《5.2 导数的运算》课后分层作业

《5.2导数的运算》课后分层作业第一课时基本初等函数的导数[A级基础巩固]1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.eq\f(1,e)3．曲线y＝sinx在x＝0处的切线的倾斜角是()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,4)4．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝eq\r(5,t)，则质点在t＝4时的速度为()A.eq\f(1,2\r(5,23))B.eq\f(1,10\r(5,23))C.eq\f(2,5)eq\r(5,23)D.eq\f(1,10)eq\r(5,23)5．直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln26．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．7．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝lnx相切的直线方程是________．8．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．9．求下列函数的导数．(1)y＝2；(2)y＝eq\r(4,x3)；(3)y＝10x；(4)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[B级综合运用]11．(多选)在曲线f(x)＝eq\f(1,x)上切线的倾斜角为eq\f(3,4)π的点的坐标为()A．(1,1)B．(－1，－1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()A.eq\f(1,n)B.eq\f(1,n＋1)C.eq\f(n,n＋1)D．113．若曲线y＝eq\r(x)在点P(a，eq\r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．14．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．[C级拓展探究]15．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．答案解析[A级基础巩固]1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定解析：选B∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.eq\f(1,e)解析：选A由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1.3．曲线y＝sinx在x＝0处的切线的倾斜角是()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,4)解析：选D由题意知，y′＝cosx，∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝0))＝cos0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tanα＝1，∵α∈[0，π)，∴α＝eq\f(π,4).4．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝eq\r(5,t)，则质点在t＝4时的速度为()A.eq\f(1,2\r(5,23))B.eq\f(1,10\r(5,23))C.eq\f(2,5)eq\r(5,23)D.eq\f(1,10)eq\r(5,23)解析：选B∵s′＝eq\f(1,5)t.∴当t＝4时，s′＝eq\f(1,5)×eq\f(1,\r(5,44))＝eq\f(1,10\r(5,23)).5．直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2解析：选C∵y＝lnx的导数y′＝eq\f(1,x)，∴令eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)，得x＝2，∴切点为(2，ln2)．代入直线y＝eq\f(1,2)x＋b，得b＝ln2－1.6．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．解析：∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝e＝eq\f(1,e).∴切线方程为y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.答案：eq\f(1,e)x－ey＝07．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝lnx相切的直线方程是________．解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，又∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，∴eq\f(1,x)＝2，解得x＝eq\f(1,2).∴切点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－ln2)).故切线方程为y＋ln2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))).即2x－y－1－ln2＝0.答案：2x－y－1－ln2＝08．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．答案：(0，－a2)9．求下列函数的导数．(1)y＝2；(2)y＝eq\r(4,x3)；(3)y＝10x；(4)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.解：(1)∵y′＝c′＝0，∴y′＝2′＝0.(2)∵y′＝(xα)′＝n·xα－1，∴y′＝(eq\r(4,x3))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))′＝eq\f(3,4)x＝eq\f(3,4)x＝eq\f(3,4\r(4,x)).(3)∵y′＝(ax)′＝ax·lna，∴y′＝(10x)′＝10x·ln10.(4)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，所以切点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，与PQ平行的切线方程为：y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.[B级综合运用]11．(多选)在曲线f(x)＝eq\f(1,x)上切线的倾斜角为eq\f(3,4)π的点的坐标为()A．(1,1)B．(－1，－1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))解析：选AB因为f(x)＝eq\f(1,x)，所以f′(x)＝－eq\f(1,x2)，因为切线的倾斜角为eq\f(3,4)π，所以切线斜率为－1，即f′(x)＝－eq\f(1,x2)＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，f(1)＝1；当x＝－1时，f(1)＝－1，则点的坐标为(1,1)或(－1，－1)．12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()A.eq\f(1,n)B.eq\f(1,n＋1)C.eq\f(n,n＋1)D．1解析：选B对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝eq\f(n,n＋1)，∴x1·x2·…·xn＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)×eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,n＋1)，故选B.13．若曲线y＝eq\r(x)在点P(a，eq\r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．解析：∵y′＝eq\f(1,2\r(x))，∴切线方程为y－eq\r(a)＝eq\f(1,2\r(a))(x－a)，令x＝0，得y＝eq\f(\r(a),2)，令y＝0，得x＝－a，由题意知eq\f(1,2)·eq\f(\r(a),2)·a＝2，∴a＝4.答案：414．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解：设切点P的坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)．