分式 数学教学设计

16．1分式16.1.1从分数到分式一、教学目标1．了解分式、有理式的概念.2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.二、重点、难点1．重点:理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2．难点:能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.三、课堂引入1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出:，，，.2．学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.设江水的流速为x千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间小时，所以=.3.以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？五、例题讲解P5例1.当x为何值时，分式有意义.[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x的取值范围.[提问]如果题目为:当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.(补充)例2.当m为何值时，分式的值为0？（1）（2）(3)[分析]分式的值为0时，必须同时满足两个条件:eq\o\ac(○,1)分母不能为零；eq\o\ac(○,2)分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解.[答案]（1）m=0（2）m=2（3）m=1六、随堂练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？9x+4，，，，，2.当x取何值时，下列分式有意义？（1）（2）（3）3.当x为何值时，分式的值为0？（1）（2）(3)七、课后练习1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？(1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时.（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时.(3)x与y的差于4的商是.2．当x取何值时，分式无意义？3.当x为何值时，分式的值为0？八、答案:六、1.整式:9x+4，，分式:，，2．(1）x≠-2（2）x≠（3）x≠±23．（1）x=-7（2）x=0(3)x=-1七、1．18x，，a+b，，;整式:8x，a+b，;分式:，2．X=3.x=-1课后反思:16.1.2分式的基本性质一、教学目标1．理解分式的基本性质.2．会用分式的基本性质将分式变形.二、重点、难点1．重点:理解分式的基本性质.2．难点:灵活应用分式的基本性质将分式变形.三、例、习题的意图分析1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是:约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.3．P11习题16.1的第5题是:不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.四、课堂引入1．请同学们考虑:与相等吗？与相等吗？为什么？2．说出与之间变形的过程，与之间变形的过程，并说出变形依据？3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.五、例题讲解P7例2.填空:[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.P11例3．约分:[分析]约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.P11例4．通分:[分析]通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.，，，，。[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.解:=，=，=，=，=。六、随堂练习1．填空:(1)=(2)=（3)=(4)=2．约分:（1）（2）（3）（4）3．通分:（1）和（2）和（3）和（4）和4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1)(2)（3)(4)七、课后练习1．判断下列约分是否正确:（1）=（2）=（3）=02．通分:（1）和（2）和3．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号.（1）（2）八、答案:六、1．(1)2x(2)4b（3）bn+n(4)x+y2．（1）（2）（3）（4）-2(x-y)23．通分:（1）=，=（2）=，=（3）==（4）==4．(1)(2)（3)(4)课后反思:16.1.1分式教学目标1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式；2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式；3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。教学重点探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。教学难点能通过回忆分数的意义，探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。教学过程复习与情境导入:填空（1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为米。（2）面积为S平方米的长方形一边长为a米，则它的另一边长为米。（3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的住售价是元。（4）根据一组数据的规律填空:1，……（用n表示）观察你列出的式子，与以前学过的有什么不同？像这样的式子叫分式。先根据题意列代数式，并观察出它们的共性:分母中含字母的式子。概括:形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。整式和分式统称有理式，即有理式整式，分式.（二）实践与探索例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）；（2）；（3）；（4）.例2、探究:1、当x取什么值时，下列分式有意义？（1）；（2）2、当x是什么数时，分式的值是零？3、x取何值时，分式的值为正？可能为负吗？4、x取何整数值时，的值为整数？（三）练习讨论探索当x取什么数时，分式（1）有意义（2）值为零？例3、已知分式，当x=3时，分式值为0，当x=-3时，分式无意义，求a，b的值。（四）小结与作业分式的概念和分式有意义的条件。作业:练习1、下列各式分别回答哪些是整式？哪些是分式？，，2a-3b，，，练习2、分式，当y时，分式有意义；当y时，分式没有意义；当y时，分式的值为0。练习3、讨论探索:当x取什么数时，分式（1）有意义（2）值为零？各抒已见。看谁说得最全。（五）板书设计（六）教学后记16.1.2分式的基本性质（通分）教学目标1、进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则。2、使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤。教学重点 让学生知道通分的依据和作用，学会分式通分的方法。教学难点几个分式最简公分母的确定。教学过程（一）复习与情境导入1、分式中，当x时分式有意义，当x时分式没有意义，当x时分式的值为0。2、分式的基本性质:（二）实践与探索1、分式的的变号法则例1不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号:（1）；（2）；（3）例2不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数:（1）；（2）.注意:（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“-”号，括号内各项都变号。例3若x、y的值均扩大为原来的2倍，则分式的值如何变化？若x、y的值均变为原来的一半呢？2、分式的通分（1）把分数通分。解:，，（2）什么叫分数的通分？