高中数学《6.2 组合与组合数》课件与课后作业

人教A版（2019）选择性必修第三册第一课时组合6.2排列与组合新知导入从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？解析：从三名学生中选出两名学生，然后将选出的两名学生按照一定的顺序（上午和下午）进行排列，共有种方法.

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲乙、甲丙、乙丙合作探究上面两个问题有什么区别？答：（1）第一个问题是从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列。不仅要选出2个元素，而且要对所选出的元素进行按照一定的顺序排列。（2）第二个问题是从已知的3个不同元素中取出2个元素,不需要按照一定的顺序排列.新知讲解组合一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．要点归纳：(1)组合的特点:组合要求n个元素是不同的,取出的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.(2)组合的特性:元素的无序性.取出的m个元素不讲究顺序,即元素没有位置的要求.新知讲解相同点：两者都是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素.思考：排列与组合有什么异同点？不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.排列与顺序有关组合与顺序无关新知讲解校门口停放着9辆共享单车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，则思考：下列问题是排列问题还是组合问题？（1）从中选择3辆，有多少种不同的方法？（2）从中选择3辆给3位同学，有多少种不同的方法？组合问题排列问题例题讲解例1平面内有A，B，C，D共4个点.（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？解：一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为：

（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？解：由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有：AB、AC、AD、BC、BD、CD六条.例题讲解例2五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的选取方案共有多少种？解：从5类元素中任选2类元素，它们相生的选取有：火土，土金，金水，水木，木火，共5种.例题讲解例3从A、B、C、D、E这5名同学中选3人参加演讲比赛，其中A同学必须参加，则有多少种不同的选法？解：由于A同学必须参加，所以需要再从B、C、D、E四名同学中选取2人，则可能的选法有：BC、BD、BE、CD、CE、DE共六种选法.课堂练习

1.给出下列问题：（1）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？（2）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？（3）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？（4）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？（5）某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？（6）某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？

在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？解：（2）（4）（6）是排列问题；（1）（3）（5）是组合问题.课堂练习2.以下四个问题中，属于组合问题的是（）A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地C课堂练习3.已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为()

A．3个

B．4个C．12个

D．24个B

拓展提高4.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加运动会，如果要求至少有1名女生，那么不同的选择方案种数为(

)A．14

B．24C．28 D．48A

解析：由于至少有1名女生，所以包含两种方法：（1）有1名女生：

则在2名女生中选1名，有2种方法，再在4名男生中选择3名同学，假设4名男生分别为A、B、C、D，则有：ABC、ABD、ACD、BCD4种方法，故共有2x4=8种方法；（2）有2名女生：则在2名女生中选2名，有1种方法，再在4名男生中选择2名同学，假设4名男生分别为A、B、C、D，则有：AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种方法.所以共有8+6=14种方法.课堂总结2、组合问题的判断1、组合板书设计6.2.3组合一、新知导入二、新知讲解组合三、例题讲解四、课堂练习五、拓展提高六、课堂总结七、作业布置作业布置课本P22~P23练习

第1~3题《第一课时组合》课后作业6.2排列与组合知识点一组合及组合数的定义1.组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号

表示.作为一组所有不同组合的个数知识梳理知识点二排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数

与排列数

间存在的关系

＝______1.从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题.(

)2.“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合.(

)思考辨析判断正误×√√4.两个组合相同，则其对应的元素一定相同.(

)√例1

判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？一、组合概念的理解解单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.解冠、亚军是有顺序的，是排列问题.题型探究(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？解3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.解3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.反思感悟排列、组合辨析切入点(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可.(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合.(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题.跟踪训练1

判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？解因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题.(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生.解由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题.解从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题.二、组合的个数问题例2

在A，B，C，D四位候选人中.(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；反思感悟组合个数的求解策略(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕.跟踪训练2从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合.解先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种.三、简单的组合问题例3

有10名教师，其中6名男教师，4名女教师.(1)现要从中选2名去参加会议，有____种不同的选法；45解析从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有____种不同的选法；21解析可把问题分两类情况：(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有____种不同的选法.90反思感悟利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数.跟踪训练3一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？解从口袋内的8个球中取出3个球，(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？解从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，123451.(多选)下面四组元素，是相同组合的是A.a，b，c—b，c，a

B.a，b，c—a，c，bC.a，c，d—d，a，c

D.a，b，c—a，b，d√√√跟踪训练2.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是A.10 B.5 C.4 D.112345解析组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法.√123453.在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为A.4×13手

