《5.3.1 函数的单调性》复习考点讲解与专题训练

《5.3.1函数的单调性》复习考点讲解【思维导图】【常见考点】考点一求函数的单调区间【例1】（1）函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．（2）．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是（）A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(0，＋∞)【一隅三反】1．函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．2．函数的单调递减区间是（）A．B．C．，D．，3．已知，则函数的单调减区间为（）A．B．C．D．考点二已知单调性求参数【例2】（1）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（2）．若函数在(0，1)上不单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【一隅三反】1．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．2．已知函数在区间上是增函数，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．3．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．考点三单调性与图像【例3】函数的图象大致是()A．B．C．D．【一隅三反】1．函数的图象大致是（）.A．B．C．D．2．已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.71828…)，则f(x)的大致图象是（）A．B．C．D．3．（已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，的图象大致是（）A．B．C．D．考点四利用单调性解不等式【例4】设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【一隅三反】1．已知函数，对任意，，都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2．已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A．B．C．D．3．已知函数满足，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．考点五利用单调性比较大小【例5】．已知，则（）A．B．C．D．【一隅三反】1．对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（）A．B．C．D．2．若则（）A．B．C．D．答案解析考点一求函数的单调区间【例1】（1）函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．（2）．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是（）A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(0，＋∞)【答案】（1）D（2）D【解析】（1）函数的定义域为，由，解得，所以函数的单调递减区间是，故选：D（2）因为，所以，令，解得：，即函数的增区间为，故选：D.【一隅三反】1．函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，函数的定义域为，则，令，解得，所以，函数的单调递增区间为.故选：C.2．函数的单调递减区间是（）A．B．C．，D．，【答案】A【解析】因为函数，所以函数的定义域为，求出函数的导数：，；令，，解得，所以函数的单调减区间为故选：．3．已知，则函数的单调减区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，，且的定义域为，则，令，则，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为：，故恒成立，故在上恒成立，所以在上单调递减，即函数的单调减区间为.故选：D.考点二已知单调性求参数【例2】（1）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（2）．若函数在(0，1)上不单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】（1）D（2）A【解析】∵函数在内单调递增，∴当时，恒成立，即，∴，即a的取值范围为，故选：D.（2），，若在上不单调，则在上有变号零点，又单调递增，，即，解得．的取值范围是．故选：．【一隅三反】1．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，函数在上单调递增，可得在上恒成立，即在上恒成立，令，根据二次函数的性质知，函数在单调递减，所以，所以，即实数a的取值范围是.故选：B．2．已知函数在区间上是增函数，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，因为函数在区间上是增函数，所以在上恒成立，得恒成立因为，当且仅当，即时取等号，所以，故选：D3．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为在区间内存在单调递增区间，所以在区间上成立，即在区间上有解，因此，只需，解得.故选D4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数得，由题意可得恒成立，即为，设，即，当时，不等式显然成立；当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值1，可得，当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值，可得，综上可得实数的取值范围是，故选：A.考点三单调性与图像【例3】函数的图象大致是()A．B．C．D．【答案】B【解析】函数，则，令，解得的两个极值点为，故排除AD，且当时，恒为正，排除C，即只有B选项符合要求，故选：B.【一隅三反】1．函数的图象大致是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】由题得，，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，则当时，取最大值，，则选项正确.故选：2．已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.71828…)，则f(x)的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，当时，，故排除A、D，又，当时，，所以在为减函数，故排除B,故选：C.3.已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象可得：当时,,∴,即函数单调递增；当时,,∴,即函数单调递减；当时,,∴,即函数单调递减；当时,,∴,即函数单调递增,观察选项,可得C选项图像符合题意.故选：C.考点四利用单调性解不等式【例4】设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则，∵当时，有恒成立，∴当时，，在上单调递增，∵是定义在上的偶函数，∴，即是定义在上的奇函数，∴在上也单调递增.又，∴，∴.不等式的解可等价于即的解，∴或，∴不等式的解集为.故选：B.【一隅三反】1．已知函数，对任意，，都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知函数是上的单调递减函数，且当时，，据此可得：，即恒成立，令，则，据此可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的最小值为，则，据此可得：实数的取值范围是．故选：．2．已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】B【解析】令，当时，，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为得，，的解集为，故选B.3．已知函数满足，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的定义域是，，故在递增，，，解得：或，故选：．考点五利用单调性比较大小【例5】．已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，则，令，解得，令，解得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故时，，而，，所以.故选：D【一隅三反】1．对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】构造函数，则，∵，∴，即在上为增函数，由，即，即，故A正确；，即，即，故B正确；，即，即，故C正确；由，即，即，即，故错误的是D．