答:把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。3、和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的公分母。4、讨论:（1）求分式的（最简）公分母。分析:对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个分式的公分母为12x3y4z。（2）求分式与的最简公分母。分析:先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即4x-2x2=-2x（x-2），x2-4=（x+2）（x-2），把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。5、练习:填空:（1）；（2）；（3）。求下列各组分式的最简公分母:（1）；（2）；（3）6、例4通分（1），；（2），；答:1．取各分式的分母中系数最小公倍数；2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。（3），.分析:分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。通分的关键是确定几个分式的公分母；要归纳出分式分式是多项式如何确定最简公分母，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定分母。（三）练习通分:（1），；（2），（3）. 作交流解法，板演并互批。（四）小结与作业把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。16.1.2分式的基本性质（约分）教学目标:掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义.教学重点:分式约分方法教学难点:分子、分母是多项式的分式约分（一）复习与情境导入分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是:（其中M是不等于零的整式）.与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分，可类比分数的基本性质来识记.（二）实践与探索例4、下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）（2）（y≠－1）.特别提醒:对，由已知分式可以知道x，因此可以用x去除以分式的分子、分母，因而并不特别需要强调这个条件，再如是在已知分式的分子、分母都乘以y+1得到的，是在条件y+10下才能进行的，所以，这个条件必须附加强调.例5、不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数.（1）；（2）.仔细观察分母（分子）的变化利用分式的基本性质来解题.深入理解.尝试解题.例6、约分（1）；（2）解:（1）（2）＝＝.说明:在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分.约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.（三）练习:约分:先思考约分的方法，再解题，并总结如何约分:若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分.约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.（四）小结与作业:请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质分式的约分运算，用到了哪些知识？让学生发表，互相补充，归结为:（1）因式分解；（2）分式基本性质；（3）分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分子、分母不含“－”.作业:习题16.1第4题16.2.1分式的乘除【教学目标】:让学生通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算。使学生理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算。3、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力。【重点难点】:重点:分式的乘除法、乘方运算难点:分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定。【教学过程】:一、复习提问:（1）什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？（2）下列各式是否正确？为什么？探索分式的乘除法的法则1．回忆:计算:；.2．例1计算:（1）；（2）.由学生先试着做，教师巡视。3．概括:分式的乘除法用式子表示即是:4．例2计算:.分析:①本题是几个分式在进行什么运算？②每个分式的分子和分母都是什么代数式？③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解？④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？解原式＝＝.5．练习:①课本第8页练习1。②计算:探索分式的乘方的法则1．思考我们都学过了有理数的乘方，那么分式的乘方该是怎样运算的呢？先做下面的乘法:（1）；（2）.2．仔细观察这两题的结果，你能发现什么规律？与同伴交流一下，然后完成下面的填空:（）（k）=___________（k是正整数）3．4．练习:（1）判断下列各式正确与否:（2）计算下列各题:【学生小结】:怎样进行分式的乘除法？怎样进行分式的乘方？16.2.2分式的加减——同分母分式加减教学目标1、使学生理解和掌握同分母分式的加减法法则，并能熟练地进行同分母分式的加减运算.2、渗透类比数学思想方法.重点难点重点:同分母分式的加减法法则和运算.难点:分式的分子或分母是多项式的分式加减时的变形和去括号法则正确应用.教学过程一、同分母分式的加减法1、回忆:同分母的分数的加减法2、类似地，同分母的分式的加减法法则如下:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.式子表示:要注意分数线的括号作用:在处理符号变化问题时，需考虑分子或分母的整体性.二、应用举例【例1】计算:（1）＋－；（2）－；（3）－－.分析:（1）按同分母分式的加减法直接进行计算；（2）由于2x－3y与3y－2x是互为相反数，故可用分式的符号变化法则将分母3y－2x化为2x－3y，转化为同分母分式的加减法；（3）分母情况与（2）类似.解:（1）原式===.（2）原式=＋===0.（3）原式=－＋====3.说明:在做减法时，为了避免出错误，最好添上一个括号，去括号时注意变号.【例2】计算:＋＋.分析:分母中字母的排列顺序不同，首先统一字母的排列顺序，这样分母就相同了.解:原式=－＋=====.注意:运算结果应该是最简分式，必须约去分子、分母中的公因式.练习:计算:1、（1）；（2）.解:（1）＝＝＝＝2；（2）－＝＝＝＝4；（3）2、计算:（1）－；（2）三、知识小结:1、运用同分母分式加减法则时要及时添括号和去括号，并注意符号；2、同分母的分式相加减，计算时把分子看成一个整体，注意添加括号；3、观察题目中的隐含条件，有些题的表面不是同分母，但稍加变形即可；4、结果要化成最简分式或整式.四、知识检测1、填空题:（1）同分母分式相加减，不变，相加减.（2）计算:－=.（3）计算:－=.（（1）分母、分子；（2）；（3））2、选择:（1）计算:－的结果是（）A、B、C、D、－1（2）计算＋－的结果是（）A、B、C、－D、－3、计算:（1）＋－；（2）－；（3）－－.（（1）0；（2）；（3））五、布置作业16.2.2分式的加减——异分母分式加减教学目标:1.理解掌握异分母分式加减法法则.2.能正确熟练地进行异分母分式的加减运算.3.在课堂活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯；渗透类比、化归数学思想方法，提高运算能力.重点难点:重点:异分母分式的加减法法则及其运用.难点:正确确定最简公分母和灵活运用法则.教学过程一、情境引入:从甲地到乙地有两条路，每条路都是3km，其中第一条是平路，第二条有1km的上坡路，2km的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，那么当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多长时间？