将点B(3,5)代入上式，得5－xeq\o\al(2,0)＝2x0(3－x0)，即xeq\o\al(2,0)－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，∴x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.[C级拓展探究]15．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)))′＝－eq\f(a2,x2).∴过点P的切线方程为y－y0＝－eq\f(a2,x\o\al(2,0))(x－x0)．令x＝0，得y＝eq\f(2a2,x0)；令y＝0，得x＝2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2a2,x0)))·|2x0|＝2a2.即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.《5.2导数的运算》课后分层作业第二课时导数的四则运算法则[A级基础巩固]1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．02．函数y＝eq\f(x2,x＋3)的导数是()A.eq\f(x2＋6x,x＋32)B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C.eq\f(－2x,x＋32)D.eq\f(3x2＋6x,x＋32)3．曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为()A．y＝2x＋2B．y＝2x－2C．y＝x－1D．y＝x＋14．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．35．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为()A．1B．±1C．－1D．－26．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．7．已知曲线y1＝2－eq\f(1,x)与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝_____.8．已知函数f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))cosx＋sinx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值为________．9．求下列函数的导数：(1)y＝eq\r(x)－lnx；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝eq\f(x2,sinx)；(4)y＝eq\f(x＋3,x2＋3).10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．[B级综合运用]11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝()A．e－1B．－1C．－e－1D．－e12．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)13．曲线y＝eq\f(x,2x－1)在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．14．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程[C级拓展探究]15．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；(2)证明：fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－eq\f(1,2)＜eq\f(2n,3n＋1).答案解析[A级基础巩固]1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0解析：选B∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.2．函数y＝eq\f(x2,x＋3)的导数是()A.eq\f(x2＋6x,x＋32)B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C.eq\f(－2x,x＋32)D.eq\f(3x2＋6x,x＋32)解析：选Ay′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x＋3)))′＝eq\f(x2′x＋3－x2x＋3′,x＋32)＝eq\f(2xx＋3－x2,x＋32)＝eq\f(x2＋6x,x＋32).3．曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为()A．y＝2x＋2B．y＝2x－2C．y＝x－1D．y＝x＋1解析：选C∵f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.4．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3解析：选Dy′＝a－eq\f(1,x＋1)，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为()A．1B．±1C．－1D．－2解析：选A设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝axeq\o\al(3,0)＋3，所以3x0＋1＝axeq\o\al(3,0)＋3①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3axeq\o\al(2,0)＝3，axeq\o\al(2,0)＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝07．已知曲线y1＝2－eq\f(1,x)与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.解析：由题知y′1＝eq\f(1,x2)，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为eq\f(1,x\o\al(2,0))，3xeq\o\al(2,0)－2x0＋2，所以eq\f(3x\o\al(2,0)－2x0＋2,x\o\al(2,0))＝3，所以x0＝1.答案：18．已知函数f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))cosx＋sinx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值为________．解析：∵f′(x)＝－f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))sinx＋cosx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)，得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)－1.∴f(x)＝(eq\r(2)－1)cosx＋sinx.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1.答案：19．求下列函数的导数：(1)y＝eq\r(x)－lnx；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝eq\f(x2,sinx)；(4)y＝eq\f(x＋3,x2＋3).解：(1)y′＝(eq\r(x)－lnx)′＝(eq\r(x))′－(lnx)′＝eq\f(1,2\r(x))－eq\f(1,x).(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.(3)y′＝eq\f(x2′·sinx－x2·sinx′,sin2x)＝eq\f(2xsinx－x2cosx,sin2x).(4)y′＝eq\f(1·x2＋3－x＋3·2x,x2＋32)＝eq\f(－x2－6x＋3,x2＋32).10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝eq\f(5,2)，c＝－eq\f(9,2).∴函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\f(5,2)x4－eq\f(9,2)x2＋1.[B级综合运用]11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝()A．e－1B．－1C．－e－1D．