故选D．2．若则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数，，所以时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，又，与，所以将不等式两边取自然对数得，故选：A．《5.3.1函数的单调性》考点专题训练【题组一求函数的单调区间】1．已知函数f(A．0，1B．0，12．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．3．已知函数，则A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间上是增函数D．是偶函数，且在区间上是减函数4．函数的单调递增区间是（）A．B．C．(1,4)D．(0,3)5．函数的一个单调减区间是（）A．B．C．D．6．若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．，7．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．【题组二已知单调性求参数】1．已知在上为单调递增函数，则的取值范围为（）A．B．C．D．2．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3．“a≤-1”是“函数f(x)=lnx-ax在[1,+∞)上为单调函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数，若函数在上为增函数，则正实数的取值范围为（）A．B．C．D．5．在单调递增，则的范围是______．6．设函数在，上单调递增，则的取值范围是（）A．，B．，C．D．7．若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．8．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【题组三单调性与图像】1．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）A．B．C．D．2．如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．3．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【题组四利用单调性解不等式】1．定义在上的函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为（）A．B．C．D．2．设函数，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）的定义域为R，且，则不等式解集为（）A．B．C．D．4．已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．5．已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．【题组五利用单调性比较大小】1．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．2．已知函数，，若，，则a，b，c的大小为（）A．B．C．D．3．已知函数，若，，，则（）A．B．C．D．4．设，则的大小关系是（）A．B．C．D．5．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．答案解析【题组一求函数的单调区间】1．已知函数f(A．0，1B．0，1【答案】D【解析】f(x令f'x故函数f(x)=12．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域为，，令，解得.因此，函数的单调递增区间是.故选：D.3．已知函数，则A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间上是增函数D．是偶函数，且在区间上是减函数【答案】B【解析】根据题意，函数，则有，解可得，即的定义域为；设任意，，则函数为奇函数；，其导数，在区间上，，则为上的减函数；故选：．4．函数的单调递增区间是（）A．B．C．(1,4)D．(0,3)【答案】B【解析】，，解不等式，解得，因此，函数的单调递增区间是，故选B.5．函数的一个单调减区间是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，该函数的定义域为，，，可得，令，可得，即，解得.所以，函数的单调递减区间为.当时，函数的一个单调递减区间为，，对任意的，，，，故函数的一个单调递减区间为.故选：A.6．若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．，【答案】D【解析】由题意，∴，又，故曲线在点处的切线方程为，将点代入可得，则，令，所以或，故函数在，上单调递减.故选：D7．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域是，，令，解得，故函数在上单调递减，选：D.【题组二已知单调性求参数】1．已知在上为单调递增函数，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为在上为单调递增，等价于恒成立.即在上恒成立.因为，当时，取“”，所以，即的范围为.故选：D2．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，由题意可知，不等式对于任意的恒成立，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.3．“a≤-1”是“函数f(x)=lnx-ax在[1,+∞)上为单调函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为函数f(x)=lnx-ax在[1,+∞)上为单调函数，所以在[1,+∞)上恒成立或在[1,+∞)上恒成立，即或，从而或因为“”是“或”充分不必要条件，所以“a≤-1”是“函数f(x)=lnx-ax在[1,+∞)上为单调函数”的充分不必要条件，故选：A4．已知函数，若函数在上为增函数，则正实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，，因为函数在上为增函数，所以在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，所以，故选：D5．在单调递增，则的范围是__________．【答案】【解析】，则，因为函数在上单调增，可得在上恒成立，即，令，则，，所以，因为在上是增函数，所以其最大值为，所以实数的取值范围是.6．设函数在，上单调递增，则的取值范围是（）A．，B．，C．D．【答案】B在，上单调递增，在，上恒成立，即，而函数在，上单调递增，当时，，，的取值范围是，．故选：．7．若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数在区间上单调递减，所以在恒成立，所以即解得：.8．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，由此排除CD选项.由，解得，所以函数的单调递减区间为.由此排除B选项，只有A选项正确.证明如下：由于在区间上单调递减，所以，解得.故选：A【题组三单调性与图像】1．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】时，，则单调递减；时，，则单调递增；时，，则f（x）单调递减．则符合上述条件的只有选项A．故选A．2．如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由导函数图象，知或时，，∴的减区间是，．故选：C．3．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，且定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，故排除B项；，设，则恒成立，所以函数单调递增，所以当时，，任取，则，所以，，，所以，函数在上为增函数，故排除C、D选项.故选：A.【题组四利用单调性解不等式】1．定义在上的函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】构造函数，∵，∴，∴函数在上单调递减，又，∴不等式的解集为，故选：A.2．设函数，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以，为上的偶函数，又，当时，，故在上为增函数.因，由得到，故，或，选D.3．已知函数f（x）的定义域为R，且，则不等式解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】构造函数,则,故在上为增函数.又,故即,即.解得.故选：C4．已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，则，，，，为定义在上的偶函数；当时，，在上单调递减，又为偶函数，在上单调递增.由得：，即，，解