她走哪条路花费时间少？少用多长时间？二、解读探究1、想一想，异分母分数如何加减？（学生举例）你认为异分母的分式应该如何加减？比如应该怎样计算？议一议，小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题.小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同.小明:小亮:你对这两种做法有何评论？与同伴交流.小结:根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.与异分母分数的加减法类似，异分母分式相加减，需要先通分，变为同分母的分式，然后再加减.为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母.异分母分式异分母分式的加减法同分母分式的加减法分母不变分子相加减通分法则2、异分母分式的加减法法则:异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减.用式子表示为:±=.3、分式通分时，要注意几点:（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；（3）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号提取到分式前面；（4）分母是多项式时一般需先因式分解.三、应用举例【例1】计算:（1）＋＋；（2）－x－1.分析:（1）把分母的各多项式按x的降幂排列，能先分解因式的将其分解因式，找最简公分母，转化为同分母的分式加减法.（2）一个整式与一个分式相加减，应把这个整式看作一个分母是1的式子来进行通分，注意－x－1=，要注意符号问题.解:（1）原式=－＋=－＋====；（2）原式======.【例2】计算:＋＋＋.分析:此题若将4个分式同时通分，分子将是很复杂的，计算也是比较复杂的.各式的分母适用于平方差公式，所以采取分步通分的方法进行加减.解:原式=＋＋=＋＋=＋=＋==.【练习】1、计算:（1）；（2）2、计算:（1）＋；（2）.3、计算解:原式=.四、知识小结异分母分式的加减法步骤:1.正确地找出各分式的最简公分母；2.用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算.3.公分母保持积的形式，将各分子展开.4.将得到的结果化成最简分式.五、基础知识检测1．填空题:（1）异分母分式相加减，的分式，然后再加减.（2）计算:－的结果是.*（3）计算:－a2－a－1=.（4）计算:－=.*（5）已知+=，则m=.2．选择题:（1）使代数式÷有意义的值是（）A．x≠－4且x≠2B．x≠5且x≠3C．x≠－5且x≠3D．x≠－5且x≠3且x≠2*（2）计算:x+1－的结果是（）A．B．C．D．（3）若x－y=xy≠0，那么－等于（）A．B．C．0D．－1（4）已知－=3，则的值是（）A．－B．C．0D．2（5）化简－得（）A．B．C．a2D．a－2b3．计算:（1）＋＋；（2）x＋＋；（3）＋＋1.4．先化简，再求值:＋·，其中x=，y=－3.六、创新能力运用计算:（1）＋－－；（2）－＋2参考答案【基础知识检测】1．（1）先通分，化为同分母；（2）；（3）；（4）；（5）.2．（1）D；（2）C；（3）D；（4）B；（5）A.3．（1）；（2）；（3）.4．，－.【创新能力运用】（1）；（2）.七、布置作业16.3可化为一元一次方程的分式方程(1)教学目标:1、使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.2、使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.3、使学生领会“转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.4、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力.教学重点:理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.教学难点:使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.(一)问题情境导入问题:轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.读题、审题、设元、列方程.(二)实践与探索1:分式方程的概念:[分析]:设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得方程(1)有何特点？[概括]方程(1)中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.提问:你还能举出一个分式方程的例子吗？辨析:判断下列各式哪个是分式方程.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)根据定义可得:(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程.学生观察分析后，发表意见，达成共识.根据分式方程的概念进行判定，加深对分式方程概念的理解.(三)实践与探索2:分式方程的解法1、思考:怎样解分式方程呢？为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题:1)回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？方程(1)可以解答如下:方程两边同乘以(x+3)(x-3)，约去分母，得80(x-3)=60(x+3).解这个整式方程，得x=21.所以轮船在静水中的速度为21千米/时2、概括上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.3、例1解方程:.解:方程两边同乘以(x2-1)，约去分母，得x+1=2.解这个整式方程，得x=1.事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分母(x－1)与(x2－1)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应当舍去.所以原分式方程无解.4、在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.5.那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？6、验根的方法解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零.如果为零，即为增根.如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根.7、有了上面的经验，我们再来完整地解分式方程.可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结.学生尝试解题，并思考产生增根的原因.总结解分式方程的步骤，并真正理解增根.练一练(1)(2)板演并小组批改.(四)小结与作业1、什么是分式方程？举例说明；2、解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程.解这个整式方程.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去.3、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？各抒已见畅所欲言说分式方程及其解法，特别要注意验根.(五)板书设计分式方程乘最简公分母整式方程16.3可化为一元一次方程的分式方程（2）教学目标:①、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程.②、通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识.教学重点:让学生学习审明题意设未知数，列分式方程.教学难点:在不同的实际问题中，设元列分式方程.（一）复习并问题导入 1、复习练习解下列方程:（1）（2）2、列方程解应用题的一般步骤？[概括]这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用.这节课，我们将学习列分式方程解应用题. 讨论后回答.（二）实践与探索1:列分式方程解应用题 [例1]用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致.