《4.1 数列的概念》复习考点讲解与专题训练

《4.1数列的概念》复习考点讲解【思维导图】【常见考点】考法一根据通项求项【例1】已知数列，则数列的第4项为（）A．B．C．D．【一隅三反】1．若数列的通项公式为，则（）A．27B．21C．15D．132．已知数列，1，，，，…，，…，则是它的（）.A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项3．已知数列的通项公式为，则的值是（）A．9B．13C．17D．21考法二根据项写通项公式【例2】数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．【一隅三反】1．数列，3，，，…，则是这个数列的第（）A．8项B．7项C．6项D．5项2.若数列的前项分别是、、、，则此数列一个通项公式为（）A．B．C．D．3．数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（）A．B．C．D．不存在考法三根据递推公式求项【例3】数列满足，（为正整数，），则（）A．43B．28C．16D．7【一隅三反】1．在数列中，，，则（）A．-2B．1C．D．2．已知数列满足，，则（）A．B．C．D．3．在数列中，，，则（）A．-2B．2C．1D．-14．数列中，若，，则（）A．29B．2563C．2569D．2557考法四公式法求通项【例4】已知数列{an}的前项和为，，则数列的通项公式为__________【一隅三反】1．（已知数列的前n项和，则______．2．已知数列的前项和为，，且，则数列的通项公式________.3．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为______.考法五斐波那契数列【例5】数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【一隅三反】1.一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（）A．3B．4C．5D．62．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列满足（，），记其前n项和为.设命题，命题，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．3．已知斐波那契数列的前七项为：，大多数植物的花，其花瓣数按层从内向外都恰是斐波那契数．现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（）层．A．5B．6C．7D．8答案解析考法一根据通项求项【例1】已知数列，则数列的第4项为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意.故选：B.【一隅三反】1．若数列的通项公式为，则（）A．27B．21C．15D．13【答案】A【解析】因为，所以，故选：A.2．已知数列，1，，，，…，，…，则是它的（）.A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项【答案】B【解析】因为题中数列的第项为，而，所以是题中数列的第23项.故选：B.3．已知数列的通项公式为，则的值是（）A．9B．13C．17D．21【答案】C【解析】把n=5代入=4n－3中得到所求为17．故选C．考法二根据项写通项公式【例2】数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式．故选C．【一隅三反】1．数列，3，，，…，则是这个数列的第（）A．8项B．7项C．6项D．5项【答案】C【解析】列，3，，，，可化为：数列，，，，，则数列的通项公式为：，当时，则，解得：，故是这个数列的第6项.故选：C．2.若数列的前项分别是、、、，则此数列一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设所求数列为，可得出，，，，因此，该数列的一个通项公式为.故选：A.3．数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（）A．B．C．D．不存在【答案】C【解析】依题意可知，所以.故选：C考法三根据递推公式求项【例3】数列满足，（为正整数，），则（）A．43B．28C．16D．7【答案】C【解析】因为，（为正整数，），令，所以；令，所以．故选：C．【一隅三反】1．在数列中，，，则（）A．-2B．1C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，，，所以数列是周期为3的周期数列，所以．故选：C2．已知数列满足，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以解得.故选：C3．在数列中，，，则（）A．-2B．2C．1D．-1【答案】B【解析】∵，，∴，，则数列是周期为2的周期数列，故.故选：B.4．数列中，若，，则（）A．29B．2563C．2569D．2557【答案】D【解析】数列中，若，，可得，所以是等比数列，公比为2，首项为5，所以，．考法四公式法求通项【例4】已知数列{an}的前项和为，，则数列的通项公式为_______【答案】【解析】当时，；当时，，而.故数列的通项公式为.【一隅三反】1．已知数列的前n项和，则______．【答案】【解析】当时，，当时，，经验证，当时，，所以数列的通项公式是2．已知数列的前项和为，，且，则数列的通项公式________.【答案】【解析】依题意，当时，，当时，，所以，当时也符合.所以的通项公式为，由于，所以.故答案为：3．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_________.【答案】【解析】，而，当时，，故.填.考法五斐波那契数列【例5】数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，选D.【一隅三反】1.一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】由题意可知首项为2，设第二项为，则第三项为，第四项为，第五项为第n项为且，则，因为，当的值可以为；即有3个这种超级斐波那契数列，故选：A.2．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列满足（，），记其前n项和为.