B.134手C.A手

D.C手√解析本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到C手不同的牌.123454.下列问题中，组合问题有______，排列问题有____.(填序号)①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动.解析①②为组合问题，③为排列问题.①②③123455.已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为_______________________.ab，ac，ad，bc，bd，cd解析可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.1.知识清单：(1)组合与组合数的定义.(2)排列与组合的区别与联系.(3)用列举法写组合.2.方法归纳：枚举法.3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.知识小结1.(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有A.由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数C.由1,2,3组成两位数的不同方法数D.由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数基础巩固12345678910111213141516√√12345678910111213141516√123456789101112131415163.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为A.3 B.4 C.12 D.24√解析由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.123456789101112131415164.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为A.4 B.8 C.28 D.64√解析由于“村村通”公路的修建，是组合问题，123456789101112131415165.某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有√6.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有___种不同选法.1234567891011121314151684123456789101112131415167.若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为____.6123456789101112131415168.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是____.(用数字作答)10123456789101112131415169.判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？12345678910111213141516(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？12345678910111213141516(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？12345678910111213141516(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？12345678910111213141516(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？1234567891011121314151610.平面内有10个点，其中任意3个点不共线.(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条.12345678910111213141516(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条.12345678910111213141516(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？解所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，11.(多选)下列问题是组合问题的有A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B.平面上有2021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可

以构成多少条线段C.集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独

舞节目，有多少种选法综合运用12345678910111213141516√√√解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.1234567891011121314151612.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有A.60种

B.36种

C.10种

D.6种12345678910111213141516√1234567891011121314151613.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为A.224 B.112 C.56 D.28√解析由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，1234567891011121314151614.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝______.1∶215.某区有7条南北向街道，5条东西向街道.(如图)拓广探究12345678910111213141516(1)图中有_____个矩形；210(2)从A点走向B点最短的走法有_____种.12345678910111213141516210解析每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，123456789101112131415161234567891011121314151616.某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行.(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；解小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，12345678910111213141516(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；解半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场).12345678910111213141516(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.问：全部赛程共需比赛多少场？解决赛只需比赛1场，即可决出胜负.所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场).人教A版（2019）选择性必修第三册第二课时组合数6.2排列与组合新知导入从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc

已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.

ab,ac,ad,bc,bd,cd3种6种上面两个问题中，通过一一列举得到符合要求的组合的个数，但是随着元素个数的增加，一一列举变得越来越复杂甚至变得不可能。那么能否像排列数一样，找到一个用来计算组合个数的公式，根据公式方便的计算出组合的个数？新知讲解组合数从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.

问：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？组合与组合数有什么区别？组合是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组”，它不是一个数；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数”，它是一个正整数.

合作探究（1）通过导入一：从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的组合数为

组合数与排列数之间有什么关系？怎么利用排列数来求组合数？

（2）从a,b,c,d

四个元素中任取三个元素的所有组合数为

abc

，abd

，acd

，bcd.分析：从4个元素中取出3个的排列数为，以”相同元素“为标准，将这24个排列分组，一共有4组，因此

合作探究组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb合作探究通过上图可以发现，求排列数也可以分为以下两个步骤：

（1）从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法；

（2）将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法.

根据分步乘法计数原理，

所以，

合作探究同理，求从n个元素中取出m个元素的排列数可以通过以下两个步骤得到：（1）从n个元素中取出m个元素作为一组，共有种不同的取法

（2）将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法

根据分步乘法计数原理，

所以，

新知讲解组合数公式

其中，m,n∈N*，且m≤n

规定：

例题讲解

解：根据组合数公式，可得

例题讲解分析：例1中（1）与（2）的计算结果相同，（3）与（4）的计算结果相同.（1）与（2）都是从10个元素中取部分元素的组合，其中，（1）取出3个元素，（2）取出7个元素，二者取出元素之和为总元素个数10.（3）与（4）同理.思考：（1）分别观察例1中（1）与（2），（3）与（4）的计算结果，有什么发现？（2）例1中（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，对公式的选择有什么想法？分析：当所选元素个数较多时，选择第二种组合数公式；当所选元素个数较少时，选用第一种组合数公式.新知讲解组合数性质性质1

性质1说明：（1）等式两边下标相同，上标之和等于下标.（2）该性质适用于当m>n/2时，计算可以转换为计算，使计算简单.

（3）当时，则x=y或x+y=n.