两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？[分析]（1）如何设元（2）题目中有几个相等关系？（3）怎样列方程解设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分能输入2x个数据，根据题意得＝.解得x＝11.经检验，x＝11是原方程的解.并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意.答:甲每分钟能输入22个数据，乙每分钟能输入11个数据.强调:既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；读题、审题、设元、找相等关系列方程.本题有两个相等关系:（1）甲速=2乙速（2）甲时+120=乙时其中（1）用来设，（2）用来列方程注意如何检验. 2、概括列分式方程解应用题的一般步骤:（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）.练习:求解本章导图中的问题. （三）实践与探索2: 例2A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5:2，求两车的速度.解析:设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，根据题意得解之得x=9经检验x=9是原方程的解当x=9时，2x=18，5x=45答:大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时练习:（1）甲乙两人同时从地出发，骑自行车到地，已知两地的距离为，甲每小时比乙多走，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走，则可列方程为（）A．；B．；C．；D．（2）我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度. 读题、审题、设元、找相等关系列方程（四）实践与探索3: 自编一道可列方程为（五）小结与作业 本课小结:列分式方程与列一元一次方程解应用题的差别是什么？你能总结一下列分式方程应用题的步骤吗？ （六）板书设计 列分式方程解应用题的一般步骤:（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）.（七）教学后记16．4．零整数幂与负整数指数幂，科学记数法一、教学目标:1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）.2．掌握整数指数幂的运算性质.3．会用科学计数法表示小于1的数.二、重点、难点1．重点:掌握整数指数幂的运算性质.2．难点:会用科学计数法表示小于1的数.三、例、习题的意图分析1．P23思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质.2．P24观察是为了引出同底数的幂的乘法:，这条性质适用于m，n是任意整数的结论，说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质，在整数范围里也都适用.3．P24例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.4．P25例10判断下列等式是否正确？是为了类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来.5．P25最后一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数.用科学计算法表示小于1的数，运用了负整数指数幂的知识.用科学计数法不仅可以表示小于1的正数，也可以表示一个负数.6．P26思考提出问题，让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数，从而归纳出:对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几.7．P26例11是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数.四、课堂引入1．回忆正整数指数幂的运算性质:（1）同底数的幂的乘法:(m，n是正整数)；（2）幂的乘方:(m，n是正整数)；（3）积的乘方:(n是正整数)；（4）同底数的幂的除法:(a≠0，m，n是正整数，m＞n)；（5）商的乘方:(n是正整数)；2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，.3．你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=米吗？4．计算当a≠0时，===，再假设正整数指数幂的运算性质(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么==.于是得到=（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质:当n是正整数时，=（a≠0）.五、例题讲解（P24）例9.计算[分析]是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.（P25）例10.判断下列等式是否正确？[分析]类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断下列等式是否正确.（P26）例11.[分析]是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数.六、随堂练习1.填空（1）-22=（2）(-2)2=（3）(-2)0=（4）20=(5）2-3=(6）(-2)-3=2.计算(1)(x3y-2)2（2）x2y-2·(x-2y)3(3)(3x2y-2)2÷(x-2y)3七、课后练习1.用科学计数法表示下列各数:0．00004，-0.034，0.00000045，0.0030092.计算(1)(3×10-8)×(4×103)(2)(2×10-3)2÷(10-3)3八、答案:六、1.（1）-4（2）4（3）1（4）1（5）（6）2.（1）（2）（3）七、1.(1)4×10-5(2)3.4×10-2（3）4.5×10-7（4）3.009×10-32.（1）1.2×10-5（2）4×103课后反思:16.4.1零指数幂与负整数指数幂教学目标:1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义.2、使学生掌握（a≠0，n是正整数）并会运用它进行计算.3、通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法.教学重点难点 不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点.（一）复习并问题导入 问题1在§12.1中介绍同底数幂的除法公式am÷an=am-n时，有一个附加条件:m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n或m＜n时，情况怎样呢？设置矛盾冲突，激发探究热情.（二）探索1:不等于零的零次幂的意义 先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式:52÷52，103÷103，a5÷a5（a≠0）.一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得52÷52＝52-2＝50，103÷103＝103-3＝100，a5÷a5＝a5-5＝a0（a≠0）.另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1.[概括]我们规定:50=1，100=1，a0=1（a≠0）.这就是说:任何不等于零的数的零次幂都等于1. 自主探究，合作交流思想:任何不等于零的数的零次幂都等于1.（三）探索2:负指数幂: 我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式:52÷55，103÷107，一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得52÷55＝52-5＝5-3，103÷107＝103-7＝10-4.另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为52÷55＝＝＝ 自主探究，合作交流思想:任何不等于零的数的－n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数. 103÷107＝＝＝概括:由此启发，我们规定:5-3＝，10-4＝.