高中数学《第四章 数列》单元检测试卷与答案（共四套）

高中数学选择性必修二《第四章数列》单元检测试卷（一）一、单选题1．在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（）A．9B．12C．15D．182．已知数列为等比数列，，且，则的值为（）A．1或B．1C．2或D．23．已知数列的前项和，，则（）A．20B．17C．18D．194．在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（）A．60B．11C．50D．555．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺A．B．C．D．6．正项等比数列满足，则（）A．1B．2C．4D．87．设等差数列的前项和为，若，则（）A．60B．120C．160D．2408．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（）A．2B．4C．8D．169．已知等比数列的前n项和为，且，，则（）A．B．C．D．10．数列，…的通项公式可能是（）A．B．C．D．11．已知数列满足，，则（）A．B．C．D．12．等差数列中，，则此数列的前项和等于（）A．160B．180C．200D．220二、填空题13．设为等比数列，且，则______.14．已知是递增的等差数列，是方程的根．则=_________.15．若是等差数列的前项和，，则______．16．等差数列中，为的前项和，若，则_________.三、解答题17．已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18．已知数列的前n项和为（1）当取最小值时，求n的值；（2）求出的通项公式.19．设，数列的前n项和为，已知，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项的和.20．已知点是函数图象上一点，等比数列的前项和为.数列的首项为，前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，问使的最小正整数是多少？21．已知数列（）是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.22．设是等比数列，其前项的和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求的最小值.参考答案1．A【分析】在等差数列{an}中，利用等差中项由求解.【详解】在等差数列{an}中，a5=3，a9=6，所以，所以，故选：A2．C【分析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，且，所以，解得，所以.故选：C.3．C【分析】根据题中条件，由，即可得出结果．【详解】因为数列的前项和，所以．故选：C．4．D【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】因为在等差数列中，若为其前项和，，所以.故选：D.5．D【分析】设该妇子织布每天增加尺，由等差数列的前项和公式即可求出结果【详解】设该妇子织布每天增加尺，由题意知，解得．故该女子织布每天增加尺．故选：D6．C【分析】利用等比数列的性质运算求解即可.【详解】根据题意，等比数列满足，则有，即，又由数列为正项等比数列，故．故选：C．7．B【分析】根据等差数列的性质可知，结合题意，可得出，最后根据等差数列的前项和公式和等差数列的性质，得出，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，，由等差数列的性质可知，则，故.故选：B.8．D【分析】根据等差数列的性质得到，数列是等比数列，故=16.【详解】等差数列中,,故原式等价于解得或各项不为0的等差数列,故得到，数列是等比数列，故=16.故选：D.9．D【分析】根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果.【详解】因为等比数列的前n项和为，且，，所以，因此.故选：D.10．D【分析】根据观察法，即可得出数列的通项公式.【详解】因为数列可写成，所以其通项公式为.故选：D.11．D【分析】根据题意可得，先求，，，，…，所以猜测，经验证即可得解.【详解】因为，所以，因为，所以，，，…，所以猜测，代入，所以满足题意，所以，故选：D.【点睛】本题考查了通过数列的递推关系求通项公式，考查了利用规律对通项公式的猜想和验算，属于中档题.解本类问题有两个关键点：（1）当数列无法直接得出通项公式时，可观察前几项的规律；（2）通过前几项的规律进行猜想；（3）最后验算，必须带入原等式进行验算.12．B【分析】把已知的两式相加得到，再求得解.【详解】由题得，所以.所以.故选：B13．10【分析】根据题中条件，由等比数列的性质，可直接得出结果.【详解】因为为等比数列，且，所以.故答案为：.14．【分析】先求得方程的根，根据是递增的等差数列，可求得的值，代入等差数列的通项公式，即可求得公差d和首项，进而可求得.【详解】方程的两根为2,3，由题意得设数列的公差为d，则，解得，从而，所以数列的通项公式为.故答案为：15．0【分析】根据题意，利用等差数列的前项和公式列方程组，求得首项和公差，再利用等差数列的前项和公式即可得解．【详解】设的公差为，则由，得，解得故．故答案为：016．2【分析】直接利用等差数列求和公式求解即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：2.17．（1）；（2）.【分析】（1）根据题中条件，先得出公差，进而可求出通项公式；（2）根据（1）的结果，由等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）因为等差数列中，首项为，公差为，所以其通项公式为；（2）由（1）可得，数列的前项和.18．