高中数学《第四章 数列》章节复习、单元检测试卷易错题

高中数学选择性必修二《第四章数列》章节复习一．知识系统整合1.知识网络2.知识梳理等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).递推公式an＋1－an＝d＝q中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时A叫做a与b的等差中项，并且A＝如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1前n项和公式Sn＝＝na1＋dq≠1时，Sn＝＝，q＝1时，Sn＝na1性质am，an的关系am－an＝(m－n)d＝qm－nm，n，s，t∈N*，m＋n＝s＋tam＋an＝as＋ataman＝asat{kn}是等差数列，且kn∈N*{}是等差数列{}是等比数列n＝2k－1，k∈N*S2k－1＝(2k－1)·aka1a2·…·a2k－1＝k1，k2，k3(k1，k2，k3∈N*)成等差数列，，成等差数列，，成等比数列判断方法利用定义an＋1－an是同一常数是同一常数利用中项an＋an＋2＝2an＋1anan＋2＝利用通项公式an＝pn＋q，其中p、q为常数an＝abn(a≠0，b≠0)利用前n项和公式Sn＝an2＋bn(a，b为常数)Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数)二.规律方法收藏(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加和错位相减.(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想.(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想.(5)等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类比.三．学科思想培优一、数学抽象数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系．在本章中，主要表现在构造新数列，及数列的函数性质中.【典例1】“春雨惊春清谷天，夏满芒夏署相连，秋处露秋寒霜降，冬霜雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则晷长为七尺五寸时，对应的节气为（）A．春分､秋分B．雨水､处暑C．立春､立秋D．立冬､立夏【答案】A【解析】设从夏至开始到冬至，各节气的晷长分别为，，，…，，则夏至时晷长为(寸)，冬至时晷长为(寸)，因为每个节气晷长损益相同，则为等差数列，设公差为，所以，解得，所以，由，得，即晷长七尺五寸对应的节气为从夏至开始的第七个节气，即秋分；设从冬至开始到夏至，每个节气的晷长为，则，由，得，即晷长七尺五寸对应的节气是从冬至开始的第七个节气，即春分.所以晷长为七尺五寸时，对应的节气为春分和秋分.故选：A.【典例2】年，考古工作者在湖南省云梦县睡虎地秦墓出土了大量记载秦法律令的竹简，其中包括徭律一条．徭律是秦代关于徭役的法律，其中规定：服徭戍迟到处以申斥和赀罚．失期三日到五日，谇；六日到旬，赀一盾；过旬，赀一甲．意思是：迟到天以内算正常，不处罚；迟到天，口头批评；迟到日，罚一面盾牌；迟到天以上，罚一副甲胄．若有一队服徭役的农民从甲地出发前往乙地，甲、乙两地相距里，第一天行里，以后每天都比前一天少行里，要求天内到达，则该队服徭役的农民最可能受到的惩罚是（）．A．无惩罚B．谇C．赀一盾D．赀一甲【答案】C【解析】由题意知，每日行走的路程成等差数列，记为，因为首项为，公差为，所以．设从甲地到乙地用天，则，即，解得或（舍），即从甲地出发前往乙地所用的时间为天，因为要求天到达，所以迟到了天，又因为迟到日，罚一面盾牌，故应赀一盾．故选：C.【典例3】已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由，得，∴，∵，∴．（2）由（1）得，∴，当时，∵，∴，即证.二、数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．在本章中，主要表现在求等差、等比数列的特定项，公差（公比），前n项和，项数的运算中.【典例4】在等比数列中，有，数列是等差数列，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵是等比数列，∴，，所以，即，∵是等差数列，所以．故选：C．【典例5】设等比数列的前项和为，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是等比数列，也称等比数列，，设，则，，则，.故选：D.【典例6】设等差数列的前n项和为，公差且，则取得最小值时，n的值为（）A．3B．4C．3或4D．4或5【答案】C【解析】由，可得，因为，所以，所以，所以．因为，所以是递增数列，所以，显然前3项和或前4项和最小．故选：C【典例7】在数列中，，，对，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得数列是以为首项，为公比的等比数列，当时，经检验，时成立．．，故选：C.【典例8】已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】数列满足，对任意的都有，则有，可得数列为常数列，有，得，得，又由，所以．故选：C【典例9】【多选】已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A．B．为的最小值C．D．【答案】AC【解析】,,对于也成立，所以，故A正确；当时，,当n=17时,当时，,只有最大值，没有最小值，故B错误；因为当时，,∴，故C正确；，故D错误.故选：AC.三、逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．本章主要表现求数列的通项公式，在等差，等比数列判定、数列求和及数列开放题运用等方面.【典例10】【多选】已知数列的前项和满足，下列说法正确的是（）A．若首项，则数列的奇数项成等差数列B．若首项，则数列的偶数项成等差数列C．若首项，则D．若首项，若对任意，恒成立，则的取值范围是【答案】BCD【解析】由①得②，①②可得③，所以④，③④可得，因此数列从第三项开始，奇数项成等差，偶数项也成等差；若，即，则，即，所以；由得，则；由得，则；所以，，因此数列的奇数项不成等差数列，偶数项成等差数列，即A错，B正确；此时，即C正确；因为成公差为的等差数列，也成公差为的等差数列；为使对任意，恒成立，只需，若，由，则；由，可得；由得所以，解得，即D正确.故选：BCD.【典例11】在①为常数)，②为常数)，③为常数)这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，若问题中的数列存在，求数列的前项和；若问题中的数列不存在，说明理由.