《4.1数列的概念》教案、导学案与同步练习

《4.1数列的概念》教案（第一课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习数列的概念与表示“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等。数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解数列的有关概念与数列的表示方法.B.掌握数列的分类.C.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.D.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.1.数学抽象：数列的概念及表示、数列的分类2.逻辑推理：求数列的通项公式3.数学运算：运用数列通项公式求特定项4.数学建模：数列的概念【教学重点和难点】重点：数列的有关概念与数列的表示方法难点：数列的函数特征【教学过程】教学过程教学设计意图一、情景导学古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.那么什么叫数列呢?二、问题探究1.王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：75,87,96,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168①记王芳第i岁的身高为hi

，那么h1=75

,h2=87,

…，h17=168.我们发现hi中的i2.在两河流域发掘的一块泥板（编号K90，约生产于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，每天月亮可见部分的数：5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.②记第i天月亮可见部分的数为si,那么s1=5

,s2=10,

…，s15=240.这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确定位置，即s13.-12-12，14，-18，思考：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？一、数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.二、数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列三、数列与函数数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么构成了一个数列{f(n)}．f(1)，f(2)，…，f(n)，…1.下列叙述正确的是()A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}D.同一个数在数列中不可能重复出现解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.答案:B四、数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cosnπ等.1.若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=,224是该数列的第项.解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.答案:9915三、典例解析例1.根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项,并画出它们的图像.（1）an=解:（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5

时，数列{an}的前5项依次为1,3,6,10,15如图所示(1)（2）当通项公式中的n=1，2，3，4，5

时，数列{an}的前5项依次为1,0,-1,0,1如图所示(2)例2.根据数列的前4项,写出下列数列的一个通项公式:(1)12,2,92,8,(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9999,…;(4)22(5)-11×2,1(6)4,0,4,0,4,0,….解:(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,12,42,(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1000,10000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为an=(n+1(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·1n(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=4,n为奇数,0,根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.2.常见数列的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.(7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是an=n((8)数列1,12,13,跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1)1,13,15,17;(2)21(3)3,5,9,17;(4)23(5)7,77,777,7777.解:(1)an=12n-1;(2)an=2n+12n;(3)an(4)an=2n(2n)2-1;(5)a例3(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.①数列中有哪些项是负数?②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)1011n(n∈N*),试问数列{a分析:(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.(2)数列{an}的通项计算an+1-an确定单调性求解最大(小)项(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.∵n∈N*,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6.②an=n2-5n-6=n-52(2)解法一:∵an+1-an=(n+2)1011n+1=1011∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=10解法二:设ak是数列{an}的最大项,则a整理,得10k+10≥11k,11k+11≥10k+20,所以k=9或k=10.又a1=2011<a9=a10,即数列{an}中的最大项为a9=a10=1求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.(2)可以利用不等式组an利用不等式组an变式探究：在本例(2)中,若已知数列的通项公式an=1n+3·98n,n∈解:设第n项an最小,则a即1n+3·所以5≤n≤6,所以n=5或n=6.又a1=932>a5=a6即a5与a6都是数列的最小项,且a5=a6=95通过古诗及生活中的情景，引导学生运用数学眼光，分析问题，进行数学分析。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过具体问题的思考和分析，帮助学生观察、分析、归纳总结出数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过数列概念的解读，并与集合、函数概念的比较，深化对数列概念的理解。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对数列概念的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，帮助灵活运用数列的概念解决问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.下列各项表示数列的是()A.△,○,☆,□B.2008,2009,2010,…,2017C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D.a+b,a-b,ab,λa解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.答案:B2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是()A.1,2,3,…,20B.-1,-2,-3,…,-n,…C.1,2,3,2,5,6,…D.-1,0,1,2,…,100,…解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案:D3.观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有小圆圈.分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.答案:n2-n+14.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n+1),则a3=.解析:观察可得数列的一个通项公式是an=4n-1,而53=答案:195.已知数列3,7,11,解析:∵an=log3(2n+1),∴a3=log3(23+1)=log39=2.答案:26.在数列{an}中,已知an=n2+n-13(1)写出a10,an+1.(2)7923解:(1)a10=102+10-1(2)令an=n2+n-137.已知数列{an}的通项公式an=kn2n+3(k∈(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.解:(1)当k=1时,an=n2n+3,所以an+1=n+1所以an+1-an=n+12n+5故数列{an}是递增数列.(2)若数列{an}是递减数列,则an+1-an<0恒成立,即an+1-an=kn+k2n+5因为(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结数列的概念与表示数列的定义通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.《4.1数列的概念》导学案（第一课时）【学习目标】1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类.3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.【重点和难点】重点：数列的有关概念与数列的表示方法难点：数列的函数特征【知识梳理】一、数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.二、数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列三、数列与函数数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么构成了一个数列{f(n)}．f(1)，f(2)，…，f(n)，…四、数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cosnπ等.1.下列叙述正确的是()A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}D.同一个数在数列中不可能重复出现2.若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=,224是该数列的第项.【学习过程】一、情景导学古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.那么什么叫数列呢?二、问题探究1.王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：75,87,96,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168①记王芳第i岁的身高为hi