证明：新知讲解思考：一次旅游，有10名游客和1名导游。（1）从这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，则有多少种不同的中奖情况？（2）从这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，且导游必须中奖，则有多少种不同的中奖情况？（3）从这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，且导游一定没有中奖，则有多少种不同的中奖情况？解析：（1）

（2）

（3）

性质2

通过上面的情况我们发现：新知讲解性质2

通过上面的情况我们发现：

证明：例题讲解例2在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.（1）有多少种不同的抽法？解析：从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此是一个组合问题；所以从100件产品中任意抽取3件的抽法种数为：

例题讲解（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？解析：可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件.先从2件次品中抽出1件的抽法有种，再从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为：

例题讲解（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解法一：从100件产品中抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况.根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为：

解法二：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：

课堂练习

解：由组合数性质2可知，

因此，

2.计算：

解：由题意可得

又,得n=10

课堂练习3.若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（）A．64

B．46 C．15

D．360C4.从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（）A．种 B．3！

C．种

D．以上均不对C

D

课堂练习6.十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（）A．242种 B．220种 C．200种 D．110种C7.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．140种 B．420种 C．80种 D．70种D课堂练习8.要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？

（1）甲当选且乙不当选；

（2）至多有3名男生当选解：至多有3男当选时，应分三类：

拓展提高9.一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有1+12=13种.

解：（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法：红球3个，红球2个和白球1个，当取红球3个时，取法有1种；

拓展提高（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？解：（2）使总分不少于分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个，

根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18+4=22种.

拓展提高男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；解：分两步完成：

拓展提高（2）队长中至少有1人参加；

（3）既要有队长，又要有女运动员

链接高考11.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种 B．10种 C．9种 D．8种A12.（2020海南高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种 B．3种 C．6种 D．8种C链接高考13.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．30种 B．35种 C．42种 D．48种A14.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）16课堂总结2、组合数公式1、组合数板书设计6.2.4组合数一、新知导入二、新知讲解组合数三、例题讲解四、课堂练习五、拓展提高六、课堂总结七、作业布置组合数公式作业布置课本P26~P27练习

第1~15题《第二课时组合数》课后作业6.2排列与组合知识点一组合数公式组合数公式乘积形式＝_________________________，其中m，n∈N*，并且m≤n阶乘形式＝______________规定：C＝

.1知识梳理知识点二组合数的性质自我检验2020362或3一、组合数公式的应用题型探究∵n∈N*，∴n＝10，命题角度2与组合数有关的证明命题角度3与组合数有关的方程或不等式例1－3

(1)(多选)若

，则n的可能取值有A.6 B.7 C.8 D.9√√√√又n∈N*，则n＝6,7,8,9.∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21.∵0≤m≤5，m∈N*，∴m＝2，反思感悟＝4950＋200＝5150.二、有限制条件的组合问题例2

课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；解至多有2名女生当选含有三类：有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，(3)既要有队长，又要有女生当选.解分两类：所以共有495＋295＝790(种)选法.反思感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.跟踪训练2

某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有A.210种

B.420种

C.56种

D.22种解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，√命题角度1平均分组例3－1

(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？三、分组、分配问题(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？因此分为三份，每份两本，一共有15种方法.命题角度2不平均分组例3－2

(1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？命题角度3分配问题例3－3

6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法.反思感悟“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.跟踪训练3

将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中.(1)有多少种放法？(2)每盒至多1个球，有多少种放法？解每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法.(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？与几何有关的组合应用题典例

如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.核心素养之数学抽象与数学运算(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？素养提升(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法.(2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养.123451.的值为A.72 B.36 C.30 D.42√跟踪训练2.若

＝28，则n的值为A.9 B.8 C.7 D.612345√123453.若

，则m等于A.9 B.8 C.7 D.6√123454.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为____.解析从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，96123455.有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有____种.181.知识清单：知识小结(4)分组分配问题.2.方法归纳：分类讨论、正难则反、方程思想.3.常见误区：分组分配中是否为“平均分组”.1.计算：

等于A.120 B.240 C.60 D.480基础巩固12345678910111213141516√123456789101112131415162.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有A.60种

B.48种

C.30种

D.10种√123456789101112131415163.(多选)下列等式正确的有√√√12345678910111213141516解析A是组合数公式；B是组合数性质；123456789101112131415164.200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有√123456789101112131415165.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为A.205 B.110 C.204 D.200√6.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有______种.1234567891011121314151636123456789101112131415167.甲、乙、丙3人站到共有7级