高中数学《7.5 正态分布》课件与同步练习

第七章

随机变量及其分布

7.5正态分布1.频率分布直方图月均用水量/t频率组距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5小长方形的面积=纵坐标为:每组所对应的频率复习回顾频率分布直方图如下：月均用水量/t频率组距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,得到频率分布折线图复习回顾总体密度曲线频率组距月均用水量/tab（图中蓝色阴影部分的面积，表示某个区间(a,b)的频率）。复习回顾连续型随机变量x的总体分布情况x概率密度曲线ab概率密度函数新课讲授xy0正态曲线一个随机变量x，受到了众多互不相干的、不分主次的偶然因素的影响.则x服从或近似服从正态的分布则称X

的分布为正态分布.正态分布由参数m、s唯一确定,m、s分别表示总体的平均数与标准差.正态分布记作N（m，s2）.其图象称为正态曲线.1.正态分布定义xy0

ab如果对于任何实数

a<b,随机变量X满足:如果随机变量X服从正态分布，则记作：X~N(m,s2)xy0正态曲线的性质(1)非负性：曲线在轴的上方,与x轴不相交(即x轴是曲线的渐近线).(2)定值性:曲线与x轴围成的面积为1．(3)对称性：正态曲线关于直线

x=μ对称，曲线成“钟形”．(4)单调性：在直线

x=μ的左边,

曲线是上升的;在直线

x=μ的右边,

曲线是下降的.2.正态曲线的性质(6)几何性:参数μ和σ的统计意义:E(x)=μ,曲线的位置由μ决定;D(x)=σ2,曲线的形状由σ决定.(5)最值性:当

x=μ时,取得最大值σ越大，就越小,于是曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;反之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中．

区间取值概率3.3个特殊结论若,则例1.若X～N(5,1),求P(6<X<7)典例剖析第七章

随机变量及其分布

《7.5正态分布》同步练习知识点拨一、正态曲线函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方,可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线(如图所示).知识点拨微练习下列函数是正态分布密度函数的是(

)答案:B知识点拨二、正态分布若随机变量X的概率密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.知识点拨微思考参数μ,σ在正态分布中的实际意义是什么?提示:参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.知识点拨三、正态曲线的特点1.曲线位于x轴上方,与x轴不相交.2.曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.3.曲线在x=μ处达到峰值4.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.5.曲线与x轴之间的面积为1.知识点拨6.当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①.7.当μ一定时,曲线的形状由σ确定,当σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②.知识点拨微练习(多选)已知三个正态密度函数φi(x)=

(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是(

)A.σ1=σ2 B.μ1>μ3C.μ1=μ2 D.σ2<σ3知识点拨解析:根据正态曲线关于直线x=μ对称,且μ越大,图象越靠右,可知μ1<μ2=μ3,故BC错误;因为σ越小,数据越集中,图象越瘦高,所以σ1=σ2<σ3,故AD正确.故选AD.答案:AD知识点拨微练习设X~N(1,22),试求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X≥5).知识点拨解:∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682

7.(2)∵P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1),探究一探究二探究三素养形成当堂检测正态曲线的应用例1一个正态曲线如图所示,试根据该图象写出其正态分布密度函数的解析式,求出随机变量的均值和方差.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

利用正态曲线的特点求参数μ,σ(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此特点结合图象可求出μ.(2)正态曲线在x=μ处达到峰值

,由此特点结合图象可求出σ.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1若一个正态分布密度函数是偶函数,且该函数的最大值为,则该正态分布密度函数的解析式为

.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测正态分布下的概率计算例2设X~N(5,1),求P(6<X<7).解:依题意,μ=5,σ=1,∴P(4≤X≤6)=P(5-1≤X≤5+1)≈0.682

7,P(3≤X≤7)=P(5-2≤X≤5+2)≈0.954

5,∴P(6<X<7)=[P(3≤X≤7)-P(4≤X≤6)]≈0.135

9.反思感悟

在正态分布下解决求某区间的概率问题,可利用正态曲线的对称性,将所求区间的概率转化为已知区间的概率,或利用3σ原则转化为特殊区间的概率.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2若在一次数学考试中,某班学生的分数为X,且X~N(110,202),满分为150分,这个班的学生共有54人,求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数.解:∵X~N(110,202),∴μ=110,σ=20.P(110-20≤X≤110+20)≈0.682

7.∴P(X>130)≈×(1-0.682

7)=0.158

65.∴P(X≥90)≈0.682

7+0.158

65=0.841

35.∴及格的人数为54×0.841

35≈45,130分以上的人数为54×0.158

65≈9.探究一探究二探究三素养形成当堂检测正态分布的应用例3某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X~N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?解:由于圆柱形零件的外径尺寸X~N(4,0.25),则X在区间[4-3×0.5,4+3×0.5],即[2.5,5.5]之外取值的概率约为0.002

7.而5.7∉[2.5,5.5],这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的事件,根据统计中假设检验的基本思想,认为该厂生产的这批产品是不合格的.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

在解决与正态分布有关的实际问题时,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]之间的值.若服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围,则说明出现了意外情况.探究一探究二探究三素养形成当堂检测数形结合思想与转化思想在正态分布中的应用典例在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为

.

解析:由题意知,正态曲线关于直线x=1对称,如图,而区间(0,1)与(1,2)关于直线x=1对称,由正态曲线性质得X在区间(0,1)和(1,2)内取值的概率相等.∴P(1<X<2)=P(0<X<1)=0.4.∴P(0<X<2)=P(0<X<1)+P(1<X<2)=0.4+0.4=0.8.答案:0.8探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛

利用正态曲线的对称性,结合图象,将变量在所求区间内的概率转化为已知区间的概率,进而求出所求概率.探究一探究二探究三素养形成当堂检测跟踪训练已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=(

)A.0.477 B.0.954 C.0.628 D.0.977解析:画出正态曲线如图所示,结合图象知,P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)=(

)A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.某班有48名学生,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为110,标准差为10,则估计成绩在110分到120分的人数是(

)A.8 B.16 C.20 D.32答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.在某项测量中,测量结果ξ~N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(-∞,1)内取值