《第七章一元二次不等式的解法》章节训练习题

《第七章一元二次不等式的解法》章节训练习题第1讲不等关系与不等式1．已知a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式一定成立的是()A．a2<b2 B．ab2>a2bC.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D.eq\f(b,a)<eq\f(a,b)解析：选C.若a<b<0，则a2>b2，故A错；若0<a<b，则eq\f(b,a)>eq\f(a,b)，故D错；若ab<0，即a<0，b>0，则a2b>ab2，故B错；故C正确．所以选C.2．已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是()A．a2<－ab B．|a|<|b|C.eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)解析：选C.法一：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)，所以A，B，D不一定成立．因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)一定成立，故选C.法二：因为a>0>b，所以eq\f(1,a)>0>eq\f(1,b)，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)一定成立，故选C.3．(一题多解)若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是()A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<nC．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m解析：选D.法一(取特殊值法)：令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m＋n<0⇒m＜－n⇒n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m成立．4．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选C.由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b).由a>0>b得eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的条件有3个．5．下列四个命题中，正确命题的个数为()①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，则eq\f(c,a)>eq\f(c,b).A．3 B．2C．1 D．0解析：选C.易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a>b>0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，当c>0时，eq\f(c,a)<eq\f(c,b)，故④错误．所以正确的命题只有1个．6．若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，因为a1<a2，b1<b2，所以(a1－a2)(b1－b2)>0，即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b17．设a>b，有下列不等式①eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，则一定成立的有________．(填正确的序号)解析：对于①，eq\f(1,c2)>0，故①成立；对于②，a>0，b<0时不成立；对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；对于④，|c|≥0，故④成立．答案：①④8．若角α，β满足－eq\f(π,2)<α<β<π，则α－β的取值范围是______．解析：因为－eq\f(π,2)<α<π，－eq\f(π,2)<β<π，所以－π<－β<eq\f(π,2)，所以－eq\f(3π,2)<α－β<eq\f(3π,2).又因为α<β，所以α－β<0，从而－eq\f(3π,2)<α－β<0.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，0))[综合题组练]1．若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．[9，18] B．(15，30)C．[9，30] D．(9，30)解析：选D.因为eq\f(a,2)≤b≤2a，所以eq\f(3a,2)≤a＋b≤3a，即eq\f(3a,2)≤c≤3a，因为6<a<10，所以9<c<30.故选D.2．若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是()A．a＋eq\f(1,b)<eq\f(b,2a)<log2(a＋b)B.eq\f(b,2a)<log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)<log2(a＋b)<eq\f(b,2a)D．log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b)<eq\f(b,2a)解析：选B.根据题意，令a＝2，b＝eq\f(1,2)进行验证，易知a＋eq\f(1,b)＝4，eq\f(b,2a)＝eq\f(1,8)，log2(a＋b)＝log2eq\f(5,2)＞1，因此a＋eq\f(1,b)＞log2(a＋b)＞eq\f(b,2a).3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若eq\f(c,a＋b)<eq\f(a,b＋c)<eq\f(b,c＋a)，则()A．c<a<b B．b<c<aC．a<b<c D．c<b<a解析：选A.由eq\f(c,a＋b)<eq\f(a,b＋c)<eq\f(b,c＋a)，可得eq\f(c,a＋b)＋1<eq\f(a,b＋c)＋1<eq\f(b,c＋a)＋1，即eq\f(a＋b＋c,a＋b)<eq\f(a＋b＋c,b＋c)<eq\f(a＋b＋c,c＋a)，又a，b，c∈(0，＋∞)，所以a＋b>b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c可得a>c；由b＋c>c＋a可得b>a，于是有c<a<b.故选A.4．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．解析：因为ab2>a>ab，所以a≠0，当a>0时，b2>1>b，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2>1，,b<1，))解得b<－1；当a<0时，b2<1<b，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2<1，,b>1))无解．综上可得b<－1.答案：(－∞，－1)第2讲一元二次不等式的解法[基础题组练]1．不等式(x－2)(2x－3)<0的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))∪(2，＋∞) B．RC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) D．∅解析：选C.因为不等式(x－2)(2x－3)<0，解得eq\f(3,2)<x<2，所以不等式的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).2．不等式eq\f(1－x,2＋x)≥1的解集为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))C．(－∞，－2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))D．(－∞，－2]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))解析：选B.eq\f(1－x,2＋x)≥1⇔eq\f(1－x,2＋x)－1≥0⇔eq\f(1－x－2－x,2＋x)≥0⇔eq\f(－2x－1,2＋x)≥0⇔eq\f(2x＋1,x＋2)≤0⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x＋1）（x＋2）≤0,x＋2≠0))⇔－2<x≤－eq\f(1,2).故选B.3．已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<2}，则不等式bx2－5x＋a>0的解集是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)<x<\f(1,2))))) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,3)或x>\f(1,2))))) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x>\f(1,3)))))解析：选C.由题意得方程ax2－5x＋b＝0的两根分别为－3，2，于是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＋2＝－\f(－5,a)，,－3×2＝\f(b,a)，))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝30.))则不等式bx2－5x＋a>0，即为30x2－5x－5>0，即(3x＋1)(2x－1)>0，⇒x<－eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2).故选C.4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是()A．[－4，1] B．[－4，3]C．[1，3] D．[－1，3]解析：选B.原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.5．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是()A．13 B．18C．21 D．26解析：选C.设f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）≤0，,f（1）>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22－6×2＋a≤0，,12－6×1＋a>0，))解得5<a≤8，又a∈Z，故a＝6，7，8.