设命题，命题，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，故命题p为真命题，则为假命题.，故命题q为假命题，则为真命题.由复合命题的真假判断，得为真命题.故选：3．已知斐波那契数列的前七项为：，大多数植物的花，其花瓣数按层从内向外都恰是斐波那契数．现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（）层．A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由题设知，斐波那契数列的前6项和为20，前7项和为33，由此可推测该种玫瑰花最可能有7层，故选：C．《4.1数列的概念》考点专题训练题组一根据通项求项1．已知数列，则数列的第4项为（）A．B．C．D．2．已知数列的通项公式是，则等于（）A．70B．28C．20D．83．已知数列的一个通项公式为，则（）A．B．C．D．4．已知数列…，则是这个数列的（）A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项5．已知数列的通项公式为，则A．100B．110C．120D．1306．已知数列的通项公式是，则220是这个数列的()A．第19项B．第20项C．第21项D．第22项7．已知数列2，，4，…，，…，则8是该数列的第________项8．在数列中，已知，则的前6项分别为______.9．已知数列的通项公式为，那么是这数列的第_____项.10．数列中，（），该数列从第_____项开始每项均为负值.题组二根据项写通项公式1．数列，…的一个通项公式为（）A．B．C．D．2．数列2，，，，…的一个通项公式an等于（）A．B．C．D．3．已知数列、、、、，可猜想此数列的通项公式是（）.A．B．C．D．4．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式__________．5．已知数列的前4项依次为，，，，试写出数列的一个通项公式______.6．写出下列各数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）（2）（3）（4）题组三根据递推公式求项1．在数列中，已知，，，则等于（）A．B．C．4D．52．数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．3．数列的前几项为，则此数列的通项可能是（）A．B．C．D．4．数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．5．数列4，6，10，18，34，……的通项公式等于（）A．B．C．D．6．在数列中，，则等于A．B．C．D．7．数列，2，，8，，…它的一个通项公式可以是（）A．B．C．D．8．数列，3，，15，…的一个通项公式可以是（）A．B．C．D．9．已知，给出4个表达式：①，②，③，④.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④10．数列，…的通项公式可能是（）A．B．C．D．11.数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．题组四公式法求通项公式1．数列的前项和,则的通项公式_____.2．已知数列，若，则数列的前项和为______．已知数列的前项和，则__________．4．已知数列前项和为，且，则_______5．在数列中，已知其前项和为，则__________．题组五斐波那契数列公式1．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列定义如下：，.随着n的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（）A．144厘米B．233厘米C．250厘米D．377厘米2．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列的前项和为，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．3．斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：，，.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A．377B．610C．987D．15974．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列满足：，，现从数列的前2019项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（）A．B．C．D．．“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，则（）A．B．C．D．6．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为（）A．B．且C．D．7．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则______；______.8．斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：，，，记其前项和为，设（为常数），则______（用表示），______(用常数表示)答案解析题组一根据通项求项1．已知数列，则数列的第4项为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意.故选：B.2．已知数列的通项公式是，则等于（）A．70B．28C．20D．8【答案】C【解析】因为，所以，所以=20.故选C.3．已知数列的一个通项公式为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，则.故选：A.4．已知数列…，则是这个数列的（）A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项【答案】B【解析】由数列前几项归纳可知通项公式为,时,,为数列第七项，故选B.5．已知数列的通项公式为，则A．100B．110C．120D．130【答案】C【解析】数列的通项公式为，则.故选：C.6．已知数列的通项公式是，则220是这个数列的()A．第19项B．第20项C．第21项D．第22项【答案】B【解析】由题意，令，则，解得或；因为，所以，即220是这个数列的第20项.