一般地，我们规定:（a≠0，n是正整数）这就是说，任何不等于零的数的－n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数.（四）典例探究与练习巩固 例1计算:（1）3-2；（2）练习:计算:（1）（-0.1）0；（2）；（3）2-2；（4）.例2计算:1.；2.练习:计算（1）（2）（3）计算:16÷（—2）3—（）-1+（-1）0例3用小数表示下列各数:（1）10-4；（2）2.1×10-5.练习:用小数表示下列各数:（1）-10-3×（-2）（2）（8×105）÷（-2×104）3（五）小结与作业 同底数幂的除法公式am÷an=am-n（a≠0，m>n）当m=n时，am÷an=当m<n时，am÷an=任何数的零次幂都等于1吗？规定其中a、n有没有限制，如何限制.习题16.41、2（六）板书设计零次幂同底数幂的除法负整指数幂（七）教学后记16.4.2科学记数法教学目标1、能够用科学计数法表示绝对值小于1的数；2、运用科学计数法解决实际问题.教学重点难点重点:用科学计数法表示绝对值小于1的数；难点:有精度要求的科学计数法.教学过程（一）探索:科学记数法1、回忆:在§2.12中，我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.例如，864000可以写成8.64×105.2、类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.3、探索:10-1=0.110-2=10-3=10-4=10-5=归纳:10-n=例如0.000021可以表示成2.1×10-5.[例]一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示.分析我们知道:1纳米＝米.由＝10-9可知，1纳米＝10-9米.所以35纳米＝35×10-9米而35×10-9＝（3.5×10）×10-9＝35×101＋（－9）＝3.5×10-8，所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8米（二）练习①用科学记数法表示:（1）0.00003；（2）-0.0000064；（3）0.0000314；（4）2013000.②用科学记数法填空:（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒＝_________秒；（2）1毫克＝_________千克；（3）1微米＝_________米；（4）1纳米＝_________微米；（5）1平方厘米＝_________平方米；（6）1毫升＝_________立方米.（三）小结与作业引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立。科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a必须满足，1≤∣a∣＜10.其中n是正整数习题16.43（四）板书设计§16分式的加减法（-）●教学目标（一）教学知识点1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，2、能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算；培养学生分式运算的能力。3、渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。（二）能力目标:1.经历用字母表示数量关系的过程，进一步发展符号感.2.并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力.（三）情感与价值观目标;1.从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识.2.结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气.●教学重点1.让学生掌握同分母、异分母分式的加减法法则。2.能熟练地进行简单的异分母的分式加减法.●教学难点分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。●教学方法启发与探究相结合●教学过程一、.创设现实情境，提出问题［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我们先来看下面的问题:（出示投影片）问题:从甲地到乙地有两条路，每条路都是3km，其中第一条是平路，第二条有1km的上坡路、2km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间?（2）她走第一条路花费的时间比走第二条路少用多少时间？［分析］:根据题意可得下列线段图:（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（+）h.（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为h.所以她走第一条路花费的时间比走第二条路少用（+）－h代数式（+）－中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？［生］分式的加减法.［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法（板书课题）二、实践与探索（一），同分母的分式的加减法法则:1、计算=回忆:同分母的分数的加减法法则:同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减。2、你认为分母相同的分式应该如何加减？试一试:（1）+=____________.（2）=（3）=（4）（5）－+=____________.（6）－=____________.（7）3、总结一下怎样进行同分母分式的加减法？概括:类似地，同分母的分式的加减法法则如下:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。±=（其中a、b既可以是数，也可以是整式，c是含有字母的非零的整式）.例1:计算:（1）；（2）.（3）－解（1）＝＝＝（2）－＝＝＝＝4.提示:（3）可转化为同分母的分式的减法，但应注意符号问题。(二)实践与探索(二)、异分母分式的加减法1、如何、=回忆:异分母的分数的加减法法则:2、你认为异分母的分式应该如何加减？试一试:（1）(2)+(3)3、总结一下怎样进行异分母分式的加减法？概括:异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.4:你能计算;（+）－吗？三、典型例题:例1计算:.分析这里两个加项的分母不同，要先通分.为此，先找出它们的最简公分母.注意到=，所以最简公分母是解＝＝＝＝＝＝、例2:计算解:原式=四、.随堂练习第1题（1）（2）（3）（4）+－.五、小结:1、同分母分式的加减法:类似于同分母的分数的加减法；2、异分母分式的加减法步骤:（1）.正确地找出各分式的最简公分母。求最简公分母概括为:最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；分母是多项式时一般需先因式分解。（2）用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。（3）将得到的结果化成最简分式（整式）。六、作业:1计算(1)（2）（3）(4)2、P9习题17.2第2、3题七、板书设计:§17.2.2异分母分式异分母分式的加减法同分母分式的加减法分母不变分子相加减通分法则八、课后反思:第16章分式复习（1）●教学目标（一）教学知识点1、巩固分式的基本性质，能熟练地进行分式的约分、通分。2、能熟练地进行分式的运算。3、能熟练地解可化为一元一次方程的分式方程通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识（二）能力目标:1.使学生有目的的梳理知识，形成这一章完整的知识体系.2.进一步体验“类比”与“转化”在学习分式的基本性质、分式的运算法则及其分式方程解法过程中的重要作用.3.提高学生的归纳和概括能力，形成反思自己学习过程的意识.（三）情感与价值目标使学生在总结学习经验和活动经验的过程中，体验因学习方法的大力改进而带来的快乐，成为一个乐于学习的人.●教学重点1.分式的概念及其基本性质.2.分式的运算法则.3.分式方程的概念及其解法.4.分式方程的应用.●教学难点1.分式的运算及分式方程的解法.2.