问题：是否存在数列，其前项和为，且___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】如果选择，由即解得该方程组无解，所以该数列不存在.如果选择为常数)，即数列为等差数列，由，可得公差，所以所以如果选择为常数)，即数列为等比数列，由，可得公比，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以其前项和为.【典例12】设数列，是公比不相等的两个等比数列，数列满足．（1）若，是否存在常数，使得数列为等比数列?若存在，求的值；若不存在，说明理由；（2）证明：不是等比数列．【答案】（1）存在，或；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意知，若数列为等比数列，则有，其中且，将代入上式，得，即，整理得，解得或．（2）设数列，的公比分别为且，，则，为证不是等比数列，只需证，事实上，，由于，故，又，从而，所以不是等比数列.【典例13】已知是等差数列，是递增的等比数列且前和为，，___________.在①成等差数列，②(为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】条件选择见解析；（1），；（2）.【解析】选①解：（1）设等差数列的公差为，，.由题意知，得，设等比数列的公比为，即，解得，或，由数列为递增等比数列可知不合题意，所以是一个以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，，.选②解：（1）设等差数列的公差为，，.令，则，当时，当时，也满足上式.（2）由（1）知，，，，四、数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在数列的的实际应用问题中.【典例14】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，十三个单音的频率构成等比数列，公比为，第六个单音的频率.故选：B.【典例15】某公司自2020年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2020年起(2020年为第1年)，因为设备升级，第n年可新增的盈利(单位：万元)，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；（2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.【答案】（1）第7年；（2）第12年.【解析】（1）当时，，解得，即，不成立，当时，，即，随着的增大而减小，当时，不成立，当时，成立，故第7年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；（2）当时，累计新增盈利总额，可得所求超过5，当时，，整理得，由于随着的增大而减小又当时，，故不成立，当时，，故成立，故从第12年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.高中数学选择性必修二《第四章数列》单元检测试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间12分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，，故A错误.对于B，，故B错误.对于C，，故C正确.对于D，，故D错误.故选：C.2．已知均为等差数列，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】数列是以为首项，为公差的等差数列故选：C．3．在等比数列中，已知，则公比q=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得故选：D4．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”.题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A．174斤B．184斤C．180斤D．181斤【答案】C【解析】设第8个儿子分到的绵是，第个儿子分到的绵是，则构成以为首项，为公比的等比数列，解得故选：C5．设为等比数列的前项和，若，，，则等比数列的公比的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为，因为，，，所以，，因为，所以有，因为，所以，因此要想对于恒成立，只需，而，所以.故选：A6．设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若．则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，因为是等差数列前项和，是等差数列前项和，所以，，则，，故选：B.7．在等差数列中，.记，则数列（）A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】C【解析】依题意可得公差，，所以当时，，当时，，因为，，，，，，又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增，所以数列无最大项，数列有最小项.故选：C8．已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】因为数列的前n项和，当时，；当时，满足上式，所以，又，恒成立，所以，恒成立；令，则对任意，显然都成立，所以单调递增，因此，即的最小值为，所以，即实数的最大值是.故选：C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有()A．B．C．D．【答案】BC【解析】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.故选：BC.10．若数列对任意满足，下面选项中关于数列的命题正确的是（）A．可以是等差数列B．可以是等比数列C．可以既是等差又是等比数列D．可以既不是等差又不是等比数列【答案】ABD【解析】因为,所以或,即：或①当时,是等差数列或是等比数列.②或时,可以既不是等差又不是等比数列，故选ABD11．设是公比为的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（）A．是公比为的等比数列B．是公比为的等比数列C．是公比为的等比数列D．是公比为的等比数列【答案】AB【解析】由于数列是公比为的等比数列，则对任意的，，且公比为.对于A选项，，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；对于B选项，，即数列是公比为的等比数列，B选项正确；对于C选项，，即数列是公比为的等比数列，C选项错误；对于D选项，，即数列是公比为的等比数列，D选项错误.故选：AB.12．设为数列的前项和，若()等于一个非零常数，则称数列为“和等比数列”．