高中数学《6.3 二项式定理》课件与导学案

人教2019A版选择性必修第三册6.3

二项式定理第一课时二项式定理学习目标

1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；2.会应用二项式定理求解二项展开式；3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及“从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.

导语

问题探究

问题探究

n＋1

k＋1

定理解析二项式定理形式上的特点(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.定理辨析小试牛刀典例解析

1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.归纳总结跟踪训练

典例解析

二项式系数与项的系数的求解策略

归纳总结跟踪训练解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.答案:B当堂达标1.(a+b)2n的展开式的项数是(

)A.2n B.2n+1

C.2n-1 D.2(n+1)答案:B

答案:4

答案:8

5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.解:由题设知m+n=19,又m,n∈N*,∴1≤m≤18.

(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.课堂小结6.3

二项式定理《第一课时二项式定理》导学案激趣诱思知识点拨我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导(a+b)3,(a+b)4的展开式.上述两个等式的右侧有何特点?你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗?激趣诱思知识点拨一、二项式定理

1.这个公式叫做二项式定理.2.二项展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,二项展开式共有n+1项.3.二项式系数:各项的系数

(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.激趣诱思知识点拨名师点析理解二项式定理的注意事项(1)二项式定理形式上的特点:①二项展开式有n+1项.②二项式系数都是组合数

(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.(2)二项式定理中的字母a,b是不能交换的,即(a+b)n与(b+a)n的展开式是有区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆.(3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立.(4)二项式定理中a和b中间用加号连接,若出现减号,“-”归属后边的字母或数,仍可用二项式定理展开.激趣诱思知识点拨微思考二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?提示:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指

,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.激趣诱思知识点拨微练习化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得(

)A.x4B.(x-1)4C.(x+1)4D.x5解析:原式=(x-1+1)4=x4.答案:A激趣诱思知识点拨二、二项展开式的通项

名师点析二项展开式的通项形式上的特点

(2)字母b的次数和组合数的上标相同.(3)a与b的次数之和为n.激趣诱思知识点拨微思考二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第

k+1项相同吗?激趣诱思知识点拨微练习(1)(x+2)8的展开式中的第6项为

.

A.8

B.9

C.10

D.11

答案:(1)1792x3

(2)B

探究一探究二探究三素养形成当堂检测二项式定理的正用、逆用

探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:44

探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用二项式定理求待定项及系数

(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.思路分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

求二项展开式中的特定项的常见题型及解法(1)求含xk的项(或xpyq的项),在通项中令字母的指数为给定的值;(2)求常数项,在通项中令字母的指数为0;(3)求有理项,在通项中令字母的指数为整数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用二项式定理解决整除和余数问题例3试判断7777-1能否被19整除.思路分析:由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定理展开.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

用二项式定理解决an+b整除(或余数)问题时,一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r<m)的形式,利用二项展开式求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3(1)设a∈Z,且0≤a<13,若512015+a能被13整除,则a等于(

)A.0 B.1 C.11 D.12(2)230-3除以7所得的余数为

.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:(1)B

(2)5

探究一探究二探究三素养形成当堂检测转化思想在二项式定理中的应用典例求(1+2x-3x2)5展开式中x5的系数.审题视点

由于三项式的展开式无现成公式,因此应将其转化为二项式的展开式,然后再求x5的系数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(方法一)∵(1+2x-3x2)5=[1+(2x-3x2)]5=1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x-3x2)5=1+5x(2-3x)+10x2(2-3x)2+10x3(2-3x)3+5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5,∴x5的系数为上式各项中含x5的项的系数和,即(方法二)∵(1+2x-3x2)5=(1-x)5·(1+3x)5=(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5)·(1+15x+90x2+270x3+405x4+243x5),∴展开式中x5的系数为243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92.探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛

转化思想在二项式定理中的应用转化思想是高中数学重点考查的内容之一.在与二项式定理有关的问题中,主要表现为将多项式转化为二项式来求解;若干个二项式积的某项系数问题转化为乘法分配律问题.在高考题中,常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题,所用方法一般是根据式子的特点转化为二项式展开来解决问题.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)第5项的二项式系数及第5项的系数;(2)倒数第3项.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.(a+b)2n的展开式的项数是(

)A.2n B.2n+1C.2n-1 D.2(n+1)解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B

探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:4

探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:8

探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.解:由题设知m+n=19,又m,n∈N*,∴1≤m≤18.

