2020-2021学年北京市门头沟区大峪中学高一（下）期中数学试卷（解析版）

2020-2021学年北京市门头沟区大峪中学高一（下）期中数学试

卷

一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.

1.如果。是第三象限的角，那么（）

A.sin0>OB.cos0>OC.tan0>0D.以上都不对

2.若|mIInI=6，n与门的夹角。为45°，则等于（）

A.12B.1272C.-12A/2D.-12

3.若角a的终边经过点（-4,3），则tana=（）

A.—B.工C.—

334

4.如果Z，1是两个单位向量，下列四个结论中正确的是（）

A-a=bB-a*b=1c-2"雷D.中=16

5.要得到函数y=4sin（4xK）的图像，只需要将函数尸sin4x的图像（）

O

A.向左平移盲■个单位B.向右平移五个单位

7TJT

C.向左平移g个单位D.向右平移g个单位

o

6.计算cos200cos80°+sinl600cosl0°=(）

A.—B.近C.」D.

2222

TTJT

7.函数f(x)=Asin((jox+(p)(A>0,u)>0,冬）的部分图象如图所示，则

22

8.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（―x+<p）+k.据

6

此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

y.水深/m

时间h

O6

jrTT

9.函数f（x）=sin2x-«cos2x在区间［——>/-］上的零点之和是（）

71「冗「兀一冗

A.-B.C•D.-

3366

10.在△OAB中，04=08=2,AB=2«，动点P位于直线0A上，当证.而取得最小值

时，向量且与诬的夹角余弦值为（）

277rV21nV21

7773

二、填空题（每小题5分，共25分）

11.tan2010°的值为.

12.若6为第四象限的角，且sin8=-£，贝IJcos0=；sin20

13.设向量！，己满足|』=2,后|=3,芯>=60。，则（:+4）=.

14.如图，在矩形4BCD中，4B=2,BC=&,点£为BC的中点，点尸在边CO上，若族

,AF=1,则标•下的值是

F

D,——r-------------iC

15.把函数丫=$出版的图象沿x轴向左平移2个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标

不变）后得到函数y=/（x）图象，对于函数y=/（x）有以下四个判断:

①该函数的解析式为y=2sin（2r+—）；

b

IT

②该函数图象关于点(g,0)对称；

jr

③该函数在［0,上是增函数；

6

JT

④函数y=f(x)+a在［0,k］上的最小值为则a=2«.

其中，正确判断的序号是.

三、解答题(6小题，共85分)

16.已知向量之=(1,0),b=(-l,2).

(1)求2Z+E的坐标：

⑵求a・(a-b)-

TTO

17.已知a£(0,-7^),且sina二三.

25

JT

(I)求sin(a的值；

(H)求cos2-^-+tan(_^-+a)的值.

TT1

18.已知^----<x<0，sinx+cosx=­・

25

(I)求sinx-cosx的值；

2

(II)求我型姐2-的值.

1-tanx

19.已知函数/(x)-V2sin2y.

(I)求f(X)的最小正周期；

(II)求/(X)在区间［-TT,0］上的最小值.

20.己知函数f(x)=、/§sin2x+2cos*x+ir在区间〔0，［丁］上的最大值为6.

JT

(1)求常数，〃的值以及函数f(x)当xe［o,彳］时的最小值.

TT

(2)将函数/(x)的图象向下平移4个单位，再向右平移工二个单位，得到函数g(x)

4

的图象.

(i)求函数g(%)的解析式；

TT

(ii)若关于x的方程2g(x)7=0在xe［0,”-］时，有两个不同实数解，求实数r

的取值范围.

21.如图，在扇形OAB中，ZAOB=\20a,半径0A=OB=2,P为弧窟上一点.

(I)若OALOP,求证.说的值;

(ii)求瓦・丽的最小值.

参考答案

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.如果。是第三象限的角，那么（）

A.sin0>OB.cos0>OC.tan0>OD.

【分析】根据象限角的符号特点即可判断.

解：如果。是第三象限的角，则sinOCO,cos0<0,tan9>0,

故选：C.