下列命题正确的是（）．A．等差数列可能为“和等比数列”B．等比数列可能为“和等比数列”C．非等差等比数列不可能为“和等比数列”D．若正项数列是公比为的等比数列，且数列是“和等比数列”，则【答案】ABD【解析】若等差数列的公差为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，A对若等比数列的公比为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，B对若数列满足，则是非零常数，它既不是等差数列又不是等比数列，但它是“和等比数列”，C错正项数列是公比为的等比数列，∴，则故数列是首项为，公差为的等差数列，又数列是“和等比数列”，则又为非零常数，则，即，即，D对故选：ABD．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知等比数列的前项和，则______.【答案】3【解析】时，，又，数列等比数列，∴，即，解得．∴.故答案为：3．14．设数列中，，，则通项___________.【答案】【解析】因为，所以，则；；.各式相加可得，所以，故答案为：.15．数列满足：，，则数列的通项公式___________.【答案】【解析】因为①；当时，②；①减②得，即，所以，所以，所以所以，，，……，，所以，所以，又，所以，当时也成立，所以故答案为：16．数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则______，______．【答案】【解析】由题意，∴时，，两式相减得：，，又，满足，∴，．故答案为：；．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知数列的前项和为，，（）.（1）求；（2）若，数列的前项和为，求.【解析】（1）因为，所以，又，所以数列是公差为2，首项为2的等差数列，所以.（2）由（1）可知，所以，所以.18．设数列的前n项和为，且，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【解析】（1）∵，∴∴是等差数列，设的公差为，∵，，∴，解得，∴．（2）∴．19．已知数列是递增的等差数列，数列的前项和（1）求的通项公式；（2）若等比数列的各项均为正数，且，求数列的前项和【解析】（1）设的公差为，则，即，所以，解得，所以.（2）设的公比为，由（1）知解得所以因此所以，所以20．已知等差数列的前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足，求数列的前项和.【解析】设公差为，依题意得解得所以.，.21．已知为等差数列，数列的前和为，____.在①，②这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【解析】选①解：（1）设等差数列的公差为，，，由，得，当时，，即，所以是一个以2为首项，2为公比的等比数列..（2）由（1）知，，，.选②解：（1）设等差数列的公差为，，.，令，得，即，.（2）解法同选①的第（2）问解法相同.22．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；（2）判断是否是等比数列，并说明理由；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？【解析】（1）由题意得，所以；（2）由（1）得，∴，所以是等比数列.（3）由（2）有，又，所以，∴，即；，即，两边取常用对数得：，所以∴．∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．高中数学选择性必修二《第四章数列》单元检测试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间12分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝()A．10B．20C．16D．12【答案】D【解析】∵{an}是等差数列，∴d＝＝，∴a7＝2＋4×＝12.2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于()A．－D．C．－D．【答案】B【解析】∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×＝，a3＝(－1)3×2×＝－，a4＝(－1)4×2×＝－，a5＝(－1)5×2×＝.3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝()A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶3【答案】A【解析】在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.4．在等比数列{an}中，已知前n项和Sn＝5n＋1＋a，则a的值为()A．－1B．1C．5D．－5【答案】【解析】因为Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和Sn＝，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a＝－5.5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该数列的()A．第8项B．第10项C．第12项D．第14项【答案】D【解析】当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝则2＋1－2＝254，n＝14，故选D.6．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＝，则a2＝()A．2D．C．3D．【答案】C【解析】∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴＝.∵a1a2a3＝15，∴＝，∴a2＝3.故选C.7．如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为的等比数列，那么an＝()A.D．C.D．【答案】A【解析】由题知a1＝1，q＝，则an－an－1＝1×n－1.设数列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n项和为Sn，∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.又∵Sn＝＝，∴an＝.8．若有穷数列a1，a2，…，an(n是正整数)，满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{bn}是项数不超过2m(m＞1，m∈N*)的对称数列，且1,2,4，…，2m－1是数列{bn}的前m项，则当m＞1200时，数列{bn}的前2019项和S2019的值不可能为()A．