（1）或；（2）【分析】（1）直接对进行配方，由可求出其最小值（2）由求解的通项公式【详解】解：（1），因为，所以当或时，取最小值，（2）当时，，当时，，当时，满足上式，所以【点睛】此题考查由数列的递推公式求通项公式，考查的关系，属于基础题19．（1）；（2）.【分析】（1）由，得，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，再由已知条件可得：，即可得解；（2）由（1）得，所以,分组求和即可得解.【详解】（1）由，得，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.由，，成等比数列可得，即，解得，所以.（2）由（1）得，所以所以.【点睛】本题考查了数列的基本量的运算和数列的分组求和法，是常规的计算题，属于基础题.20．（1）；（2）59.【分析】（1）由已知求得，，，，得公比，即可写出通项；（2）由题意可得可得是首项为1，公差为1的等差数列.所以，所以，由，作差可得：，时也满足上式，根据裂项相消法求和即可得解.【详解】（1）解：.，，则等比数列的前项和为，，由为等比数列，得公比，则，；（2）：由，得，当时，，则是首项为1，公差为1的等差数列，，则，作差可得.当时，满足上式由，得，则最小正整数为.【点睛】本题考查了数列与函数，考查了求等比数列的通项公式以及裂项求和法，有一定的计算量，属于中档题.21．（1）；（2）.【分析】（1）设的公差为d，由，，成等比数列，得，从而解方程可求出公差，进而可求得的通项公式；（2）由（1）得，然后利用裂项相消法可求得【详解】解：（1）设的公差为d，因为，，成等比数列，所以.即，即又，且，解得所以有.（2）由（1）知：则.即.【点睛】此题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消法求和，考查计算能力，属于基础题22．（1）；（2）.【分析】（1）由题意易得，根据等比数列的定义，可求出的公比为，由此即可求出的通项公式；（2）由（1）可求，进而求出的表达式，再根据，列出关于不等式，解不等式，即可求出结果.【详解】（1）设的公比为q，因为，所以，所以，又，所以，所以.（2）因为，所以，由，得，即，解得，所以n的最小值为6.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和的求法和应用，属于基础题.高中数学选择性必修二《第四章数列》单元检测试卷（二）一、单选题1．设是等差数列（）的前项和，且，则（）A．B．C．D．2．等比数列的前项和为，，，则公比为（）A．B．或1C．1D．23．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂.A．55989B．46656C．216D．364．若数列{an}的通项公式为an＝n(n－2)，其中n∈N*，则a6＝（）A．8B．15C．24D．355．已知数列为等差数列，，，则（）A．B．C．D．6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（）A．80里B．86里C．90里D．96里7．设{an}是等比数列，若a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=（）A．6B．16C．32D．648．已知各项不为的等差数列满足，数列是等比数列，且，则（)A．1B．8C．4D．29．已知数列则该数列中最小项的序号是（）A．3B．4C．5D．610．公比为的等比数列中，，则（）A．1B．2C．3D．411．已知数列的前n项和为，且，则（）A．0B．1C．2020D．202112．设数列的满足：，，记数列的前n项积为，则（）A．B．2C．D．二、填空题13．等比数列的前项和为，，，则公比为______.14．数列的一个通项公式是___________15．已知等差数列的前项和为，且，则______.16．已知等比数列的公比，则等于______.三、解答题17．为等差数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求，并求的最小值.18．等差数列满足，.（1）求的通项公式.（2）设等比数列满足，，求数列的前n项和.19．已知等差数列的前项和满足，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.20．设函数，数列满足（，且）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，若对恒成立，求实数的取值范围．21．已知是等差数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．22．已知等比数列的首项，前项和满足.（1）求实数的值及通项公式；（2）设，求数列的前项为，并证明：.参考答案1．C【分析】由题建立关系求出公差，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，，，，.故选：C2．A【分析】由，列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案.【详解】因为，所以，所以，解得，故选：A.3．B【分析】第天蜂巢中的蜜蜂数量为，则数列成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量．【详解】设第天蜂巢中的蜜蜂数量为，根据题意得数列成等比数列，它的首项为6，公比所以的通项公式：到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂．故选：．4．C【分析】代入通项公式可得．【详解】代入通项公式得，，故选：C．5．A【分析】根据等差中项的性质，求出，再求;【详解】因为为等差数列，所以,∴.由,得,故选：A.6．