2.若品=4,I；1=6,彳与；的夹角。为45°，则嬴7等于<)

A.12B.1272C.-12加D.-12

【分析】直接利用向量的数量积公式求解即可.

解：品=4，G1=6，1与：的夹角。为45°，

则n=4X6X12V2-

故选:B.

3.若角a的终边经过点（-4,3）,则tana=（）

A.—B.工C.—D.3

3347

【分析】由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切值，正切值为纵坐

标与横坐标的商.

解：由定义若角a的终边经过点（-4,3）,，tana=Y，

4

故选：D.

4.如果£1是两个单位向量，下列四个结论中正确的是（）

A.Z=EB.C.22#三2D.|；|2=|声

【分析】由相等向量的概念：大小相等，方向相同的两向量为相等向量，即可判断A；

由向量的数量积的定义，即可判断8；

由向量的平方即为模的平方，以及单位向量的概念，即可判断C,D.

解：4单位向量是模为1的向量，但方向可不同，故A错；

B~a•b=l-al,lbl，cos<a,b>=cos<a,b>>故3错；

C；2=/=l,,=后=1,故;2耳2,故c错；

D.|才=1,|寸=1,故。对.

故选：D.

TT

5.要得到函数y=4sin(4x「r)的图像，只需要将函数y=sin4x的图像()

A.向左平移三个单位B.向右平移三个单位

1212

TTJT

C.向左平移名个单位D.向右平移2个单位

33

【分析】由题意利用函数尸Asin(3"隼)的图象变换规律，得出结论.

JTH

解：要得到函数y=4sin(4x—的图像，只需要将函数尸Sin4x的图像向右平移.个

单位，

故选：B.

6.计算cos20°cos80°+sin160°cos10°=()

A.—B.返C.1D.-3^

2222

【分析】利用诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得

解.

解：cos20°cos80°+sinl60°coslO°

=cos20°cos80°+sin20°sin80°

=cos(80°-20°)

=cos60°

故选：A.

TTTT

7.函数/(x)=Asin(a)x+(p)(A>0,a)>0,-一了〈年〈5)的部分图象如图所示，则

/⑴=()

6363

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出4由周期求出3,由五点法作图求出＜p的值,

从而得到函数的解析式.

解：由图象可得4=1,再根据为=号-”=自，可得7=2,

4362

所以3=2券=TT,

再根据五点法作图可得nx"+6=0,求得巾=-卷，

JT

故函数的解析式为f（x）=sin（ITX--）.

6

故选：C.

JT

8.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（―x+（p）+k.据

m）的最大值为（）

C.8D.10

【分析】由题意和最小值易得女的值，进而可得最大值.

解：由题意可得当sin（―x+（p）取最小值-1时,

6

函数取最小值ymin=-3+%=2,解得2=5,

7T、

・，・)?=3sin(-^x+(p)+5,

，当当sin(―x+(p)取最大值1时,

6

函数取最大值"〃ar=3+5=8.

故选：C.

TTJT*

9.函数£6)=$曲2乂-/正。52乂在区间［号-,彳］上的零点之和是()

71717T7T

A.-B.—C.—D.—

3366

【分析】利用辅助角公式化积，求得函数的零点，作和得答案.

兀

解：f(x)=sin2x-V3cos2x=2sin(2x--)>

o

,7TTTk兀,

由2x^一丁二k兀，kwZ,得x=-^—+―--,^EZ.

362

・・仁「兀兀1--71兀

/丁，彳］,..X-y，飞■.

则函数f(x)=sin2x-«cos2x在区间［义，上的零点之和是千斗二号

22000

故选：D.

10.在△OAB中，04=08=2,即=2«，动点P位于直线0A上，当证.而取得最小值

时，向量近与说的夹角余弦值为()

A377R277rV21nV21

7773

【分析】取AB的中点C,则m.而=记-［足2=而2-3,要使得正.闻最小，只

需I玩I最小，由此能求出结果.