，那么h1=75

,h2=87,

…，h17=168.我们发现hi中的i2.在两河流域发掘的一块泥板（编号K90，约生产于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，每天月亮可见部分的数：5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.②记第i天月亮可见部分的数为si,那么s1=5

,s2=10,

…，s15=240.这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确定位置，即s13.-12-12，14，-18，思考：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？三、典例解析例1.根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项,并画出它们的图像.（1）an=例2.根据数列的前4项,写出下列数列的一个通项公式:(1)12,2,92,8,252(3)9,99,999,9999,…;(4)22(5)-11×2,1(6)4,0,4,0,4,0,….根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.2.常见数列的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.(7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是an=n((8)数列1,12,13,跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1)1,13,15,17;(2)21(3)3,5,9,17;(4)23(5)7,77,777,7777.例3(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.①数列中有哪些项是负数?②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)1011n(n∈N*),试问数列{a求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.(2)可以利用不等式组an利用不等式组an变式探究：在本例(2)中,若已知数列的通项公式an=1n+3·98n,n∈【达标检测】1.下列各项表示数列的是()A.△,○,☆,□B.2008,2009,2010,…,2017C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D.a+b,a-b,ab,λa2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是()A.1,2,3,…,20B.-1,-2,-3,…,-n,…C.1,2,3,2,5,6,…D.-1,0,1,2,…,100,…3.观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有小圆圈.4.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n+1),则a3=.5.已知数列3,7,11,6.在数列{an}中,已知an=n2+n-13(1)写出a10,an+1.(2)79237.已知数列{an}的通项公式an=kn2n+3(k∈(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.【课堂小结】数列的概念与表示数列的定义【参考答案】知识梳理1.解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.答案:B2.解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.答案:9915学习过程一、典例解析例1.解:（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5