D【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出，由等比数列的通项公式求出答案即可．【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，此人第二天走里，第二天走了96里，故选：D．7．C【分析】根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，又，所以，所以.故选：C．8．B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出，再由等比数列的性质，即可求出结果.【详解】因为各项不为的等差数列满足，所以，解得或（舍）；又数列是等比数列，且，所以.故选：B.9．A【分析】首先将化简为，即可得到答案。【详解】因为当时，取得最小值。故选：A10．D【分析】利用已知条件求得，由此求得.【详解】依题意，所以.故选：D11．A【分析】当时，，当时，利用，结合题干条件，即可求得答案.【详解】当时，，当时，，所以，即，故选：A12．D【分析】由的值确定数列是以3为周期的周期数列，利用周期的性质得出.【详解】可知数列是以3为周期的周期数列故选：D13．【分析】由条件可得，即可得，从而可得出答案.【详解】因为，即所以，所以，解得.故答案为：14．，【分析】根据数列的部分项，归纳数列的一个通项公式即可.【详解】因为数列，所以通项公式可以为，故答案为：，15．【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，求出，再由等差数列的求和公式，根据等差数列的性质，即可求出结果.【详解】因为等差数列的前项和为，且，由等差数列的性质可得，，所以，因此.故答案为：.16．【分析】根据等比数列的定义计算．【详解】是等比数列，，则．故答案为：．17．（1）；（2），时，的最小值为.【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出，，代入通项公式即可求解.（2）利用等差数列的前项和公式可得，配方即可求解.【详解】（1）设的公差为，由，，即，解得，所以.（2），，所以当时，的最小值为.18．（1）；（2）.【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算，从而求出，利用等比数列前项和公式即可求出.【详解】解：()∵是等差数列，，∴解出，，∴.()∵，，是等比数列，，∴b1=419．（1）；（2）.【分析】（1）由，，可得求出，从而可得的通项公式；（2）由（1）可得，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求得【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，.所以，化简得，解得，所以，（2）由（1）可知，所以，所以【点睛】此题考查等差数列前项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题20．（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据函数解析式化简题中的递推关系，结合等差数列的概念求解数列的通项公式；（Ⅱ）求出，进而得到不等式，利用分离变量法求解的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）因为（，且），所以．因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列，所以．（Ⅱ）要使对恒成立，只要使对恒成立，只要使对恒成立，只要，故实数的取值范围为．【点睛】本题考查等差数列的概念和性质、数列的综合应用,分离变量法求最值．21．（1）；（2）n=4时取得最大值.【分析】（1）利用公式，进行求解；（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.【详解】（1）由题意可知：，当时，，当时，，当时，显然成立，∴数列的通项公式；（2），由，则时，取得最大值28，∴当为4时，取得最大值，最大值28．【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.22．(1),;(2)见解析.【分析】（1）由题设中的递推关系可得，再对原有的递推关系取，两者结合可得的值，从而利用数列为等比数列求出其通项.（2）利用错位相减法求，令，利用数列的单调性可以证明，从而原不等式成立.【详解】（1）当时，，得，又由及，得因为等比数列，故有，解得，由，所以，故，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2）①②①-②得：所以，又，故令，则，故单调递减，又，所以恒成立，所以【点睛】（1）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.（2）数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.高中数学选择性必修二《第四章数列》单元检测试卷（三）一、单选题1．在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（）A．9B．12C．15D．182．在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（）A．60B．11C．50D．553．已知q为等比数列的公比，且，，则（）A．B．4C．D．4．等差数列的前项和为，已知，，则的值是（）A．48B．60C．72D．245．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且(n≥2)，则xn等于（）A．()n－1B．()nC．D．6．已知数列1，,,,…，则数列的第k项是（）A．B．C．D．7．数列{an}满足(n∈N*)，数列{an}前n和为Sn，则S10等于（）A．B．C．