则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2.答案：{x|0<x<2}7．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b为非负实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是________．解析：因为定义a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b为非负实数)，1⊙k2<3，所以eq\r(k2)＋1＋k2<3，化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1<k<1.答案：(－1，1)8．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是________．解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－eq\f(23,5)，故a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))9．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．解：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）>0，,f（1）>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－7x＋12>0，,x2－5x＋6>0，))解得x<2或x>4.则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．10．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－3，2)时，f(x)>0.(1)求f(x)在[0，1]内的值域；(2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－3，2)时，f(x)>0.所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＋2＝\f(8－b,a)，,－3×2＝\f(－a－ab,a)，))所以a＝－3，b＝5.所以f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(75,4).因为函数图象关于x＝－eq\f(1,2)对称且抛物线开口向下，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max＝f(0)＝18，f(x)min＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c≤0可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝b2－4ac≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－eq\f(25,12)，所以实数c的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(25,12))).[综合题组练]1．(应用型)若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于()A.eq\f(5,2) B.eq\f(7,2)C.eq\f(15,4) D.eq\f(15,2)解析：选A.由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因为a>0，所以不等式的解集为(－2a，4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝eq\f(5,2).2．(应用型)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是()A．(－1，0) B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能确定解析：选C.由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即eq\f(a,2)＝1，解得a＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.3．在R上定义运算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，若不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1a－2,a＋1x))≥1对x∈R恒成立，则实数a的最大值为________．解析：原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a－2)(a＋1)对x∈R恒成立，因为x2－x－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(5,4)≥－eq\f(5,4)，所以(a－2)(a＋1)≤－eq\f(5,4)，解得－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)，所以amax＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)4．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得eq\f(3,2)<[x]<eq\f(15,2)，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)．答案：[2，8)5．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<eq\f(1,a)，比较f(x)与m的大小．解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，即a(x＋1)(x－2)>0.当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，因为a>0，且0<x<m<n<eq\f(1,a)，所以x－m<0，1－an＋ax>0.所以f(x)－m<0，即f(x)<m.第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题[基础题组练]1．设变量x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥0，,2x－y－2≤0，))则目标函数z＝2x＋y的最小值为()A.eq\f(3,2) B．2C．4 D．6解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，易知当直线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))时，zmin＝2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，故选A.2．已知点A(2，1)，O是坐标原点，P(x，y)的坐标满足：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0,x－2y＋3≥0,y≥0))，设z＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，则z的最大值是()A．－6B．1C．2D．4解析：选D.法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．z＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝2x＋y，作出直线2x＋y＝0并平移，可知当直线过点C时，z取得最大值，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0,x－2y＋3＝0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))，即C(1，2)，则z的最大值是4，故选D.法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域．z＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝2x＋y，易知目标函数z＝2x＋y的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(－3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(－3，0)代入z＝2x＋y，对应z的值为0，4，－6，故z的最大值是4，故选D.3．不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y≤3，,y≥x＋1))表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为()A．(0，3] B．[－1，1]C．(－∞，3] D．[3，＋∞)解析：选D.直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1，2)时，k最小，此时kCM＝eq\f(2－（－1）,1－0)＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故选D.4．若A为不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面区域，则a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为()A．9eq\r(13) B．3eq\r(13)C.eq\f(7,2) D.eq\f(7,4)解析：选D.如图，不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面区域是△AOB，由动直线x＋y＝a(即y＝－x＋a)在y轴上的截距从－2变化到1，知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形，△OEC是直角边为1的等腰直角三角形，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y－x＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(3,2)，))所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，所以区域的面积S阴影＝S△ACD－S△OEC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(7,4)，故选D.5．