－e解析：选C∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，∴f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，解得f′(e)＝－eq\f(1,e)，故选C.12．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：选C∵f(x)＝x2－2x－4lnx，∴f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＞0，整理得eq\f(x＋1x－2,x)＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴x＞2.13．曲线y＝eq\f(x,2x－1)在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．解析：y′＝－eq\f(1,2x－12)，则y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝1))＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2eq\r(2)，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2eq\r(2)－1.答案：2eq\r(2)－114．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.(2)∵切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1.由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.[C级拓展探究]15．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；(2)证明：fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－eq\f(1,2)＜eq\f(2n,3n＋1).解：(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝eq\f(1－2n,1－2)－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1.(2)证明：因为f(0)＝－1＜0，x≥0，n≥2.fneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(\f(2,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n)),1－\f(2,3))－1＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≥1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＞0，所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数，所以fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))内单调递增，因此fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))内有且仅有一个零点an.由于fn(x)＝eq\f(x－xn＋1,1－x)－1，所以0＝fn(an)＝eq\f(an－a\o\al(n＋1,n),1－an)－1，由此可得an＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)aeq\o\al(n＋1,n)＞eq\f(1,2)，故eq\f(1,2)＜an＜eq\f(2,3).所以0＜an－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)aeq\o\al(n＋1,n)＜eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＋1＝eq\f(2n,3n＋1).《5.2导数的运算》课后分层作业第三课时简单复合函数的导数[A级基础巩固]1．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))5的导数为()A．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4B．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))C．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x2)))D．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－eq\f(x,2x＋5)B．ln(2x＋5)＋eq\f(2x,2x＋5)C．2xln(2x＋5)D.eq\f(x,2x＋5)3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－24．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．15．已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))6．函数y＝sin2xcos3x的导数是________．7．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率为________．8．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.9．求函数y＝asineq\f(x,3)＋bcos22x(a，b是实常数)的导数．10．曲线y＝e2xcos3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq\r(5)，求直线l的方程．[B级综合运用]11．函数f(x)＝eq\f(e2x,x)的导函数是()A．f′(x)＝2e2xB．f′(x)＝eq\f(2e2x,x)C．f′(x)＝eq\f(2x－1e2x,x2)D．f′(x)＝eq\f(x－1e2x,x2)12．(多选)下列函数是复合函数的是()A．y＝－x3－eq\f(1,x)＋1B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))C．y＝eq\f(1,lnx)D．y＝(2x＋3)413．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．14．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t)．(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的解析式．[C级拓展探究]15．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离．答案解析[A级基础巩固]1．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))5的导数为()A．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4B．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))C．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x2)))D．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))解析：选C函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))5是函数y＝u5与u＝x＋eq\f(1,x)的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x2))).2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－eq\f(x,2x＋5)B．ln(2x＋5)＋eq\f(2x,2x＋5)C．2xln(2x＋5)D.eq\f(x,2x＋5)解析：选By′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x·eq\f(1,2x＋5)·(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋eq\f(2x,2x＋5).3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2解析：选B设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0＋a)＝1，,x0＋1＝lnx0＋a，))由此得x0＝－1，a＝2.4．