时，数列{an}的前5项依次为1,3,6,10,15如图所示(1)（2）当通项公式中的n=1，2，3，4，5

时，数列{an}的前5项依次为1,0,-1,0,1如图所示(2)例2.解:(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,12,42,(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1000,10000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为an=(n+1(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·1n(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=4,n为奇数,0,跟踪训练1.解:(1)an=12n-1;(2)an=2n+12n;(3)an(4)an=2n(2n)2-1;(5)a例3分析:(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.(2)数列{an}的通项计算an+1-an确定单调性求解最大(小)项(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.∵n∈N*,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6.②an=n2-5n-6=n-52(2)解法一:∵an+1-an=(n+2)1011n+1=1011∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=10解法二:设ak是数列{an}的最大项,则a整理,得10k+10≥11k,11k+11≥10k+20,所以k=9或k=10.又a1=2011<a9=a10,即数列{an}中的最大项为a9=a10=1变式探究：解:设第n项an最小,则a即1n+3·所以5≤n≤6,所以n=5或n=6.又a1=932>a5=a6即a5与a6都是数列的最小项,且a5=a6=95达标检测1.解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.答案:B2.解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案:D3.分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.答案:n2-n+14.解析:观察可得数列的一个通项公式是an=4n-1,而53=答案:195.解析:∵an=log3(2n+1),∴a3=log3(23+1)=log39=2.答案:26.解:(1)a10=10an+1=(n+1(2)令an=n2+n-137.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.解:(1)当k=1时,an=n2n+3,所以an+1=n+1所以an+1-an=n+12n+5故数列{an}是递增数列.(2)若数列{an}是递减数列,则an+1-an<0恒成立,即an+1-an=kn+k2n+5因为(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0.《4.1数列的概念（第一课时）》基础同步练习一、选择题1．数列3，5，7，9，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．2．下列四个数中，哪个是数列中的一项（）A．55B．56C．57D．583．已知数列则是这个数列的（）A．第项B．第项C．第项D．第项4．在1，2，3，…，2020这2020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则（）A．289B．295C．301D．3075．（多选题）已知数列，则前六项适合的通项公式为（）A．B．C．D．6．（多选题）下列四个命题中，正确的有（）A．数列的第项为B．已知数列的通项公式为，则-8是该数列的第7项C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为D．数列的通项公式为，则数列是递增数列二、填空题7．若数列的前4项分别是，，，，则此数列一个通项公式为________．8．如图关于星星的图案构成一个数列，该数列的第20个图案有______.9．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为________．10.天干地支纪看法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为__________.三、解答题11.写出下列各数列的一个通项公式：（1）4，6，8，10，…；（2）…；（3）…；（4）5，55，555，5555，…．12．已知数列的通项公式为.（1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由（2）计算，并判断其符号；（3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？《4.1数列的概念（第一课时）》答案解析一、选择题1．数列3，5，7，9，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为所以.故选：A2．下列四个数中，哪个是数列中的一项（）A．55B．56C．57D．58【答案】B【详解】由，有或（舍去）．所以正确；，，均无正整数解，则、、都不正确．故选：．3．已知数列则是这个数列的（）A．第项B．第项C．第项D．第项【答案】D【详解】由数列的通项公式，可得，所以，所以是第项.故选：D.4．在1，2，3，…，2020这2020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则（）A．289B．295C．301D．307【答案】B【详解】由题意可知即是2的倍数，又是3的倍数，即是6的倍数，则，所以，所以.故选：B.5．（多选题）已知数列，则前六项适合的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】AC【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；对于选项B，取前六项得：，不满足条件；对于选项C，取前六项得：，满足条件；对于选项D，取前六项得：，不满足条件；故选：AC6．（多选题）下列四个命题中，正确的有（）A．数列的第项为B．已知数列的通项公式为，则-8是该数列的第7项C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为D．数列的通项公式为，则数列是递增数列【答案】ABD【详解】A，数列的第出项为，A正确；B，令，得或（舍去），B正确；C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为，则其通项公式为，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为C错误；D，，则，因此数列是递增数列，D正确，故选：ABD．