实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥a，,y≥x，,x＋y≤2))(a<1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是()A.eq\f(2,11) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝eq\f(1,4).6．已知实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋2y＋2≥0，,x≤1，))则z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2y)的最大值是________．解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当u＝x－2y经过点A(1，3)时取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此时z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2y)取得最大值，即zmax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－5)＝32.法二：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2y)的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2y)，即可求得最大值．联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－y＋2＝0，))解得A(1，3)，代入可得z＝32；联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋2y＋2＝0，))解得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，代入可得z＝eq\f(1,16)；联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,x＋2y＋2＝0，))解得C(－2，0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1，3)处，z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2y)取得最大值32.答案：327．若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,y≤1，,x>－1，))则(x－2)2＋y2的最小值为________．解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1，,x－y＋1＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))即C(0，1)，此时zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5.答案：58．已知实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))则目标函数z＝eq\f(y＋2,x－5)的最大值为________．解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A(0，1)，B(1，0)，C(3，4)．目标函数z＝eq\f(y＋2,x－5)表示过点Q(5，－2)与点(x，y)的直线的斜率，且点(x，y)在△ABC平面区域内(含边界)．显然过B，Q两点的直线的斜率z最大，最大值为eq\f(0＋2,1－5)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)9.如图所示，已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0.))(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，解得－18<a<14.故a的取值范围是(－18，14)．10．已知x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＞0,x＋y＋1＜0,3x＋y＋9＞0))，记点(x，y)对应的平面区域为P.(1)设z＝eq\f(y＋1,x＋3)，求z的取值范围；(2)过点(－5，1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域P，当反射光线所在直线l经过区域P内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l的方程．解：平面区域如图所示，易得A，B，C三点坐标分别为A(－4，3)，B(－3，0)，C(－1，0)．(1)由z＝eq\f(y＋1,x＋3)知z的值即是定点P(－3，－1)与区域内的点Q(x，y)连接的直线的斜率，当直线过A(－4，3)时，z＝－4；当直线过C(－1，0)时，z＝eq\f(1,2).故z的取值范围是(－∞，－4)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)过点(－5，1)的光线被x轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l的方程是eq\f(y－1,（－1）－1)＝eq\f(（x＋3）,（－5）＋3)，即x－y＋4＝0.[综合题组练]1．(应用型)若存在实数x，y，m使不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x－3y＋2≤0，,x＋y－6≤0))与不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是()A．m≥0 B．m≤3C．m≥1 D．m≥3解析：选B.作出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x－3y＋2≤0，,x＋y－6≤0))表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A(4，2)，B(1，1)，C(3，3)．设z＝x－2y，将直线l：z＝x－2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得zmax＝4－2×2＝0，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得zmin＝3－2×3＝－3，因此z＝x－2y的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在实数m，使x－2y≤－m成立，所以－m大于或等于z的最小值，即－3≤－m，解得m≤3，故选B.2．(创新型)已知P(x，y)为不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≥0，,x－y－1≤0，,x＋y－1≥0))所确定的平面区域上的动点，若点M(2，1)，O(0，0)，则z＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的最大值为()A．1 B．2C．10 D．11解析：选D.画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0，,x－y－1＝0，))解得A(4，3)．由点M(2，1)，O(0，0)，得z＝eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝2x＋y，则y＝－2x＋z，显然直线y＝－2x＋z过A(4，3)时，z最大，此时z＝2×4＋3＝11.故选D.3．(应用型)设关于x，y的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1＞0，,x＋m＜0，,y－m＞0))表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))解析：选C.作出不等式组对应的平面区域如图，交点C的坐标为(－m，m)，直线x－2y＝2的斜率为eq\f(1,2)，斜截式方程为y＝eq\f(1,2)x－1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则点C(－m，m)必在直线x－2y＝2的下方，即m＜－eq\f(1,2)m－1，解得m＜－eq\f(2,3)，所以m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))，故选C.4．(应用型)实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x－y－5≤0，,x＋y－4≥0，))则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝eq\f(|x＋2y－4|,\r(5))·eq\r(5)，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的eq\r(5)倍．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x－y－5＝0，))得点B坐标为(7，9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.答案：215．已知点A(5eq\r(3)，5)，直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A.若可行域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤my＋n,x－\r(3)y≥0,y≥0))的外接圆的直径为20，求n的值．解：注意到直线l′：x－eq\r(3)y＝0也经过点A，所以点A为直线l与l′的交点．画出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤my＋n,x－\r(3)y≥0,y≥0))表示的可行域，如图中阴影部分所示．