高中数学《第七章 随机变量及其分布》复习小结与专题训练

《第七章

随机变量及其分布》复习与小结[网络构建]知识框图[核心归纳]1．离散型随机变量及其分布列 (1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量，通常用字母X，Y，Z等表示． (2)离散型随机变量：所有取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. (3)离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi为X的概率分布列，简称分布列，也可以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(4)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0，i＝1，2，…，n；X01P1－pp2．二项分布及其应用全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算．即运用了“化整为零”的思想处理问题．(3)n重伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．3．离散型随机变量的均值与方差 (1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(2)均值与方差的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)常见分布的均值和方差公式①两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．②二项分布：若随机变量X～B(n，p)，则均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)．4．正态分布要点一条件概率的求法

条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法：【例1】口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则： (1)第一次取出的是红球的概率是多少？ (2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？ (3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？解记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球．(3)利用条件概率的计算公式，可得【训练1】掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，求“掷出点数之和大于或等于10”的概率．

解设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A；“第一颗掷出6点”为事件B，法二

“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共6种．∴n(B)＝6.“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6，4)，(6，5)，(6，6)共3种，即n(AB)＝3.要点二全概率公式

全概率公式适用于“整体难算，分开易算”的情况，采取“化整为零，各个击破”的解题策略．【例2】某学生的手机掉了，落在宿舍中的概率为60%，在这种情况下找到的概率为98%；落在教室里的概率为25%，在这种情况下找到的概率为50%；落在路上的概率为15%，在这种情况下找到的概率为20%.

求：(1)该学生找到手机的概率； (2)在找到的条件下，手机在宿舍中找到的概率．解设“手机落在宿舍”为事件B1，“手机落在教室”

为事件B2，“手机落在路上”为事件B3，“找到手机”为事件A，则Ω＝B1∪B2∪B3，(1)P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝98%×60%＋50%×25%＋20%×15%＝0.743.【训练2】采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品．求： (1)采购员拒绝购买的概率； (2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率．解B1＝{取到的是含4个次品的包}，B2＝{取到的是含1个次品的包}，A＝{采购员拒绝购买}，P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.7.(1)由全概率公式得到P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)要点三离散型随机变量的分布列、均值和方差求离散型随机变量的均值与方差，常见分布以相应公式求解，综合问题注意以下几个步骤：角度1两点分布【例3】设X服从两点分布，分布列为

，其中p∈(0，1)，则(

) A．E(X)＝p，D(X)＝p3 B．E(X)＝p，D(X)＝p2 C．E(X)＝q，D(X)＝q2 D．E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2解析X服从两点分布，则E(X)＝q＝1－p，D(X)＝p(1－p)＝p－p2.答案D角度3超几何分布【例5】某学院为了调查本校学生2020年4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及均值E(Y)．解(1)由图可知健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，且Y服从超几何分布．角度4综合应用【例6】一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字)． (1)设随机变量X表示一次掷得的点数和，求X的分布列； (2)若连续投掷10次，设随机变量Y表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(Y)，D(Y)．解(1)由已知，随机变量X的取值为2，3，4，5，6.设掷一个正方体骰子所得点数为X0，则X0的分布列为：所以故X的分布列为

【训练3】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别为0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． (1)求X的分布列； (2)记“函数f(x)＝x2－3Xx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A发生的概率．解(1)分别记“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点”为事件A1，A2，A3.则A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以X的可能取值为1，3.＝0.4×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.4＝0.24.P(X＝1)＝1－0.24＝0.76.所以X的分布列为：X13P0.760.24要点四正态分布解答正态分布的实际应用题，关键是如何转化，同时注意以下两点：(1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性和结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题.【例7】某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500，502)，请你判断考生成绩X在550～600分的人数．

解∵考生成绩X～N(500，502)， ∴μ＝500，σ＝50，【训练4】某地数学考试的成绩X服从正态分布，某密度函数曲线如右图所示，成绩X位于区间[52，68]的概率为多少？解设成绩X～N(μ，σ2)，则正态分布的密度函数由图可知，μ＝60，σ＝8.∴P(52≤X≤68)＝P(60－8≤X≤60＋8)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.要点五方程思想

