全等三角形中辅助线的添加

./全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二．知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述〔1作线段：连接……；〔2作平行线：过点……作……∥……；〔3作垂线〔作高：过点……作……⊥……,垂足为……；〔4作中线：取……中点……,连接……；〔5延长并截取线段：延长……使……等于……；〔6截取等长线段：在……上截取……,使……等于……；〔7作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；〔8作一个角等于已知角：作角……等于……。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：倍长中线〔或类中线法：若遇到三角形的中线或类中线〔与中点有关的线段,通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形。截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分等于另一条较短线段。一线三等角问题〔"K"字图、弦图、三垂图：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用"轴对称性"构造全等三角形。角含半角、等腰三角形的〔绕顶点、绕斜边中点旋转重合法：用旋转构造三角形全等。构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形<用平移、对称和弦图也可以构造>和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型：〔1△ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E,使DE=AD,连接BE方式2：间接倍长,作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E,连接BE方式3：延长MD到N,使DN=MD,连接CD〔2由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD〔3角分线,分两边,对称全等要记全角分线+垂线,等腰三角形必呈现〔三线合一〔4①旋转：方法：延长其中一个补角的线段〔延长CD到E,使ED=BM,连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF结论：①MN=BM+DN②③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM②翻折：思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折,但一定要证明M、P、N三点共线.〔∠B+∠D=且AB=AD〔5手拉手模型①△ABE和△ACF均为等边三角形结论：〔1△ABF≌△AEC；〔2∠B0E=∠BAE=60°〔"八字型"模型证明；〔3OA平分∠EOF拓展：条件：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：〔1、AD=BE〔2、∠ACB=∠AOB〔3、△PCQ为等边三角形〔4、PQ∥AE〔5、AP=BQ〔6、CO平分∠AOE〔7、OA=OB+OC〔8、OE=OC+OD〔〔7,〔8需构造等边三角形证明②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论：〔1、BE=CD〔2BE⊥CD③ABEF和ACHD均为正方形结论：〔1、BD⊥CF〔2、BD=CF变形一：ABEF和ACHD均为正方形,AS⊥BC交FD于T,求证：①T为FD的中点.②方法一：方法二：方法三：变形二：ABEF和ACHD均为正方形,M为FD的中点,求证：AN⊥BC④当以AB、AC为边构造正多边形时,总有：∠1=∠2=.四、典型例题：考点一：倍长中线〔或类中线法：核心母题已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.练习：1、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证：AD平分∠BAE.如图,CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC,求证：CD=2CE。考点二：截长补短法：核心母题如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证：AB=AD+BC．练习：1、在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ。ABCDEO2、如图,在中,ABCDEO3、如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°求证：BD+DC=AB4、已知：如图在△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点,∠ABD=60°,∠ADB=90°－∠BDC,求证：AB=BD＋DC。考点三：一线三等角问题〔"K"字图核心母题已知：如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC边上一点,∠ADE=45°,AD=DE,求证：BD=EC.练习：1、已知：如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．2、两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC．试判断△EMC的形状,并说明理由．3、如图所示,AE⊥AB,BC⊥CD且AB=AE,BC=CD,F、A、G、C、H在同一直线上,如按照图中所标注的数据及符号,则图中实线所围成的图形面积是？考点四：角平分线、中垂线法核心母题1、在中,,是的平分线．是上任意一点．求证：．2、已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE．如图,△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D,F为垂足,DE⊥AB于E,且AB＞AC,求证：BE-AC=AE考点五：角含半角、等腰三角形的〔绕顶点旋转重合法核心母题如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,∠EAF=45°,求证：EF=BE+DF.练习1、如图所示,在五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°求证：AD平分∠CDE.2、如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDE的面积．3、如图,