D．8．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n－1）＋F（n－2），，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列，则b2020=（）A．3B．2C．1D．09．已知数列的首项，前项的和为，且满足，则满足的的最大值为（）.A．7B．8C．9D．1010．已知数列满足则数列的最大项为（）A．B．C．D．11．已知单调递增数列的前n项和满足，且，记数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为（）A．7B．8C．10D．1112．函数，数列满足，，且为递增数列．则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13．已知等差数列的前项和为，且，则______.14．数列的前项和为，则_________________.15．设是数列的前项和，若，则________.16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，现将该金杖截成长度相等的15段，记第n段的重量为斤(n=1，2，…，15)，且，若(其中表示不超过的最大整数)，则数列的所有项和为________.三、解答题17．在等比数列中，已知，．求的通项公式；若，分别为等差数列的前两项，求的前n项和．18．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记，的前项和为，求.19．已知数列的前项和为.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的最大值及取得最大值时的值.20．已知等差数列，为其前项和，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.21．已知数列的前项和为，且，数列的通项公式为．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求；（3）设，，求使得对任意，均有成立的最大整数22．已知是数列的前项和，，．（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．参考答案1．A【分析】在等差数列{an}中，利用等差中项由求解.【详解】在等差数列{an}中，a5=3，a9=6，所以，所以，故选：A2．D【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】因为在等差数列中，若为其前项和，，所以.故选：D.3．C【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案；【详解】，故选：C.4．A【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据，代入求值.【详解】由条件可知，解得：，.故选：A5．C【分析】由已知可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列是等差数列，且，故公差则，故故选：C6．D【分析】根据已知中数列的前4项，分析数列的项数及起始项的变化规律，进而可得答案【详解】解：由已知数列的前4项：1，,,,归纳可知该数列的第项是一个以1为首项，以为公比的等比数列第项开始的连续项和，所以数列的第项为：故选：D7．B【分析】根据题意得到，（），与条件两式作差，得到，（），再验证满足，得到，进而可求出结果.【详解】因为数列满足，，（）则，则，（），又满足，所以，因此.故选：B8．A【分析】根据条件得出数列的周期即可.【详解】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b2020=b4=3，故选：A9．C【分析】根据可求出的通项公式，然后利用求和公式求出，结合不等式可求的最大值.【详解】相减得，，；则是首项为1，公比为的等比数列，，，则的最大值为9.故选：C10．B【分析】本题先根据递推公式进行转化得到．然后令，可得出数列是等比数列．即．然后用累乘法可求出数列的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列的最大项．【详解】解：由题意，可知：．令，则．，数列是以为首项，为公比的等比数列．．．，，．各项相乘，可得：．．令，则，根据二次函数的知识，可知：当或时，取得最小值．，，的最小值为．．数列的最大项为．故选：．【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；11．B【分析】由数列与的关系转化条件可得，结合等差数列的性质可得，再由错位相减法可得，即可得解.【详解】由题意，，当时，，所以，整理得，因为数列单调递增且，所以，即，当时，，所以，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，所以，所以，，所以，所以，所以，，所以成立的n的最小值为8.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列与关系的应用及错位相减法的应用.12．B【分析】根据分段函数的特征，以及数列在是单调递增数列，列式求解.【详解】是单调递增数列，所以，数列是单调递增数列.故选：B．【点睛】易错点点睛：本题考查分段函数的单调性和数列单调性的简单综合应用，本地的易错点是和时，数列的单调性，容易和函数时函数单调性搞混，此时函数单调性和数列单调性的式子是不一样的，需注意这点.13．【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，求出，再由等差数列的求和公式，根据等差数列的性质，即可求出结果.【详解】因为等差数列的前项和为，且，由等差数列的性质可得，，所以，因此.故答案为：.14．【分析】利用计算可得出数列的通项公式.