故选：B.7．已知数列2，，4，…，，…，则8是该数列的第________项【答案】【解析】令，解得，所以8是该数列的第11项，故答案为：.8．在数列中，已知，则的前6项分别为______.【答案】【解析】易得，，，，，.故答案为：9．已知数列的通项公式为，那么是这数列的第_____项.【答案】9【解析】令，即，解得或(舍去)，则是这数列的第9项，故答案为:9.10．数列中，（），该数列从第_____项开始每项均为负值.【答案】34【解析】令，解不等式得：，由于，故.故答案为：34.题组二根据项写通项公式1．数列，…的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据分子、分母还有正负号的变化，可知，.故选D.2．数列2，，，，…的一个通项公式an等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】数列2，，，，…可写成：，，，，…所以通项公式an.故选C.3．已知数列、、、、，可猜想此数列的通项公式是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A选项，，不合乎题意；对于B选项，，不合乎题意；对于C选项，，不合乎题意；对于D选项，当为奇数时，，此时，当为偶数时，，此时，合乎题意.故选：D.4．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式__________．【答案】【解析】第一图点数是1；第二图点数;第三图是；第四图是则第个图点数故答案为：5．已知数列的前4项依次为，，，，试写出数列的一个通项公式______.【答案】【解析】，，，，的通项公式为，，，，，的通项公式为，正负交替的通项公式为，所以数列的通项公式.故答案为：6．写出下列各数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】解（1）考虑到第2，4项的分母恰好是所在项的序号，于是这个数列的前4项可以改写成，这4项的分母都与项的序号相同，分子都恰好是序号加3，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为.（2）考虑到分子恰好是序号的2倍，所以分子应为2n.分母都为分子的平方数减去1，因此它的一个通项公式为.（3）这个数列的第n项可以是n个5组成的n位数，用代数式替代省略号，可考虑前4项改写成，其中又可表示成，这里的10的正整数次幂的指数恰好与数列中项的序号相等，所以它的一个通项公式为.（4），考虑到其每一项与序号的关系将前几项分别写成：，因此它的一个通项公式为.题组三根据递推公式求项1．在数列中，已知，，，则等于（）A．B．C．4D．5【答案】B【解析】由知：故选：B2．数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为数列3，7，11，的一个通项公式为，故数列，，，，的一个通项公式是，故选：C．3．数列的前几项为，则此数列的通项可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】数列为其分母为，分子是首项为，公差为的等比数列，故通项公式为.4．数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，所以其通项公式是：故选：B5．数列4，6，10，18，34，……的通项公式等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故选：C6．在数列中，，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】已知逐一求解．故选D7．数列，2，，8，，…它的一个通项公式可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将代入四个选项可得为,B为,C为,D为.所以排除B、C选项.将代入A、D,得A为2,D为,所以排除D综上可知,A可以是一个通项公式故选：A8．数列，3，，15，…的一个通项公式可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将代入四个选项，可知中D中所以排除C、D.当，代入B可得所以排除B，即A正确，故选：A.9．已知，给出4个表达式：①，②，③，④.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【答案】A【解析】①②③逐一写出为可以，④逐一写出为不满足，故选A．10．数列，…的通项公式可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，排除A，C，由，排除B.故选：D.11.数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．题组四公式法求通项公式1．数列的前项和,则的通项公式_____.【答案】【解析】当时,；当时,；∴故答案为2．已知数列，若，则数列的前项和为______．【答案】【解析】因为所以两式相减得所以设数列的前项和为Sn则3．已知数列的前项和，则__________．【答案】【解析】当时，当时，由，得，两式相减，，将代入上式，，通项公式为故答案为.4．已知数列前项和为，且，则_______【答案】.【解析】当时，当且时，综上所述：，本题正确结果：5．在数列中，已知其前项和为，则__________．【答案】【解析】当时，；当时，，不满足上式。故。答案：.题组五斐波那契数列公式1．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列定义如下：，.随着n的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（）A．144厘米B．233厘米C．250厘米D．377厘米【答案】B【解析】由题意可得且，解得.故选：B.2．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列的前项和为，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，将上述各式两边相加得，，所以.故选：B3．斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：，，.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A．377B．610C．98