2m－2m－2009B．22019－1C．2m＋1－22m－2019－1D．3·2m－1－22m－2020－1【答案】A【解析】若数列{bn}的项数为偶数，则数列可设为1,21,22，…，2m－1,2m－1，…，22,2,1，当m≥2019时，S2019＝＝22019－1，故B可能．当1200＜m＜2019时，S2019＝2×－＝2m＋1－22m－2019－1，故C可能．若数列为奇数项，则数列可设为1,21,22，…，2m－2,2m－1,2m－2，…，22,2,1，当m≥2019时，S2019＝＝22019－1.当1200＜m＜2019时，S2019＝2×－＋2m－1＝3·2m－1－22m－2020－1，故D可能．故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9>b9且a10>b10，则以下结论正确的有()A．a9·a10<0B．a9>a10C．b10>0D．b9>b10【答案】AD【解析】∵等比数列{an}的公比q＝－，∴a9和a10异号，∴a9a10＝<0，故A正确；但不能确定a9和a10的大小关系，故B不正确；∵a9和a10异号，且a9>b9且a10>b10，∴b9和b10中至少有一个数是负数，又∵b1＝12>0，∴d<0，∴b9>b10，故D正确；∴b10一定是负数，即b10<0，故C不正确．故选A、D.10．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是()A．若S5＝S9，则必有S14＝0B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项C．若S6＞S7，则必有S7＞S8D．若S6＞S7，则必有S5＞S6【答案】ABC【解析】∵等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋，若S5＝S9，则5a1＋10d＝9a1＋36d，∴2a1＋13d＝0，∴a1＝－，∵a1＞0，∴d＜0，∴a1＋a14＝0，∴S14＝7(a1＋a14)＝0，A对；又∵Sn＝na1＋＝－＋＝，由二次函数的性质知S7是Sn中最大的项，B对；若S6＞S7，则a7＝a1＋6d＜0，∴a1＜－6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴a6＝a1＋5d＜－6d＋5d＝－d，a8＝a7＋d＜a7＜0，S7＞S8＝S7＋a8，C对；由a6＜－d不能确定a6的符号，所以S5＞S6不一定成立，D错．故选A、B、C.11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是()A．此人第三天走了四十八里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】ABD【解析】设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列．所以S6＝，解得a1＝192.a3＝a1q2＝192×＝48，所以A正确，由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B正确．a2＝a1q＝192×＝96，而S6＝94.5＜96，所以C不正确．a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×＝336，则后3天走的路程为378－336＝42而且42×8＝336，所以D正确．故选A、B、D.12．若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有()A．an＝3nB．an＝n2＋1C．an＝D．an＝ln【答案】CD【解析】对A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；对B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；对C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；对D，若an＝ln，则an＋1－an＝ln－ln＝ln＝ln，由函数y＝ln在(0，＋∞)递减，所以数列{an＋1－an}为递减数列，故D正确．故选C、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知数列{an}的通项公式为an＝2020－3n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．【答案】673【解析】由an＝2020－3n>0，得n<＝673，又∵n∈N*，∴n的最大值为673.14．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则an＝________，S10＝________.【答案】22－2n110【解析】设{an}的首项，公差分别是a1，d，则解得a1＝20，d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)d＝20－2(n－1)＝22－2n.S10＝10×20＋×(－2)＝110.15．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则＝________.【答案】【解析】因为数列1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.因为数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以＝1×9＝9，又b2＝1×q2＞0(q为等比数列的公比)，所以b2＝3，则＝.16．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.【答案】【解析】设{an}的公比为q，q>0，且＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4.∴S5＝＝8×＝.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等比数列中，，．（1）求数列的通项公式;（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，由题意得：解得所以（2）所以数列为等差数列，所以．18．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，.(1)求等比数列{an}的公比q；(2)求.【解析】(1)由，a1＝－1，知公比q≠1，.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝，q＝－.(2)由(1)，得an＝(－1)×，所以＝n－1，所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，故＝＝.19．