人教A版（2019）选择性必修第三册6.3

二项式定理第二课时二项式系数的性质学习目标1.

能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.n＋1

k＋1

温故知新

问题导学

新知探究通过计算、填表、你发现了什么规律？n11121213133141464151510105161615201561将上表写成如下形式：(a+b)211

121

1331

14641

15101051

1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6思考：通过上表和上图，能发现什么规律？

1.对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即2.增减性与最大值

二项式系数的性质

新知探究1.在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为

,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为

.

A.A>B

B.A=B

C.A<B

D.不确定

小试牛刀答案:1.70a4b4

126a5b4与126a4b5

2.B

典例解析二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),归纳总结跟踪训练1.在(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.跟踪训练(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,又a0+a1+a2+…+a9=-1,即所有奇数项系数之和为976

562.例4.已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.典例解析解得5≤k≤6.∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).∴系数最大的项为T6=1

792x5,T7=1

792x6.求二项展开式中系数的最值的方法(1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k+1项系数归纳总结(1)求该展开式中所有有理项的个数;(2)求该展开式中系数最大的项.跟踪训练1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为(

)A.第6项

B.第7项

C.第8项

D.第9项当堂达标解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.答案:CA.64 B.32

C.63

D.31答案:B3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(

)A.212

B.211

C.210

D.29答案:D课堂小结6.3

二项式定理《第二课时二项式系数的性质》导学案激趣诱思知识点拨如图所示,在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块,在它们中间留下一些通道,从上面的漏斗直通到下部的长方形框,并用一块玻璃挡住.把小弹子倒在漏斗里,它首先会通过中间的一个通道落到第二层(有几个通道就算第几层)的六棱柱上面,之后,再落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再之后,它又会落到下一层的三个通道之一里边去,……,以此类推,最终落激趣诱思知识点拨二项式系数的性质1.对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即2.增减性与最大值

激趣诱思知识点拨名师点析二项式系数与二项展开式中某一项的系数是不同的概念,特别地,(a+b)n(a>0,b>0)的展开式中,各项的系数即为对应的各二项式系数;(a-b)n(a>0,b>0)的展开式中,各项的系数的绝对值即为对应的二项式系数.激趣诱思知识点拨微思考

激趣诱思知识点拨微练习(1)在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为

,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为

.

A.A>B

B.A=B

C.A<B

D.不确定

激趣诱思知识点拨答案:(1)70a4b4

126a5b4与126a4b5

(2)B

探究一探究二素养形成当堂检测求二项展开式中系数或二项式系数最大的项例1已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.探究一探究二素养形成当堂检测解得5≤k≤6.∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).∴系数最大的项为T6=1

792x5,T7=1

792x6.探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟

求二项展开式中系数的最值的方法(1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k+1项系数探究一探究二素养形成当堂检测(1)求该展开式中所有有理项的个数;(2)求该展开式中系数最大的项.探究一探究二素养形成当堂检测探究一探究二素养形成当堂检测二项式系数和问题例2已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:(1)a0+a1+a2+…+a5;(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;(3)a1+a3+a5.探究一探究二素养形成当堂检测解:(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.(2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.(3)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35.探究一探究二素养形成当堂检测延伸探究

在本例条件下,求下列各式的值:(1)a0+a2+a4;(2)a1+a2+a3+a4+a5;(3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.探究一探究二素养形成当堂检测解:(1)因为a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35.(2)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,所以a0=25=32.又因为a0+a1+a2+…+a5=1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.(3)因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.探究一探究二素养形成当堂检测