分式方程的应用.●教学方法讨论——交流法讨论交流本章学习过程中的经验和收获，在反思过程中建立知识体系.●教学过程Ⅰ.提出问题，回顾本章的知识.出示投影片问题串:1.实际生活中的一些量可以用分式表示，一些问题可以通过列分式方程解决，请举一例.2.分式的性质及有关运算法则与分数有什么异同？3.如何解分式方程？它与解一元一次方程有何联系与区别？［师］同学们可针对以上问题，以小组为单位讨论、交流，然后在全班进行交流.（教师可参与于学生的讨论中，注意扫除他们学习中常犯的错误）［生］实际生活中的一些量可以用分式表示，例如某人在外面晨练，有m分钟，他每分钟走a米；有n分钟，他每分钟跑b米.求此人晨练平均每分钟行多少米？［生］我们组来回答此问题，此人晨练时平均每分钟行米.我们组也举出一个例子:长方形的面积为8m2，长为pm，宽为____________m.［生］应为m.［师］同学们举的例子都很有特色，谁还能举.［生］如果某商品降价x%后的售价为a元，那么该商品的原价为多少元？［生］原价为元.……［师］，，都是分式.分式有什么特点？和整式有何区别？［生］整式A除以整式B，可表示成的形式，如果除式B中含有字母，则称是分式.而整式分母中不含字母.［生］实际生活中的一些问题可用分式方程来解决.例如某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10h，采用新工艺前、后每时分别加工多少个零件？解:设采用新工艺前、后每时分别加工x个，1.5x个，根据题意，得=+10解，得x=40，1.5x=40×1.5=60.经检验x=40是原方程的根，也符合题意.答:采用新工艺前后每时分别加工40个、60个.［师］下面我们来看第二个问题.［生］分式的性质及其有关运算与分数的异同，我们组列表如下:式子分数分式A、B是两个整数，B≠0A、B是两个整式，B含有字母，字母的取值应保证B≠0=M是不等于零的数，分数基本性质，分数通分M是不等于零的整式，分式基本性质=M是不等于零的数，分数基本性质，分数约分M是不等于零的整式，分式基本性质，分式约分·=分数乘法法则分式的乘法法则÷=分数除法法则分式除法法则±=同分母分数加减法法则同分母分式加减法法则±=±=异分母分数加减法法则异分母分式加减法法则［师］用列表格的方式，使分数与分式的性质及其运算法则的异同清晰可见.你们的想法老师很欣赏.［生］我们组来回答第三个问题吧.先看第一问.解分式方程分三步:第一步，去分母，把分式方程转化为整式方程；第二步，解这个整式方程；第三步，将整式方程的根代入最简公分母，如果使最简公分母为零，则此根为原方程的增根，若最简公分母不为零，则此根是原方程的解.［生］我认为从解分式方程的步骤就可以看出分式方程是通过去分母转化为一元一次方程后完成的.但解分式方程必须检验，这就是和一元一次方程的区别.因为在把分式方程转化为整式方程时，方程两边同乘以含未知数的最简公分母，若解出的整式方程（这里通常是一元一次方程）的根使最简公分母为零，则原分式方程无意义，所以分式方程必须验根.［师］同学们三个问题都回答得很好.下面我们来看一组例题［例1］当x为何值时，下列分式的值为零.（1）；（2）.解:（1）由分子（x－2）（x－3）=0，得x=2或x=3.当x=2时，x2－9≠0；当x=3时，x2－9=0.所以当x=2时，分式的值为零.由分子x－1=0，得x=1，而当x=1时，分母x+1=1+1=2≠0.所以当x=1时，分式的值为零.［例2］约分（1）;（2）.解:（1）==（2）=－=－［例3］计算:（1）÷（－）（2）－（3）两种方法计算:解:（1）÷（－）=÷=×=（2）－=－=－=［例4］下列解法对吗？若不对，请改正.1解方程=－3方程两边同乘以x－2，得1=－（1－x）－3x=5［错因分析与解题指导］在方程两边同乘（x－2）时，右边－3项漏乘了.去分母时，特别要当心原方程中原来“没有分母”（其实是分母为1）的项，不要漏乘.正确解法:方程两边同乘以（x－2），得1=－（1－x）－3（x－2）解，得x=2检验:将x=2代入x－2=0.所以x=2是原方程的增根，原方程无解.例5、个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是:每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？［分析］平均价格是为两次买的总糖量除总价钱.由于两次买糖的价格不一样，可设两次的价格分别为x、y（单位:元/斤），只要列出代数式表示甲、乙两人买糖的平均价格，用作差的方法即可.解:两次买糖的进价分别为x、y（单位:元/斤），A、B分别是甲、乙两人买糖的平均进价.则:A==B==B－A=－==＞0所以乙的平均价格高.按甲的进货策略进货更合理.二）、知识结构图.（在学生回忆、反思的过程中，建立知识结构图）［师生共析］三.课时小结这节课我们通过回顾与思考，更进一步体会到了分式和分式方程这样的数学模型如何去解决生活中的实际问题，并且提高了运算的能力和对算理的进一步理解.四、课后作业1.课本复习题A组8题9题；完成B组14.15题五）、板书设计:回顾与思考(六)教学反思:17.1变量与函数(1)知识技能目标1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；2.了解表示函数关系的三种方法:解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.过程性目标1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.教学过程一、创设情境在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.问题1如图是某地一天内的气温变化图.看图回答:(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；(2)这一天中，最高气温是5℃.最低气温是－4℃；(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高.0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低.从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？二、探究归纳问题2小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表:周岁12345678910111213体重(kg)7.912.215.618.420.723.025.628.531.234.037.641.244.9观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？解随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加较快.问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值:观察上表回答:(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?(2)波长l越大，频率f就________.解(1)l与f的乘积是一个定值，即lf＝300000，或者说 .(2)波长l越大，频率f就越小.问题4圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系:S＝_________.利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表:由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________.解S＝πr2.圆的半径越大，它的面积就越大.在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable).上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independentvariable)，y是因变量(dependentvariable)，此时也称y是x的函数(function).表示函数关系的方法通常有三种:(1)解析法，如问题3中的，问题4中的S＝πr2，这些表达式称为函数的关系式.(2)列表法，如问题2中的小蕾的体重表，问题3中的波长与频率关系表.(3)图象法，如问题1中的气温曲线.问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant)，如问题3中的300000，问题4中的π等.在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.