(本小题满分12分)已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为.若，(为偶数)，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为，所以即解得，所以.经检验，符合题设，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，，所以.，∴，因为，，所以，即.因为为偶数，所以.20．(满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an<an＋1，且S3＝2S2＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝(2n－1)an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，由an<an＋1，得q>1，又a1＝1，则a2＝q，a3＝q2，因为S3＝2S2＋1，所以a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋1，则1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·2n－1(n∈N*)，则Tn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，2Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，两式相减，得－Tn＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n，即－Tn＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)×2n，化简得Tn＝(2n－3)×2n＋3.21．(本小题满分12分)在①；②为等差数列，其中成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目.已知数列中，______.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，求证：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）若选条件①，，，又，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以；若选择②，设数列的公差为d，则，因为成等比数列，，解得或；当时，，此时不能构成等比数列，所以，所以，若选择③，由得，当时，，两式相减得，所以，当时，也适合上式，所以，（2）由（1）得，所以，故22．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求数列{an}的通项公式．(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，k的值；若存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比数列．【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋.由已知，得即，解得.所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N＋)．(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列，则.因为bn＝，所以b1＝，bm＝，bk＝，所以整理，得k＝.以下给出求m，k的方法：因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0.解得1－<m<1＋.因为m≥2，m∈N＋，所以m＝2，此时k＝8.故存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比数列高中数学选择性必修二《第四章数列》高考真题1．设是等比数列，且，，则A．12B．24C．30D．32【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.2.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C3．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.4.在等差数列中，，．记，则数列A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B．5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．故选：D.6．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1=−2，a2+a6=2，则S10=__________．【答案】【解析】是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：可得即：整理可得：解得：根据等差数列前项和公式：可得：.7.数列满足，前16项和为540，则.【答案】【解析】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，.8．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列的前3项和是_______．【答案】【解析】因为，所以．即．9．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是▲．【答案】【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.10．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，11．设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．【解析】（1）设的公比为，则.由已知得，解得.所以的通项公式为.（2）由（1）知故由得，即.解得（舍去），.12.已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．【解析】（1）设的公比为．由题设得，．解得（舍去），．由题设得．所以的通项公式为．（2）由题设及（1）知，且当时，．所以．13.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【解析】（1）设的公比为，由题设得即.所以解得（舍去），.故的公比为.（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以，.可得所以.14．设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项