《4.4 数学归纳法》同步检测试卷与答案解析

《4.4数学归纳法》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝()A．a1＋(k－1)dB．C．ka1＋dD．(k＋1)a1＋d2．已知f(n)＝，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋3．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于()A．3k－1B．3k＋1C．8kD．9k4．证明等式12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)时，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＝，等式成立；②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝，则当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立，故原式成立．那么上述证明()A．过程全都正确B．当n＝1时验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为()A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a，b，c6.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=47.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+12n-1<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项8．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（）A． B． C． D．二、多选题9.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则下列说法正确的是()A.该命题对于n=6时命题成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以上答案都不对10．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（）A． B．是等比数列C． D．11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．12．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（）A． B． C． D．三、填空题13．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．14．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为__________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________________．16．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.16.用数学归纳法证明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1四、解答题17．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．18．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)计算a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．19．已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.证明an＜an＋1＜2(n∈N*)．20．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．20．已知f(n)＝1＋＋＋＋＋，－，n∈N*.（1）当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；（2）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．21．已知数列中，是的前项和且是与的等差中项，其中是不为的常数.（1）求.（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.22．观察下列等式：．．．．．．按照以上式子的规律：（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．答案解析一、单选题1．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝()A．a1＋(k－1)dB．C．ka1＋dD．(k＋1)a1＋d【答案】C【解析】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.2．已知f(n)＝，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋【解析】选D由f(n)可知，f(n)中共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝＋＋3．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于()A．3k－1B．3k＋1C．8kD．9k【答案】C【解析】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.4．证明等式12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)时，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＝，等式成立；②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝，则当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立，故原式成立．那么上述证明()A．过程全都正确B．当n＝1时验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【答案】A【解析】通过对上述证明的分析验证知全都正确，故选A.5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为()A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a，b，c【答案】A【解析】令n＝1,2,3，得即解得a＝，b＝，c＝.6.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4【答案】C【解析】由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.7.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+12n-1<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项【答案】D【解析】当n=k时,不等式左边的最后一项为12k-1,而当n=k+1时,最后一项为12k+1-1=8．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知式子可知所猜测分式的分母为，分子第个正奇数，即，.故选：C.二、多选题9.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则下列说法正确的是()A.该命题对于n=6时命题成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以上答案都不对【答案】AB【解析】由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时,命题成立,故对所有的正偶数都成立.故选AB.10．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（）A． B．是等比数列C． D．【答案】BD【解析】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，，由题意可得，解得，，，（非零常数），则数列是等比数列，选项正确；，，，选项错误；，，选项错误；，，所以，，选项正确.故选：BD11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足，所以，，，类似的有，，累加得，由题知，故选项A正确，对于B选项，因为，，，类似的有，累加得，故选项B正确，对于C选项，因为，，，类似的有，累加得，故选项C错误，对于D选项，可知扇形面积，故，故选项D正确，故选：ABD.12．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】取，则，不成立；取，则，不成立；取，则，成立；取，则，成立；下证：当时，成立.当，则，成立；设当时，有成立，则当时，有，令，则，因为，故，因为，所以，所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选：CD.三、填空题13．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．【答案】2k＋1【解析】∵n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1，∴需证n＝2k＋1时，命题成立．14．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为__________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________________．【答案】1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4【解析】当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.16．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.【答案】k＋1【解析】f(k)＝1＋，f(k＋1)＝1＋，∴f(k＋1)－f(k)＝＝k＋1，∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．16.用数学归纳法证明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1【答案】1-1【解析】当n=1时,应当验证的第一个式子是1-12=12,从“n=k”到四、解答题17．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．【解析】当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2×＝1，左边＝右边，等式成立．假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时等式仍然成立．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．18．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)计算a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．【解析】(1)a1＝1，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.(2)由(1)的计算猜想an＝.下面用数学归纳法进行证明．①当n＝1时，a1＝1，猜想成立．②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝，那么ak＋1＝，即当n＝k＋1时，猜想也成立．根据①②可知，对任意n∈N*都有an＝.19．已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.证明an＜an＋1＜2(n∈N*)．【解析】①当n＝1时，a1＝1，a2＝a1(4－a1)＝，∴a1＜a2＜2，命题正确．②假设n＝k时，有ak＜ak＋1＜2，则n＝k＋1时，ak＋1－ak＋2＝ak(4－ak)－ak＋1(4－ak＋1)＝2(ak－ak＋1)－(ak－ak＋1)·(ak＋ak＋1)＝(ak－ak＋1)(4－ak－ak＋1)．而ak－ak＋1＜0,4－ak－ak＋1＞0，∴ak＋1－ak＋2＜0.又ak＋2＝ak＋1(4－ak＋1)＝[4－(ak＋1－2)2]＜2，∴n＝k＋1时命题正确．由①②知，对一切n∈N*都有ak＜ak＋1＜2.20．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．【解析】n＝2时，f(2)＝2＝1×2，n＝3时，f(3)＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．下面用数学归纳法给出证明：①当n＝2时，f(2)＝2＝2×(2－1)，猜想成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