解：如图所示，取A8的中点C,则包,丽1•瓦?二玩2-3,

则要使得瓦•而最小，只需I而I最小，

而此时，CPLOA,此时可根据已知条件0A=0B=2,48=2«,

解得幺=2，PB=^2L,PC=®

222

•••记・丽=京-3=-/

9

PA・PB~~4

.\cos<pX.pB>=V21

|PA|-|PBIV213~T~

~2~'~2

故选：c.

二、填空题(每小题5分，共25分)

11.tan2010°的值为返.

一3一

【分析】因为2010°=5X360°+210°而210°=180°+30°所以根据三角函数的诱导

公式得到即可.

解：tan2010°=tan(5X360°+210°)=tan(180°+30°)=tan30°=返

_3

故答案为返

3_

12.若。为第四象限的角，且sin8=-《，则cos0=地；sin26=-生但.

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos。，进而利用二倍角的正弦函数公

式可求sin20的值.

解：为第四象限的角,且sin"]，

O

2

.•.cos0=7i-sine=-^>

o

sin20=2sin0cos0=2X(--)

__339

故答案为：乎，-平.

39

13.设向量W，己满足|；|=2,后=3,1>=60°,则会(W+E)=7.

【分析】利用已知条件，通过向量的数量积化简求解即可.

解：向量a，b满足।a1=2,lfcj=3,Va，b>=60°，则a，(a+b)=[2+a.E=4+2

x3X-1=7.

故答案为：7.

14.如图，在矩形A8CO中，A8=2,8C=&,点E为BC的中点，点/在边C£>上，若旋

,AF=1>则曲标的值是2

a

【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得尸的坐标，进而可得向量的坐标，可得数量

积

解：建立如图坐标系；

则A(0,0),B(2,0),C(2,&),E(2,孝)，F(x,&)；

*'•AB=⑵0),的=(x,5/2)，AE=⑵；

-'•AB*AF=2jc=1=>x=p

・二标•屈=2x+l=1+1=2；

故答案为：2

15.把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移丁个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标

6

不变)后得到函数y=f(x)图象，对于函数y=f(x)有以下四个判断：

JT

①该函数的解析式为y=2sin(2x+—)；

0

②该函数图象关于点(I彳T,0)对称；

O

③该函数在［0,冬TT］上是增函数；

6

④函数y=f(x)+a在［0,彳］上的最小值为则a=2«.

其中，正确判断的序号是②④.

TT

【分析】根据函数丫=4$仙(3X+CP)的图象变换规律求得了(x)=2sin(2x+—),由此

可得①不正确.求出函数的对称中心为(W-三，0),可得②正确.

26

CjrTTJT

求出函数的单调增区间为伙TT-55，加+五］,依Z,可得③不正确.由于当花［0,—］

时，求得/(x)+〃的最小值为-F+a=F，可得。的值，可得④正确.

解：把函数y=sin2r的图象沿x轴向左平移首个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐

标不变)后，

得到函数y=/(x)=2sin2(x+——)=2sin(2x+——)的图象，

63

TT

由于/(x)=2sin(2x+—),故①不正确.

o

令2x+3=E，依Z,求得、=塔-各，kez,故函数的图象关于点(粤-F，0)

32626

对称，

TT

故函数的图象关于点(丁，0)对称，故②正确.

O

TTTTTT5TT7T

2kn---^2x+--,kwz,可得加-加+7^,kwz,

故函数的增区间为伙IT-等，闻+*|,依Z,

TT

故函数在［0,丁］上不是增函数，故③不正确.

6

当xe［0,时，2计冬日：，斗I，故当〃+冬=等时，/(X)取得最小值为-M，

乙000OO

函数y=/(x)+”取得最小值为-V34-0—V31

故a=-2«,故④正确.

故答案为：②④.

三、解答题(6小题，共85分)

16.已知向量之=(1,0),b=(-l,2).

(1)求2Z+E的坐标；

(2)求a・(a-b>

【分析】利用向量加法、数乘以及数量积的坐标运算公式计算即可.

解：⑴因为之=(1,0)，b=(-l,2).