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．1解析：选Ay′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0))＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋2，,y＝x))得x＝y＝eq\f(2,3)，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，则围成的三角形的面积为eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×1＝eq\f(1,3).5．已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))解析：选Dy′＝eq\f(－4ex,ex＋12)＝eq\f(－4ex,ex2＋2ex＋1)＝eq\f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2).∵ex＋eq\f(1,ex)≥2，∴ex＋eq\f(1,ex)＋2≥4，∴y′∈[－1,0)，即tanα∈[－1,0)，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).6．函数y＝sin2xcos3x的导数是________．解析：∵y＝sin2xcos3x，∴y′＝(sin2x)′cos3x＋sin2x(cos3x)′＝2cos2xcos3x－3sin2xsin3x.答案：2cos2xcos3x－3sin2xsin3x7．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率为________．解析：yx′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为2.答案：28．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.解析：令u＝2x＋a，则yx′＝yu′·ux′＝(u2)′(2x＋a)′＝4(2x＋a)，则f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，∴a＝1.答案：19．求函数y＝asineq\f(x,3)＋bcos22x(a，b是实常数)的导数．解：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(asin\f(x,3)))′＝acoseq\f(x,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))′＝eq\f(a,3)coseq\f(x,3)，又∵(cos22x)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)cos4x))′＝eq\f(1,2)(－sin4x)×4＝－2sin4x，∴y＝asineq\f(x,3)＋bcos22x的导数为y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(asin\f(x,3)))′＋b(cos22x)′＝eq\f(a,3)coseq\f(x,3)－2bsin4x.10．曲线y＝e2xcos3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq\r(5)，求直线l的方程．解：由y′＝(e2xcos3x)′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x)＝e2x(2cos3x－3sin3x)，得y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0))＝2.则切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，两平行线间的距离d＝eq\f(|c－1|,\r(5))＝eq\r(5)，解得c＝6或c＝－4.故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.[B级综合运用]11．函数f(x)＝eq\f(e2x,x)的导函数是()A．f′(x)＝2e2xB．f′(x)＝eq\f(2e2x,x)C．f′(x)＝eq\f(2x－1e2x,x2)D．f′(x)＝eq\f(x－1e2x,x2)解析：选C对于函数f(x)＝eq\f(e2x,x)，对其求导可得：f′(x)＝eq\f(e2x′·x－e2x·x′,x2)＝eq\f(2x·e2x－e2x,x2)＝eq\f(2x－1e2x,x2).故选C.12．(多选)下列函数是复合函数的是()A．y＝－x3－eq\f(1,x)＋1B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))C．y＝eq\f(1,lnx)D．y＝(2x＋3)4解析：选BCDA中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋eq\f(π,4)，y＝cosu的复合函数，C中的函数可看作函数u＝lnx，y＝eq\f(1,u)的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选B、C、D.13．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．解析：设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，即所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案：2x－y＝014．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t)．(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的解析式．解：(1)∵y＝e－x，∴yx′＝(e－x)′＝－e－x，当x＝t时，yx′＝－e－t.故切线方程为y－e－t＝－e－t(x－t)，即x＋ety－(t＋1)＝0.(2)令y＝0，得x＝t＋1.令x＝0，得y＝e－t(t＋1)．∴S(t)＝eq\f(1,2)(t＋1)·e－t(t＋1)＝eq\f(1,2)(t＋1)2e－t(t≥0)．[C级拓展探究]15．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离．解：作出直线l：2x－y＋3＝0和曲线y＝ln(2x－1)的图象(图略)，可知它们无公共点，所以平移直线l，当l与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，y′＝eq\f(1,2x－1)(2x－1)′＝eq\f(2,2x－1).设切点为P(x0，y0)，所以eq\f(2,2x0－1)＝2，所以x0＝1，所以y0＝ln(2×1－1)＝0，P(1,0)．所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离为P(1,0)到直线l：2x－y＋3＝0的距离，最短距离d＝eq\f(|2×1－0＋3|,\r(22＋12))＝eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5).《5.2导数的运算》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．对于函数，若，则实数等于（）A． B． C． D．2．已知，则（）A． B． C． D．3．下列求导运算正确的是（）A． B．C． D．4．已知函数，其中为函数的导数，则（）A． B． C． D．5．已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（）A． B． C． D．6．函数，满足，且，则（）A．1 B．2 C．3 D．47．等比数列中，，，函数，则（）A．26 B．29 C．212 D．2158．设函数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题9．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．对任意，都有D．函数的最小值为-310．（多选）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（）A． B． C． D．11．已知函数，其导函数为，则（）A． B． C． D．12．以下函数求导正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则三、填空题13．在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程：，，所以，，由上述过程，二元函数，则______.14．给出下列四个命题：①命题“，”的否定是“，”；②函数只有两个零点，分别是一个正数和一个负数；③对于任意实数，