二、填空题7．若数列的前4项分别是，，，，则此数列一个通项公式为______．【答案】【详解】观察数列得分母是2开始，故分母为，奇数项为负，故有，∴通项为8．如图关于星星的图案构成一个数列，该数列的第20个图案有______.【答案】【详解】观察数列中的星星构成的规律：当时，有个，当时，有个，当时，有个，所以当时，有个。9．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为________．【答案】【详解】由数列是单调递增数列，所以，即，即（）恒成立，又数列是单调递减数列，所以当时，取得最大值，所以.10.天干地支纪看法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为__________.【答案】已巳【详解】由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，从2020年到2049年一共有30年，且2020年为庚子年，则，2049年的天干为已，余6，2049年的地支为巳，故2049年为已巳年。三、解答题11.写出下列各数列的一个通项公式：（1）4，6，8，10，…；（2）…；（3）…；（4）5，55，555，5555，…．【详解】（1）易知该数列是首项从4开始的偶数，所以该数列的一个通项公式为．（2）易知该数列中每一项分子比分母少1，且分母可写成，…，故所求数列的通项公式可写为．（3）通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择．又第1项可改写成分数，所以每一项的分母依次为3，5，7，9…，可写成的形式，分子为3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6……．可写成的形式．所以该数列的一个通项公式为．（4）这个数列的前4项可以变为即即所以它的一个通项公式为．12．已知数列的通项公式为.（1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由（2）计算，并判断其符号；（3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？【详解】（1）是,令,即,解得,0.25是数列的项,是第17项（2）由题,,,,即（3）由（2）可得数列是递增数列,则最小项为首项,即,无最大项《4.1数列的概念（第一课时）》提高同步练习一、选择题1．数列2，0，2，0…的通项公式可以是（）A．B．C．D．2．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项3．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（）．A．648B．722C．800D．8824．已知数列的通项公式为（），且数列从第项起单调递减，则的最小值为（）A．11B．12C．13D．不存在5．（多选题）已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A．B．C．D．6.（多选题）若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（）A．B．C．D．二、填空题7．__________.8．已知，若数列中最小项为第3项，则________．9．若数列{an}为单调递增数列，且，则a3的取值范围为__________.10.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是__________．三、解答题11.在数列中，.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？（2）求数列中的最大项.12.在数列中，已知，且.（1）求通项公式；（2）求证：是递增数列；（3）求证：.《4.1数列的概念（第一课时）》答案解析一、选择题1．数列2，0，2，0…的通项公式可以是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】选项A中，取不到1，其通项公式中不含，A错误；选项B中，当是奇数时，，当是偶数时，，B正确；选项C中，，C错误；选项D中，，D错误．故选：B．2．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项【答案】C【详解】令，解得.故选：C3．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（）．A．648B．722C．800D．882【答案】C【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：．则此数列第40项为．故选：C4．已知数列的通项公式为（），且数列从第项起单调递减，则的最小值为（）A．11B．12C．13D．不存在【答案】A【详解】，，，由数列从第项起单调递减可得，即，，解得或（舍去），，，，，即从第11项起，单调递减，的最小值为11.故选：A．5．（多选题）已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A．B．C．D．【答案】BD【详解】因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A：不符合题设；选项B：，符合题设；选项C：，不符合题设；选项D：，符合题设.故选：BD.6.（多选题）若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（）A．B．C．D．【答案】CD【详解】对，若，则，所以不为递减数列，故错误；对，若，则，所以为递增数列，故错误；对，若，则，所以为递减数列，故正确；对，若，则，由函数在递减，所以数为递减数列，故正确.故选：.二、填空题7．__________.【答案】【详解】数列的各项可以顺次整理为：分母是项数加1，分子都是2，前面的正负号可用调节，得到,8．已知，若数列中最小项为第3项，则________．【答案】【详解】因为开口向上，对称轴为，则由题意知，所以．9．若数列{an}为单调递增数列，且，则a3的取值范围为__________.【答案】(-∞，6)【详解】当n≥2时，，因为数列{an}为单调递增数列，所以对n≥2(n∈N)恒成立，即λ＜2n+1对n≥2(n∈N)恒成立，所以λ＜8，所以，故a3的取值范围为(-∞，6).10.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是__________．【答案】144【详解】由题意及图形知，不妨构造数列表示第行实心圆点的个数的变换规律，其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点．故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和．即，且时，，故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144．