设直线l的倾斜角为α，则∠ABO＝π－α.在△OAB中，OA＝eq\r(（5\r(3)）2＋52)＝10.根据正弦定理，得eq\f(10,sin（π－α）)＝20，解得α＝eq\f(5π,6)或eq\f(π,6).当α＝eq\f(5π,6)时，eq\f(1,m)＝taneq\f(5π,6)，得m＝－eq\r(3).又直线l过点A(5eq\r(3)，5)，所以5eq\r(3)＝－eq\r(3)×5＋n，解得n＝10eq\r(3).当α＝eq\f(π,6)时，同理可得m＝eq\r(3)，n＝0(舍去)．综上，n＝10eq\r(3).6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知得，x，y满足的数学关系式为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≤200，,8x＋5y≤360，,3x＋10y≤300，,x≥0，,y≥0.))设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3)，这是斜率为－eq\f(2,3)，随z变化的一族平行直线.eq\f(z,3)为直线在y轴上的截距，当eq\f(z,3)取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距eq\f(z,3)最大，即z最大．解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋5y＝200，,3x＋10y＝300，))得点M的坐标为(20，24)．所以zmax＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．第4讲基本不等式[基础题组练]1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析：选D.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，因为ab>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.2．下列不等式一定成立的是()A．lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))>lgx(x>0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)解析：选C.对于选项A，当x>0时，x2＋eq\f(1,4)－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)≥0，所以lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))≥lgx；对于选项B，当sinx<0时显然不成立；对于选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对于选项D，因为x2＋1≥1，所以0<eq\f(1,x2＋1)≤1.故选C.3．已知f(x)＝eq\f(x2－2x＋1,x)，则f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上的最小值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,3)C．－1 D．0解析：选D.f(x)＝eq\f(x2－2x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)－2≥2－2＝0，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号．又1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上的最小值是0.4．若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4解析：选C.因为eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，所以a＞0，b＞0，由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2eq\r(\f(2,ab))，所以ab≥2eq\r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2eq\r(2).5．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．2eq\r(3)解析：选C.因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以lg(2x·8y)＝lg2，所以2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.因为x>0，y>0，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)＝(x＋3y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,3y)))＝2＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,3y)≥2＋2eq\r(\f(3y,x)·\f(x,3y))＝4，当且仅当x＝3y＝eq\f(1,2)时取等号．所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值为4.故选C.6．若正实数x，y满足x＋y＝2，且eq\f(1,xy)≥M恒成立，则M的最大值为________．解析：因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤eq\f(（x＋y）2,4)＝eq\f(22,4)＝1，所以eq\f(1,xy)≥1；又eq\f(1,xy)≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.答案：17．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值为________．解析：由a＋2b＝3得eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b＝1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(2,3)b))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(4,3)＋eq\f(a,3b)＋eq\f(4b,3a)≥eq\f(4,3)＋2eq\r(\f(a,3b)·\f(4b,3a))＝eq\f(8,3).当且仅当a＝2b＝eq\f(3,2)时取等号．答案：eq\f(8,3)8．已知正数x，y满足x＋2eq\r(2xy)≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x＋2eq\r(2xy)≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即eq\f(x＋2\r(2xy),x＋y)≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即eq\f(x＋2\r(2xy),x＋y)的最大值为2.又λ≥eq\f(x＋2\r(2xy),x＋y)恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：29．(1)当x<eq\f(3,2)时，求函数y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)设0<x<2，求函数y＝eq\r(x（4－2x）)的最大值．解：(1)y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq\f(3,2).当x<eq\f(3,2)时，有3－2x>0，所以eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，当且仅当eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝－eq\f(1,2)时取等号．于是y≤－4＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，故函数的最大值为－eq\f(5,2).(2)因为0<x<2，所以2－x>0，所以y＝eq\r(x（4－2x）)＝eq\r(2)·eq\r(x（2－x）)≤eq\r(2)·eq\f(x＋2－x,2)＝eq\r(2)，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，所以当x＝1时，函数y＝eq\r(x（4－2x）)的最大值为eq\r(2).10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，又x>0，y>0，则1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy)).得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，则x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))·(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.[综合题组练]1．(应用型)已知a＞0，b＞0，若不等式eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋3b)恒成立，则m的最大值为()A．9 B．12C．18 D．24解析：选B.由eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋3b)，得m≤(a＋3b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(9b,a)＋eq\f(a,b)＋6.又eq\f(9b,a)＋eq\f(a,b)＋6≥2eq\r(9)＋6＝12，当且仅当eq\f(9b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝3b时等号成立，所以m≤12，所以m的最大值为12.2．(应用型)若正数a，b满足a＋b＝2，则eq\f(1,a＋1)＋eq\f(4,b＋1)的最小值是()A．1 B.eq\f(9,4)C．9 D．16解析：选B.eq\f(1,a＋1)＋eq\f