【详解】当时，;而不适合上式，.故答案为：.15．【分析】令计算得出，然后推导出当为偶数时，，当为奇数时，，利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】当时，，解得；当时，.当为偶数时，可得，则；当为奇数时，可得，则.因此，.故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查已知与的关系求和，常用的数列求和方法如下：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.16．【分析】先根据等差数列的通项公式列方程求出公差与首项，可得，结合新定义与等差数列的求和公式可得答案.【详解】由题意，由细到粗每段的重量成等差数列，设公差为，则解得，，所以．所以因此数列的所有项和为．故答案为：【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答..17．（1）；（2）.【分析】(1)求出等比数列的公比q，进而得到其通项公式；（2）求出等差数列公差d，再利用等差数列的前n项和公式求解.【详解】（1）∵公比，∴.（2）∵，，-8+4=12,∴，公差.故.【点睛】本题考查了等比数列的基本量计算和等比数列的通项公式，考查了等差数列的基本量计算和前n项和公式.是基础题.18．（1）（2）【分析】（1）由，可得，即，从而可得公差，从而得出答案.（2）由条件可得，由等比数列的前项和公式可得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，又，，又，得，则所以（2）所以19．（1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为.【分析】（1）先由求通项公式，再利用定义法证明即可；（2）先判断的n的范围，得到数列的正负分布，即得何时最大.【详解】解：（1）证明：当时，，又当时，，满足，故的通项公式为，∴.故数列是以32为首项，为公差的等差数列；（2）令，即，解得，故数列的前16项或前17项和最大，此时.20．（1）；（2）.【分析】（1）设数列的首项为，公差为，然后根据题目条件列出关于和的方程组求解；（2）将（1）中所得的数列的通项公式代入，得到的通项公式，再根据通项公式确定该用哪个方法求前项和.【详解】解：（1）设数列的首项为，公差为，则根据题意得：由，解得，所以.（2），则.【点睛】本题考查等差数列的基本公式的运用，考查利用分组求和法求数列的前项和.解答时，如果已知数列为等差数列或等比数列求通项公式，只需将题目条件翻译成数学表达式，然后通过方程解出首项和公差或公比，然后得出数列的通项公式.对于数列，当和分别为等差数列与等比数列时，可采用分组求和法求和.21．（1）；（2）；（3）存在最大的整数满足题意．【分析】（1）当时，；当时，，将已知代入化简计算可得数列的通项公式；（2）利用错位相减法计算，分和两种情况，分别得出答案；（3）利用裂项相消法计算出，并得出单调性和最值，代入不等式解出的范围，得到答案．【详解】（1）当时，当时，即数列的通项公式为（2），，①则，②①﹣②，得．当时，，则．当时，综上可得，（3）由（1）可得，则显然为关于的增函数，故．于是欲使恒成立，则，解得．存在最大的整数满足题意．【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．22．（1）证明见解析，；（2）.【分析】（1）首先根据，两式相减得，即可得到的通项公式.（2）首先求出，再利用错位相减法求前项和即可.【详解】（1）证明：由，当时，，两式相减得，当时，即，∴，∴，∴时都有，∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，∴．（2）解：，∴，，∴，∴∴．【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：1.公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可；2.分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；3.裂项求和法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；4.错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和.高中数学选择性必修二《第四章数列》单元检测试卷（四）一、单选题1．设数列满足，则（）A．2B．4C．8D．162．在等差数列中，，则等于（）.A．6B．12C．24D．323．等比数列中，，，则等于（）A．16B．32C．64D．1284．设数列的通项公式为，要使它的前项的乘积大于36，则的最小值为（）A．6B．7C．8D．95．在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（）A．25B．C．5D．6．已知等差数列的公差为正数，为常数，则（）A．B．C．D．7．在等差数列中，，，则中最大的是（）A．B．C．D．8．设等差数列、的前项和分别是、.若，则的值为（）A．B．C．1D．29．在数列中，，，则（）A．10B．145C．300D．32010．《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（）A．尺布B．尺布C．尺布D．尺布11．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2022积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为（）A．1009B．1010C．1011D．202012．已知数列的前项和为，，且，满足，数列的前项和为，则下列说法中错误的是（）A．B．C．数列的最大项为D．二、填空题13．