三、解答题11.在数列中，.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？（2）求数列中的最大项.【详解】（1）令，解得或（舍去）.所以（2），由于，所以最大项为12.在数列中，已知，且.（1）求通项公式；（2）求证：是递增数列；（3）求证：.【详解】（1）∵，∴解得因此.证明（2）∵，∴，故是递增数列.（3）∵，而，∴.故.《4.1数列的概念》教案（第二课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系。“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系、数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系等。数列作为一种特殊的函数，是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.B.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.1.数学抽象：数列递推公式2.逻辑推理：数列的前n项和与通项的关系3.数学运算：用递推公式求数列的特定项及通项【教学重点和难点】重点：数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式【教学过程】教学过程教学设计意图一、课前小测1．数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2)(n－1)(n＋1)，则a5＝()A．10B．12C．14D．16B解析：由题意，通项公式为an＝eq\f(1,2)(n－1)(n＋1)，则a5＝eq\f(1,2)×(5－1)×(5＋1)＝12.故选B.2．由数列前四项：，，，，…，则通项公式______．【详解】由题意，该数列前四项可变为：，，，，…，由此可归纳得到数列的通项公式为．3．已知数列的前几项是、、、、，写出这个数列的一个通项公式是_________．【详解】该数列的前四项可表示为，，，，因此，该数列的一个通项公式为.二、新知探究例4.图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的通项公式解：在图中（1）（2）（3）（4）中，着色三角形个数依次为1,3,9,27即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1，因此这个数列的通项公式是a换个角度观察图中的4个图形，可以发现a1=1，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的三倍，这样，例4中的数列的前a1=1由此猜测，这个数列满足公式a通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.一、数列的递推公式像an=3a1.设数列{an}满足a1=1,an=1+1an-1(n∈N*,n>1),则a解析:由已知,得a2=1+1a1=2,a3=1+答案:3二、数列的通项与前n项和1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.2.an=S点睛(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即an=S2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)递推公式也是表示数列的一种方法．()(2)所有数列都有递推公式．()(3)an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.()（1）√（2）×（3）√3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求数列{an}的通项公式.解:a1=S1=1+2=3,①而n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②在②中,当n=1时,2×1-1=1,故a1不适合②式.∴数列{an}的通项公式为an=3三、典例解析例1已知数列{an},a1=1,且满足an=3an-1+(-1)n2(n∈N分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.解:由题意,得a2=3a1+(-1)22所以a2=3×1+(-1同理a3=3a2+(-1)32=10,a4=3a3+(-1)42由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.跟踪训练1已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是()A.15 B.255 C.16 D.63解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B跟踪训练2.已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，并猜想通项公式．解：由a1＝2，an＋1＝2an，得：a2＝2a1＝2×2＝4＝22，a3＝2a2＝2×4＝8＝23，a4＝2a3＝2×8＝16＝24，a5＝2a4＝2×16＝32＝25，…，猜想an＝2n(n∈N*)．例2若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.解:∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.变式探究：试求本例中Sn的最大值.解:∵Sn=-2n2+10n=-2n-522+252,∴当n=2或n=3时,Sn最大,即S2或S3最大.已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))跟踪训练3.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an＝____________.解析：∵Sn＝3n2－2n＋1，∴Sn－1＝3(n－1)2－2(n－1)＋1＝3n2－8n＋6.∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－(3n2－8n＋6)＝6n－5.又当n＝1时，a1＝S1＝2不适合上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))通过课前小测，进步深化学生对数列概念的理解和运用。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过具体问题的思考和分析，帮助学生认识数列中的递推公式。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过数列的通项与前n项和的认识，帮助学生理解数列求和概念。