基本作图四】两个同一投影面垂直面相交m(n)m′n′PHQHPVQVNMPQQVQHPVPH2、无积聚性时求交

由于相交的两元素均无积聚性，故不能直接利用积聚性进行求解。解决这类问题，通常可借助设置特殊辅助平面进行求解。（5）一般线与一般面相交；（6）两一般位置平面相交。基本作图MBCAFKNLFEABCQMNK【基本作图五】一般线与一般面相交m´n´QV

解题步骤：1、过EF作正垂面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线MN。3、求交线MN与EF的交点K。f´e´efba´acb´c´mnFECABQMNKk´k4、可见性判别利用重影点判别可见性f´e´efba´acb´c´kk´12

1´2´4´3´43()()【基本作图六】两一般位置平面相交

求交线步骤：

1、用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点；

n´bacc´b´a´hh´nmm´QV1´2´21PVkk´ee´2、判别可见性。MBCAKENH判别两平面的可见性n´bacc´b´a´hh´nmm´（）1´2´1

2()3

4

3´

4´判别可见性的原理是利用重影点。三、直线与平面以及两平面垂直问题1、直线与平面垂直2、平面与平面垂直1、直线与平面垂直几何条件:直线必须垂直于该平面上的任意两相交直线。基本作图：①判别直线是否与平面垂直ABCDL1L2EFPHPV②过空间一点作已知平面的垂线③过空间一点作已知直线的垂面【基本作图一】判别直线是否与平面垂直1′122′e′ef′fa′abb′cc′EF⊥△ABC【基本作图二】过空间一点作已知平面的垂线1′122′f′fe′ea′abb′cc′【基本作图三】过空间一点作已知直线的垂面bb′cc′faa′ef′e′2、平面与平面垂直几何条件：

一个平面上有一条直线垂直于另一平面或一平面通过另一平面的法线。基本作图：④判别两平面是否垂直⑤过空间一直线作已知平面的垂面QPL1L2NM【基本作图四】判别两平面是否垂直e′ea′abb′cc′ff′gg′11′22′△ABC⊥△EFGd′d【基本作图五】过空间一直线作已知平面的垂面1′122′f′fe′ea′abb′cc′gg′四、综合作图题示例

1、审题

明确题意、已知条件和作图要求。

2、空间分析

3、确定作图步骤，运用基本作图完成投影图

解题方案选定后，就要决定作图步骤，先做什么，后做什么。并熟练运用各种基本作图方法，完成投影图。【例题1】求点K到直线AB的距离。a′bab′kk′m′mn′nKL实长l′l△ZKL△ZKL作图步骤1、过点K作直线AB的垂面KM*KN；2、求所作垂面与直线AB的交点L；3、连接KL，用直角三角形法求KL的实长。【例题2】已知直角三角形ABC的水平投影，及直角边AB的V投影，试完成其正面投影。b′cbaa′c′1′12′2作图步骤1、过点Ａ作直线AB的垂直面AⅠⅡ；2、在垂直面AⅠⅡ上，运用平面定线方法确定AC边；3、连线完成直角三角形ABC的投影。【例题3】作一直线与两交叉直线AB和CD相交，同时与直线EF平行。f2′211′nmm′n′abb′a′e′f′c′d′c′deABCDEF1MN【例题4】过点M作直线，使其与△ABC平行，且与直线EF相交。eff′e′m′ma′b′bacc′2′21′1nn′作图步骤1、过点M作平面MⅠⅡ平行于已知平面ABC；2、求平面MⅠⅡ与已知直线EF的交点N；3、连接MN【例题5】过点K作直线KL与直线MN垂直，并与△ABC平行。gg′l′laa′bcc′b′k′kmnn′m′作图步骤1、过MN作平面MNG垂直于平面ABC；2、过点K作直线KL垂直于平面MNG。【例题6】已知直线AB与△EFG平面的夹角为60°，AB在△EFG上的正投影为AC，求作AB的两投影。e′f′g′gfea′c′ca60°ACB=A0c

b′bB0cB0=BCA0△ZAC△ZAC△ZC11′△ZC11【例题7】已知等边△ABC与H面的倾角α=30°，试完成该等边△ABC的两面投影。caa′c′bb′B0等边△ABC高BD的实长d′dα△ZBD△ZBD作图步骤1、求作等边△ＡＢＣ高的实长2、直角三角形法求作ＢＤ的Ｚ坐标差【例题8】已知等腰△ＤＥＦ的顶点Ｄ和一腰DE在直线DG上，另一腰ＤＦ∥△ＡＢＣ，且点Ｆ在ＭＮ上，试完成△ＤＥＦ的两面投影。aa′bb′cc′m′n′dmnd′g′gff′2′21′1e′=DFe=DE