在公差不为0的等差数列{an}中，a1、a3、a4成等比数列，则该等比数列的公比为_______.14．若等差数列和等比数列满足，，则_________．15．在数列中，，，，记，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为______.16．有一个数阵排列如下：1247111622……358121723…………69131824………………10141925……152026…………2127………………28……………则第40行从左至右第6个数字为______.三、解答题17．已知数列的前n项和为，，，，，且当时，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：为等比数列．18．已知数列的前项和与通项满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，，，求.19．已知数列的前n项和为．（Ⅰ）若为等差数列，求证：；（Ⅱ）若，求证：为等差数列．20．在数列中，，．（1）设，证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）设为数列的前n项和，证明：．21．设等差数列的前n项和为，，，数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式及数列的前n项和；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由．22．已知等差数列的前项和为，，，数列满足，.（1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；（2）若，求数列的前项和.参考答案1．D【分析】根据等比数列的定义可得数列是以2为公比的等比数列，由此可得选项.【详解】因为数列满足，所以数列是以2为公比的等比数列，所以，故选：D.【点睛】本题考查等比数列的定义，属于基础题.2．A【分析】由等差数列的性质可得选项.【详解】由等差数列的性质得，故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.3．A【分析】由，求得，再由求解.【详解】，.∴，∴.故选：A4．C【分析】先求出数列的前项的乘积为，令解不等式，结合，即可求解.【详解】记数列的前项的乘积为，则依题意有整理得解得：，因为，所以，故选：C5．B【分析】由等比数列的性质，求得，再结合基本不等式，即可求得的最大值，得到答案.【详解】由等比数列的性质，可得，又因为，所以，所以，当且仅当时取等号．故选：B.6．A【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】，,令，则，解得令，则，即，若，则，与已知矛盾，故解得等差数列，，即，解得则公差，所以.故选：A7．B【分析】设等差数列的公差为d.由已知得，可得关系.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项.【详解】设等差数列的公差为d.由得，，整理得，.又，所以，因此，所以最大.故选：B.8．C【分析】令，，求出，，进而求出，，则可得．【详解】令，，可得当时，，，当，，符合，故，，故.【点睛】由求时，，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式求解．9．C【分析】由等差数列的性质可得，结合分组求和法即可得解。【详解】因为，，所以数列是以为首项，公差为3的等差数列，所以，所以当时，；当时，；所以.故选：C.10．D【分析】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，根据，可求得的值.【详解】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，由题意可得，解得.故选：D.11．C【分析】根据数列的新定义，得到，再由等比数列的性质得到，再利用求解即可.【详解】根据题意：，所以，因为{an}等比数列，设公比为，则，所以，因为，所以，所以，所以前n项的乘积取最大值时n的最大值为1011.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出以及进行判断.12．D【分析】当且时，由代入可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，由可判断A选项的正误；利用的表达式可判断BC选项的正误；求出，可判断D选项的正误.【详解】当且时，由，由可得，整理得（且）.则为以2为首项，以2为公差的等差数列，.A中，当时，，A选项正确；B中，为等差数列，显然有，B选项正确；C中，记，，，故为递减数列，，C选项正确；D中，，，.，D选项错误.故选：D．【点睛】关键点点睛：利用与的关系求通项，一般利用来求解，在变形过程中要注意是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用将递推关系转化为有关的递推数列来求解.13．【分析】设等差数列{an}的公差为，利用等比中项求出和的关系，代入求值即为该等比数列的公比．【详解】设等差数列{an}的公差为则，即，解得则该等比数列的公比为故答案为：14．1【分析】利用等差、等比的通项公式结合已知求出公差d、公比q，进而求.【详解】若令公差、公比分别为，由题意知：，得，，得，∴,故答案为：1.15．【分析】先由题意求得数列的前几项，进而猜想，然后利用数学归纳法证明猜想，再求得，再根据恒成立对分奇数、偶数两种情况讨论求得实数的取值范围【详解】解：由题意得，，，……故猜想：，下面用数学归纳法证明：（1）当时，显然成立；（2）假设当时有，那么当时，所以当时，也成立，由（1），（2）得，所以，因为对任意的，恒成立，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，当为偶数时，有，当为奇数时