例如，上述问题4中，自变量r表示圆的半径，不能为负数和零，即它的取值范围为一切正实数.三、实践应用例1下表是某市2012年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高:年龄组(岁)789101112131415161718平均身高(cm)117121125130135142148155162167170172(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?解(1)平均身高是155cm；(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量.例2写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量，指出自变量的取值范围:(1)圆的周长C与半径r的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式；(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.解(1)C＝2πr，2π是常量，r、C是变量，r≥0；(2)s＝60t，60是常量，t、s是变量，t≥0；(3)S＝(n－2)×180，2、180是常量，n、S是变量，n≥3.四、交流反思1.函数概念包含:(1)两个变量；(2)两个变量之间的对应关系.2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量.例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量.3.函数关系三种表示方法:(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法.4.函数的取值范围:在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.五、检测反馈1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.2.分别指出下列各关系式中的变量与常量:(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是；(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β＝90－α；(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y(元)与x间的关系是:y＝ax.3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量:(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y(元)与学生数n(个)的关系；(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系.4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式.17.1变量与函数(2)知识技能目标1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.过程性目标1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法.教学过程一、创设情境问题1(1)填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?(2)如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式.解如图能发现涂黑的格子成一条直线.函数关系式:y＝10－x.问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.解y与x的函数关系式:y＝180－2x.问题3如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积ycm2与MA长度xcm之间的函数关系式.解y与x的函数关系式:.二、探究归纳思考(1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围.(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？分析问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.问题2，因为三角形内角和是180°，所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°.问题3，开始时A点与M点重合，MA长度为0cm，随着△ABC不断向右运动过程中，MA长度逐渐增长，最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm.解(1)问题1，自变量x的取值范围是:1≤x≤9；问题2，自变量x的取值范围是:0＜x＜90；问题3，自变量x的取值范围是:0≤x≤10.(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4.上面例子中的函数，都是利用解析法表示的，又例如:s＝60t，S＝πR2.在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义.例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0.对于函数y＝x(30－x)，当自变量x＝5时，对应的函数y的值是y＝5×(30－5)＝5×25＝125.125叫做这个函数当x＝5时的函数值.三、实践应用例1求下列函数中自变量x的取值范围:(1)y＝3x－1；(2)y＝2x2＋7；(3)；(4).分析用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值.例如，在(1)，(2)中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在(3)中，x＝－2时，没有意义；在(4)中，x＜2时，没有意义.解(1)x取值范围是任意实数；(2)x取值范围是任意实数；(3)x的取值范围是x≠－2；(4)x的取值范围是x≥2.归纳四个小题代表三类题型.(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式.例2分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围:(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；(2)已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式；(3)在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数关系式.解(1)y＝0.50x，x可取任意正数；(2)，x可取任意正数；(3)S＝100π－πr2，r的取值范围是0＜r＜10.例3在上面的问题(3)中，当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少?解设重叠部分面积为ycm2，MA长为xcm，y与x之间的函数关系式为当x＝1时，所以当MA＝1cm时，重叠部分的面积是cm2.例4求下列函数当x=2时的函数值:(1)y=2x-5；(2)y=－3x2；(3)；(4).分析函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值.解(1)当x=2时，y=2×2－5=－1；(2)当x=2时，y=－3×22=－12；(3)当x=2时，y==2；(4)当x=2时，y==0.四、交流反思1.求函数自变量取值范围的两个依据:(1)要使函数的解析式有意义.①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0.(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义.2.求函数值的方法:把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值.五、检测反馈1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围:(1)一个正方形的边长为3cm，它的各边长减少xcm后，得到的新正方形周长为ycm.