方程思想是高中数学中最基本、最重要的数学思想之一，这种思想方法就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解方程或对方程进行讨论，使问题得以解决，利用方程思想解题的关键是列出方程．化简得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去)，即袋子中有4个黑球．(2)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，【训练5】甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续航里程数R(单位：千米)可分为三类车型，A：80≤R<150，B：150≤R<250，C：R≥250.甲从A，B，C三类车型中挑选一款，乙从B，C两类车型中挑选一款，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X万元，求X的分布列．车型ABC补贴金额(万元/辆)345(3)X的所有可能取值为7，8，9，10.《第七章

随机变量及其分布》专题训练专题一

条件概率

例1在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:(1)第1次抽到理科题的概率;(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.解:设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题”为事件B,则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题包含的样本点数为方法技巧

条件概率的求解策略

其中(2)常用于古典概型的概率计算问题.变式训练1抛掷5枚硬币,在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下,求正面朝上数恰好是3枚的概率.专题二

二项分布

例2某公司招聘员工,先由两位专家面试,若这两位专家都同意通过,则通过初审并予以录用;若这两位专家都未同意通过,则未通过初审并不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为,获得复审专家通过的概率为,各专家评审的结果相互独立.(1)求某应聘人员被录用的概率.(2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列.故X的分布列为

方法技巧

解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在随机变量服从二项分布时才能应用,否则不能应用.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.变式训练2一个暗箱里放着6个黑球、4个白球.(1)依次不放回地取出3个球,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑球的概率.(2)有放回地依次取出3个球,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑球的概率.(3)有放回地依次取出3个球,求取到白球个数ξ的分布列和均值.解:(1)设事件A为“第1次取出的是白球”,事件B为“第3次取出的是黑球”,(2)因为有放回地依次取出3个球,每次取出之前暗箱的情况没有变化,所以每次取球互不影响,专题三

超几何分布

例3在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列;(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,①求顾客乙抽到中奖奖券数ξ的分布列;②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列.故X的分布列为

故ξ的分布列为

故Y的分布列为

方法技巧

解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.(2)在超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出随机变量X取不同k值的概率P(X=k),从而求出X的分布列.变式训练3老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,试求:(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列;(2)他能及格的概率.故X的分布列为

专题四

离散型随机变量的分布列、均值和方差

例4一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字).(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和,求η的分布列.(2)若连续投掷10次,设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数,求E(ξ),D(ξ).方法技巧

求离散型随机变量的均值与方差的步骤

变式训练4为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和均值.故随机变量X的分布列为

专题五

正态分布的概率

例5设X~N(10,1).(1)证明:P(1<X<2)=P(18<X<19).(2)设P(X≤2)=a,求P(10<X<18).(1)证明:因为X~N(10,1),所以正态曲线f(x)关于直线x=10对称,而区间(1,2)和(18,19)关于直线x=10对称,故P(1<X<2)=P(18<X<19).方法技巧

正态分布的概率求法(1)利用“3σ”原则,记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)利用数形结合.由于正态分布密度曲线具有对称性,因此常结合图象,利用对称性,解决某一区间内的概率.变式训练5为了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5kg,小于或等于62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约是(

)A.997 B.954 C.819 D.683解析:由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682

7,1

000×0.682

7≈683,故这1

000名男生中属于正常情况的人数约是683.答案:D《第七章

随机变量及其分布》复习课专题1.条件概率、乘法公式及全概率公式专题精练例1.设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%,现从中任取一件．(1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．典例解析典例解析跟踪训练1抛掷5枚硬币,在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下,求正面朝上数恰好是3枚的概率.跟踪训练专题2.独立重复试验与二项分布1．在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．2．根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．典例解析例2.

实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；(2)按比赛规则甲获胜的概率．跟踪训练2一个暗箱里放着6个黑球、4个白球.(1)依次不放回地取出3个球,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑球的概率.(2)有放回地依次取出3个球,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑球的概率.(3)有放回地依次取出3个球,求取到白球个数ξ的分布列和均值.跟踪训练解:(1)设事件A为“第1次取出的是白球”,事件B为“第3次取出的是黑球”,(2)因为有放回地依次取出3个球,每次