作图步骤：1、过D作平面D122、求D12与MN交点F3、求DF的实长4、在dg上，取DE=DF5、连接等腰三角形各条边，完成投影图2.5

变换投影面法一、换面法的基本概念二、点的投影变换三、换面法的六个基本问题保持几何元素的位置不动，建立新的直角投影面体系，使几何元素在新投影面体系中处于有利于解题的特殊位置，然后用正投影法获得几何元素的新投影，称为变换投影面法，简称换面法。一、换面法的基本概念新投影面的选择条件：一、换面法的基本概念

（1）新投影面必须垂直一个原有的投影面。

（2）新投影面应使空间几何元素处于有利于解题的位置。在V、H两投影面体系中：Aa=a’aX，a’a⊥OX轴。在V1、H两投影面体系中：Aa=a1’aX1，a1’a⊥O1X1轴。Aa=a’aX=a1’aX1

新投影到新投影轴的距离等于被替换的旧投影到旧投影轴的距离二、点的投影换面1.点的一次换面(1)换V面投影面的展开作图方法1.作新的投影轴。2.过点的保留投影作垂直于新投影轴的投射线，在其上从新投影轴向另一侧量取被替换的投影到被替换的投影轴的距离，即得该点的新投影。二、点的投影换面(2)换V面X1AaX

aX1a'XVHH1a1aX1aX

aX1a'XVHH1a1aVH1

VH1.点的一次换面(2)换H面

作H1面⊥V面，构成新的两面投影体系V/H1作图方法1.作新轴X12.作a’a1⊥X13.量取a1ax1=aax二、点的投影换面2.点的两次换面在点的一次换面的基础上再进行一次换面。

作H2面⊥V1面，构成新的两面投影体系V1/H2注意：投影面要交替变换，不能同时变换两个面投影。二、点的投影换面XHVV1H2X1ax1aAa'axax2X2a2XOX1X2HV1

V1H2

a'aa1'a2HVa1‘投影体系变换顺序：V/H→V1/H→V1/H2

三、换面法的六个基本问题1、一般位置直线→平行线2、平行线→垂直线3、一般位置直线→垂直线（两次变换）4、一般位置平面→垂直面5、垂直面→平行面6、一般位置平面→平行面（两次变换）aa1‘Aa'aaR2R1αXHVV1

X1b1'bBb'XOHb'bHVR1a'aa1’b1’X1

V1

R21.把一般位置直线变换为投影面平行线(1)求实长和α角——变换V面三、换面法的六个基本问题（1）在适当位置作X1∥ab（2）按点的变换规律作a1’和b1’（3）连接a1’b1’，则a1’b1’=AB，α为AB与H面的夹角。XOX1H1

Va'aHVb'bR2R2a1

b1

βR1R11.把一般位置直线变换为投影面平行线(2)

求直线的实长和β角——变换H面作图步骤：①作X1∥a’b’（任意距离）。②按点的变换规律确定新投影a1、b1。③连接a1b1，则a1b1为AB的实长，β角就是直线AB对V面的倾角。三、换面法的六个基本问题变换要领：以投影的平行线为轴进行变换。2.把投影面平行线变换为投影面垂直线三、换面法的六个基本问题HVXOHb'bHVa'aX1

V1

YXa1(b1)H1

a1(b1)X1

b’a’baAB作图步骤：①作X1⊥a’b’（任意距离）②按点的变换规律确定新投影a1(b1)。YAB是正平线，作H1面⊥AB，

H1面⊥V面。变换要领：以平行线的垂线为轴进行变换。XHVV1X1b1'bBb'a1’’Aa'aH2b2(a2)X2

3.把一般位置直线变换为投影面垂直线三、换面法的六个基本问题

将一般位置直线变换为投影面垂直线需作两次变换：（1）将一般位置直线变换为投影面平行线；（2）将投影面平行线变换为投影面垂直线；一般位置直线用一次换面是无法变换成投影面的垂直线。

因为与一般位置直线垂直的平面是一般位置平面，与原投影体系V/H中的任一投影面均不垂直，不能构成新的投影体系。P

b1(a1)XHVV1X1b1'bBb'XOX1HV1

b'bHVR1a1’’Aa'aR2R2R1H2b2(a2)X2

R3R3b2(a2)a1'b1'a'aX2

V1

H2

3.把一般位置直线变换为投影面垂直线三、换面法的六个基本问题作两次变换：（1）将一般位置直线变换为投影面平行线；（2）将投影面平行线变换为投影面垂直线。作V1面∥AB，且⊥H面作H2面⊥AB，且⊥V1面变换顺序：1.替换V面V/H→V1/H2.替换H面V1/H→V1/H2XOb'bHVR3R2R2X1

X2

a