所以2l+E=2(1，0)+(-1,2)=(2,0)+(-1,2)=(1,2)；

(2)a«(a-b)=(1，0)•(2,-2)=1X2+OX(-2)=2.

jrq

17.己知aC(0,-T-),且sina=三.

2b

jr

(I)求sin(a的值；

(II)求cos2-^-+tan(~^_+a)的值.

【分析】(I)根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出,

(II)根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出.

【解答】解（I）：因为a£（0,sinO.=-^-»

25

所以cosCI.=71-sin2a.=-F-

所以sin（a-千）=^^（sina-cosa

Q4

（II）：因为sina二m，cosQ.=—,

55

而I”__sinCl3

所以tana=-.

cosCL4

2a,冗△、1+cosCl1+tanCl79

所以cos三+tan（k+a）=-^^F疝

10

九1

18.已知一--<x<0,siru:+cosx=—.

25

(I)求siar-cosx的值；

2

(II)求sin2x+2sinx的值.

1-tanx

【分析】(1)通过同角三角函数的基本关系式化简求出(simr-cosx)2的值，通过工的

范围求出结果即可.

(2)通过化简表达式，直接利用(1)的结果求解即可.

解：（1）由siar+cosx=—,平方得sin2x+2sirLrcosx4-cos2x=z—

525

B|J2sinxcosjc=—V（siav-cosx）2=1-2sinxcosx=-^-

2525

兀

又<----<x<0,sinx<0,cosx>0,sinr-cosx<0,

2

故sinx-cosx=---・・；

5

.cn-22si.nxcosx+2si.n2x•/..\

力sin2x+2sinx_---------；----------2osinxcosx（cosx+sinx；

y---;-----------—smx：

1-tanx1------cosx-smx

cosx

“1乂5_24

XTX7-175

19.己知函数f(x)=V2sin|cos|-V2sin2-1.

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)求/(x)在区间［-1T,0］上的最小值.

【分析】(I)运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简/(X),再由正弦函数的周

期，即可得到所求；

(II)由X的范围，可得X+2的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值.

4

解：(I)/(x)=V2sin-|<os-|--V2sin2y

&•V2、

=--sinx--—(1-cosx)

22_

.兀，.兀y/~2

=sirucos—+cosxsin-------

442

=sin(x+匹)-返，

42

则/(X)的最小正周期为2n；

(II)由-nWxWO,可得

即有-

则当时，sin(尤+二)取得最小值-1,

44

则有/(x)在区间［-m0］上的最小值为-1-堂.

JT

20.已知函数f(x)=、巧sin2x+2cos?x+ir在区间10，上的最大值为6.

TT

(1)求常数机的值以及函数/(x)当在［0,时的最小值.

JT

(2)将函数/(X)的图象向下平移4个单位，再向右平移」7个单位，得到函数g(x)

4

的图象.

(i)求函数g(x)的解析式：

TT

(ii)若关于x的方程2g(x)7=0在托［0,七］时，有两个不同实数解，求实数f

的取值范围.

【分析】(1)由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域

和值域，求得根的值，可得函数的最小值.

(2)(i)由题意利用函数尸Asin(3x+<p)的图象变换规律，得出结论.

(ii)由题意可得，方程sin(2%-3)=［,在xe［O,时，有两个不同实数解,

再利用正弦函数的图象和性质，求得，的范围.

7r

解：(1)•函数f(x)=«sin2x+2cos2x+ir=«sin2x+cos2x+l+,w=2sin(2x+—)

+1+〃?，

在区间［0,上，2x+?日工，?］,

2bob

7TTTjr

故当2x+=-=-^-时，最大值为6=2+1+如.*.w=3,B|Jf(x)=2sin(2x+—-)+4.

626

兀7冗

故当您+丁=一时，函数/(X)取得最小值为-1+4=3.

66

TT

(2)(i)将函数/(x)的图象向下平移4个单位，可得y=2sin(2x+^二)的图象;

6

JTJT

再向右平移二个单位，得到函数g(x)=2sin(2x--)的图象，

43