求y和x间的关系式；(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y(元)与n间的函数关系式；(3)矩形的周长为12cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2cm时这个矩形的面积.2.求下列函数中自变量x的取值范围:(1)y＝－2x－5x2；(3)y＝x(x＋3)；(3)；(4).3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t(秒)滑下的距离s(米)由下式给出:s＝10t＋2t2.假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？4.当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值:(1)y＝(x+1)(x－2)；(2)y＝2x2－3x＋2；(3).17、1变量与函数第一课时变量与函数教学目标使学生会发现、提出函数的实例，并能分清实例中的常量和变量、自变量与函数，理解函数的定义，能应用方程思想列出实例中的等量关系。教学过程一、由下列问题导入新课问题l、右图(一)是某日的气温的变化图看图回答:1．这天的6时、10时和14时的气温分别是多少?任意给出这天中的某一时刻，你能否说出这一时刻的气温是多少吗?2．这一天中，最高气温是多少?最低气温是多少?3．这一天中，什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?从图中我们可以看出，随着时间t(时)的变化，相应的气温T(℃)也随之变化。问题2一辆汽车以30千米／时的速度行驶，行驶的路程为s千米，行驶的时间为t小时，那么，s与t具有什么关系呢?问题3设圆柱的底面直径与高h相等，求圆柱体积V的底面半径R的关系．问题4收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数:波长l（m）30050060010001500频率f(kHz)1000600500300200同学们是否会从表格中找出波长l与频率f的关系呢?二、讲解新课1．常量和变量在上述两个问题中有几个量?分别指出两个问题中的各个量?第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化．第2个问题中有路程s，时间t和速度v，这三个量中s和t可以取不同的数值是变量，而速度30千米/时，是保持不变的量是常量．路程随着时间的变化而变化。第3个问题中的体积V和R是变量，而是常量，体积随着底面半径的变化而变化．第4个问题中的l与频率f是变量．而它们的积等于300000，是常量．常量:在某一变化过程中始终保持不变的量，称为常量．变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量．2．函数的概念上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如:在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有惟一的温度与之对应，t是自变量，T因变量(T是t的函数)．在上述的2个问题中，s＝30t，给出变量t的一个值，就可以得到变量s惟一值与之对应，t是自变量，s因变量(s是t的函数)。在上述的第3个问题中，V＝2πR2，给出变量R的一个值，就可以得到变量V惟一值与之对应，R是变量，V因变量(V是R的函数)．在上述的第4个问题中，lf＝300000，即l＝EQ\f(30000,f)，给出一个f的值，就可以得到变量l惟一值与之对应，f是自变量，l因变量(l是f的函数)。函数的概念:如果在—个变化过程中；有两个变量，假设X与Y，对于X的每一个值，Y都有惟一的值与它对应，那么就说X是自变量，Y是因变量，此时也称Y是X的函数．要引导学生在以下几个方面加对于函数概念的理解．变化过程中有两个变量，不研究多个变量；对于X的每一个值，Y都有唯一的值与它对应，如果Y有两个值与它对应，那么Y就不是X的函数。例如y2＝x3．表示函数的方法(1)解析法，如问题2、问题3、问题4中的s＝30t、V=2R3、l＝EQ\f(30000,f)，这些表达式称为函数的关系式，(2)列表法，如问题4中的波长与频率关系表；(3)图象法，如问题l中的气温与时间的曲线图．三、例题讲解例1．用总长60m的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S(m2)与边l(m)之间的关系式，并指出式中的常量与变量，自变量与函数。例2．下列关系式中，哪些式中的y是x的函数?为什么?(1)y＝3x＋2(2)y2＝x(3)y＝3x2＋x＋5四、课堂练习课本第26页练习的第1、2，3题，五、课堂小结关于函数的定义的理解应注意两个方面，其一是变化过程中有且只有两个变量，其二是对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有惟一的值与它对应．对于实际问题，同学们应该能够根据题意写出两个变量的关系，即列出函数关系式。六、作业课本第28页习题18.1第1、2题。七、教后记第二课时变量与函数教学目标使学生进一步理解函数的定义，熟练地列出实际问题的函数关系式，理解自变量取值范围的含义，能求函数关系式中自变量的取值范围。教学过程一、复习1．填写如右图(一)所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向加数用y表示，试写出y关于x的函数关系式。2．如图(二)，请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式．3．如图(三)，等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合。试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式．二、求函数自变量的取值范围1．实际问题中的自变量取值范围问题1:在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有．各是什么样的限制?问题2:某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。从右边的分析可以看出，第n排的排数座位数座位l18一方面可以用18＋(n－1)表218＋1318＋2示，另一方面可以用m表示，所以……m＝18＋(n－1)n18＋(n－1)n的取值怎么限制呢?显然这个n也应该取正整数，所以n取1≤n≤30的整数或0<n<31的整数。请同学们试着写出上面第2、3两个问题中自变量的取值范围。2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围例1．求下列函数中自变量x的取值范围(1)y=3x－l(2)y＝2x2＋7(3)y=eq\f(1,x＋2)(4)y=eq\r(x－2)分析:用数学表示的函数，一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第(1)(2)两题，x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第(3)题，(x＋2)必须不等于0式子才有意义，对于第(4)题，(x－2)必须是非负数式子才有意义．3．函数值例2．在上面的练习(3)中，当MA＝1cm时，重叠部分的面积是多少?请同学们求一求在例1中当x=5时各个函数的函数值．三、课堂练习课本第28页练习的第1、2、3题四、小结通过本节课的学习，一方面，我们进一步认识了如何列函数关系式，对于几何问题中列函数关系式比较困难，有的题目的自变量的取值范围也很难确定，只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题；另一方面，对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围，考虑两个方面，其一是分母不能等于0，其二是开偶次方的被开方数是非负数．五、作业课本第29页的第3、4、5、6题．六、教后记17、2函数的图象17.2.1．平面直角坐标系第一课时平面直角坐标系教学目标使学生了解直角坐标系的由来，能够正确画出直角坐标系，通过具体的事例说明在平面上的点应该用一对有序实数来表示，反过来，每一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点。教学过程同学们是否想到你们坐的位置可以用数来表示呢?如果从门口算起依次是第1列，第2列、……、第8列，从讲台往下数依次是第l行、第2行、……、第7行，那么×××同学的位置就能用一对有序实数来表示。1．分别请一些同学说出自己的位置例如，×××同学是第3