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对数列递推公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，帮助灵活运用数列前n项和与通项公式的关系，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.已知数列{an},a1=1,an+1=12an+1A.1 B.14C.34解析:a2=12a1+12=1,a3=12a2答案:C2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于()A.0 B.25解析:由题意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,解得m=25答案:B3.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是()A.第4项 B.第5项C.第6项 D.第7项解析:因为an=-2n2+25n=-2n-2542+所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第6项.答案:C4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an+23,n∈N*,则数列{an}的通项公式an=()A.3×56n-1C.3×56n-1解析:当n=1时,a1=1-5a1+23,解得a1=4.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n-5an+23-(n-1-5an-1+23),即an=56an-1+1即an-1=56(an-1-1),故数列{an-1}是以3为首项,5则an-1=3×56n-1,所以a答案:C5.(1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+1n-1n+1,n求数列的通项公式an.(2)在数列{an}中,a1=1,an=1-1nan-1求数列{an}的通项公式.分析:(1)先将递推公式化为an+1-an=1n-1解:(1)∵an+1-an=1n∴a2-a1=11-12,a3-a2=12-13,a4-a3=将以上n-1个式子相加,得∴(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=1-12即an-a1=1-1n(n≥2,n∈N*∴an=a1+1-1n=-1+1-1n=-1n(n≥2,n∈又当n=1时,a1=-1也符合上式.∴an=-1n(2)因为a1=1,an=1-1nan-1所以an所以an=anan-=n-1n·n又因为当n=1时,a1=1,符合上式,所以an=1n通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.《4.1数列的概念》导学案（第二课时）【学习目标】1.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.2.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.【重点和难点】重点：数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式【知识梳理】一、数列的递推公式像an=3a点睛：通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.二、数列的通项与前n项和1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.2.an=S点睛(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即an=S1.设数列{an}满足a1=1,an=1+1an-1(n∈N*,n>1),则a2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)递推公式也是表示数列的一种方法．()(2)所有数列都有递推公式．()(3)an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.()3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求数列{an}的通项公式.【学习过程】一、课前小测1．数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2)(n－1)(n＋1)，则a5＝()A．10B．12C．14D．162．由数列前四项：，，，，…，则通项公式______．3．已知数列的前几项是、、、、，写出这个数列的一个通项公式是_________．二、新知探究例4.图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的通项公式换个角度观察图中的4个图形，可以发现a1=1，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的三倍，这样，例4中的数列的前a1=1由此猜测，这个数列满足公式a三、典例解析例1已知数列{an},a1=1,且满足an=3an-1+(-1)n2(n∈N由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.跟踪训练1已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是()A.15 B.255 C.16 D.63跟踪训练2.已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，并猜想通项公式．例2若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.变式探究：试求本例中Sn的最大值.已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))跟踪训练3.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an＝____________.【达标检测】1.已知数列{an},a1=1,an+1=12an+1A.1 B.14C.342.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于()A.0 B.253.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是()A.第4项 B.第5项C.第6项 .D.第7项4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an+23,n∈N*,则数列{an}的通项公式an=()A.3×56n-1-1 B.3×56n-1C.35.(1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+1n-1n+1,n求数列的通项公式an.(2)在数列{an}中,a1=1,an=1-1nan-1(n≥2【课堂小结】【参考答案】知识梳理1.解析:由已知,得a2=1+1a1=2,a3=1+答案:32.（1）√（2）×（3）√3.解:a1=S1=1+2=3,①而n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②在②中,当n=1时,2×1-1=1,故a1不适合②式.∴数列{an}的通项公式为an=3学习过程一、课前小测1．B解析：由题意，通项公式为an＝eq\f(1,2)(n－1)(n＋1)，则a5＝eq\f(1,2)×(5－1)×(5＋1)＝12.故选B.2．【详解】由题意，该数列前四项可变为：，，，，…，由此可归纳得到数列的通项公式为．3．【详解】该数列的前四项可表示为，，，，因此，该数列的一个通项公式为.二、新知探究例4.解：在图中（1）（2）（3）（4）中，着色三角形个数依次为1,3,9,27即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1，因此这个数列的通项公式是a三、典例解析例1分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.解:由题意,得a2=3a1+(-1)22所以a2=3×1+(-1同理a3=3a2+(-1)32=10,a4=3a3+(-1)42跟踪训练1解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B跟踪训练2.解：由a1＝2，an＋1＝2an，得：a2＝2a1＝2×2＝4＝22，a3＝2a2＝2×4＝8＝23，a4＝2a3＝2×8＝16＝24，a5＝2a4＝2×16＝32＝25，…，猜想an＝2n(n∈N*)．例2解:∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.变式探究：解:∵Sn=-2n2+10n=-2n-又∵n∈N*,∴当n=2或n=3时,Sn最大,即S2或S3最大.跟踪训练3.解析：∵Sn＝3n2－2n＋1，∴Sn－1＝3(n－1)2－2(n－1)＋1＝3n2－8n＋6.∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－(3n2－8n＋6)＝6n－5.又当n＝1时，a1＝S1＝2不适合上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))达标检测1.解析:a2=12a1+12=1,a3=12a2答案:C2.解析:由题意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,解得m=25答案:B3.解析:因为an=-2n2+25n=-2n-2542+所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第6项.答案:C4.解析:当n=1时,a1=1-5a1+23,解得a1=4.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n-5an+23-(n-1-5an-1+23),即an=56an-1+1即an-1=56(an-1-1),故数列{an-1}是以3为首项,5则an-1=3×56n-1,所以a答案:C5.分析:(1)先将递推公式化为an+1-an=1n-1解:(1)∵an+1-an=1n∴a2-a1=11-12,a3-a2=12-13,a4-a3=将以上n-1个式子相加,得∴(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=1-12即an-a1=1-1n(n≥2,n∈N*∴an=a1+1-1n=-1+1-1n=-1n(n≥2,n∈又当n=1时,a1=-1也符合上式.∴an=-1n(2)因为a1=1,an=1-1nan-1所以an所以an=anan-=n-1n·n又因为当n=1时,a1=1,符合上式,所以an=1n《4.1数列的概念（第二课时）》基础同步练习一、选择题1．数列…的递推公式可以是（）A．B．C．D．2．已知数列满足，，则（）A．B．C．D．3.数列的前项和，则（）．A．B．C．D．4．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若.且，则解下6个环所需的最少移动次数为（）A．13B．16C．31D．645．（多选题）符合递推关系式an=2an-1的数列是()A.1,2,3,4,…B.1,2,2,22,…C.2,2,22,4,…D.0,2,2,22,…6．（多选题）已知数列满足，且，则（）A．B．C．D．二、填空题7．记为等差数列的前n项和，若（），则_____________.8．已知数列满足，则______.9.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=.10．若数列满足，，，则数列前项的积等于_____.三、解答题11．如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”.设第n条“雪花曲线”有条边.（1）写出的值.（2）求出数列的递推公式.12．根据下列数列的首项和递推公式，写出数列前项，并由此归纳出它的通项公式.（1），；（2），..《4.1数列的概念（第二课时）》答案解析一、选择题1．数列…的递推公式可以是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意可知，数列从第二项起，后一项是前一项的，所以递推公式为.故选：C.2．已知数列满足，，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】，，，，，.故选：A.3.数列的前项和，则（）．A．B．C．D．【答案】B【详解】当时，当时，验证，当时满足，故选：B．4．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若.且，则解下6个环所需的最少移动次数为（）A．13B．16C．31D．64【答案】C【详解】，，，，，，，所以解下6个环所需的最少移动次数为.故选：C.5．（多选题）符合递推关系式an=2an-1的数列是()A.1,2,3,4,…B.1,2,2,22,…C.2,2,22,4,…D.0,2,2,22,…【答案】BC【详解】B与C中从第2项起,后一项是前一项的2倍,符合递推公式an=2an-1.6．（多选题）已知数列满足，且，则（）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】由题意，，A正确，，C正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B错；，D正确．故选：ACD．二、填空题7．记为等差数列的前n项和，若（），则_____________.【答案】17【详解】因为，当时，，所以，又时，也适合上式，所以，所以.8．已知数列满足，则______.【答案】10【详解】由题得时，；当时，.9.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=.【答案】8【详解】∵an=S1(n=1),Sn-Sn-10．若数列满足，，，则数列前项的积等于_____.【答案】【详解】，则，所以，，，则，所以，数列是以为周期的周期