2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 圆 压轴题过关强化训练（二）

九年级数学下册第三章圆压轴题

过关强化专题训练(二)

1.如图示，48是。。的直径，点尸是半圆上的一动点(尸不与48重合)，弦朋平分N

BAF,过点。作“，然交射线4尸于点/£

(1)求证：与。0相切：

(2)若力£=8,力修10,求〃£长；

(3)若48=10,4尸长记为x,中长记为人求y与x之间的函数关系式，并求出4片炉

2.如图Rta/lbC中，N48a90°,。是斜边4c上一个动点，以肥为直径作。。交8c于

点。，与4c的另一个交点E连接〃£

(1)当加命时，

①若而=130°,求NC的度数;

②求证48=/IP；

(2)当48=15,绘=20时

①是否存在点儿使得48跳是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的。的长；

②以。为端点过Q作射线DH,作点。关于宏的对称点。恰好落在N。沙内，则少的取

值范围为.(直接写出结果)

3.如图，为。。的直径，于点G,£是切上一点，且BE=DE,延长砥至点儿

连接用痕PC=PE,延长的与。。交于点月连结劭，FD.

(1)连结8a求证：2BC陌△DFB、

(2)求证：外是。。的切线；

(3)若tanf="|,AG-86=呆瓜求出的值.

4.已知：如图，。。内两条弦48、CD,且熊，勿于£以为。0半径，连接47、BD.

(1)求证：/OAC=/BCD：

(2)作EN'BD千N'延长NE交AC干点、H.求证：AH=CH-,

(3)在(2)的条件下，作N曰〃[=60°交四于点尸，点户在在•上，连接PC交HN干点、

L,当EL=HF=247,CL=8,BE=2PF时,求。。的半径.

c

H

图1图2图3

5.如图，已知四为。。的直径，C为。。上一点，8G与。。相切于点8交4c的延长线于点

。(点。在线段8G上)，AC=Q,tanNBDC=J.

(1)求。。的直径；

(2)当。G=]■时，过G作GE〃包交外的延长线于点£,证明把与。。相切.

6.如图，△48C中.N801=90°,以为直径的。。与NS4C的平分线交于点。，作此，

AC于点、E.

(1)求证：如是。。的切线；

(2)若N8=30°,。。的半径为4,求弧勿，线段宏及切线底围成的阴影部分面积.

7.如图①，熊为。。的直径，点C在。。上，4。平分Na以力。与此交于点尸，过点。作

DELAB干点、E.

图②

(2)如图②，连接0尸，若N"Z7=45°,半径为2时，求4C的长.

8.如图，必为O0的直径，£是〃C上一点.若DE=6cm,CE=2cm,过点£作。。的弦48

(1)求他长度的最小值；

(2)当48最小时，求弓形4第的面积.

9.如图，在RtZVlbC中，NC=90°、N/=30°,0在斜边48上，半径为1切的圆。过点

B,切4C于点〃，交8c于点E

(1)求线段EC的长；

DC

10.如图，为。。的直径，C为。。上一点，过点C的切线与垂直，且交4E的延长线

与点。连接礼.

(1)求证：CE=CB、

(2)若47=2近，CE=®求的长.

参考答案

1.(1)证明：连接勿，如图1所示：

\'OD=OA,

：.NOAD=ZODA,

•••朋平分工%旧，

：.AOAD=Z.FAD.

：・/ODA=/FAD、

：,OD//AF,

DE-LAF,

：.DE±OD,

又・•.勿是。。的半径，

・・・斯与。0相切：

(2)解：连接劭，如图2所示：

..Y8是。。的直径，

：・4ADB=9N,

,:DE1AF、

：.Z.AED=9Q°=NADB,

又YNEAD=NDAB,

:•△AED^AADB、

.*.AD：AB=AE：AD,

：/=ABX4-10X8=80,

22=

在中，由勾股定理得：DE^VAD-AE^80-82=4；

(3)连接〃尸，过点〃作〃G,熊于G,如图3所示：

<ZAED=ZAGD=90°

在和中，ZDAE=ZDAG,

AD=AD

：./\AED^^AGD(X/4S),

：.AE=AG,DE=DG,

•:NFAXNDAB,

DF=DB>

：.DF=DB,

DE=DG

在Rt△叱和Rt/\DGB中,

DF=DB'

，Rt△诋丝RtZ\〃G8(HD,

：.EF=BG,

：.AB=AG^BG=AREF=AREREF=AR-2EF,

即：2y=10,

•'■y=——A+5,

2

:.AF・EF=-—x+5x=-—(x-5)2+—,

222

OR

•.J尸•标有最大值，当x=5时，4尸•中的最大值为年.

2.(1)①解：连接绘，如图1所示:

.「8"是直径，

：.NBEC=qQ°,

•.•俞=130。，

.•・征=50。，

正=邪，

.•.笳=100。，

，N砒=50°,

.­.ZC=40°；

②证明：；加=育，

：.ACBP=EBP,

「N力密N4=90°,N》N4=90°,

；.ZC=NABE,,：NAPB=NCB8NC、NABP=NEB巴NABE,

：.NAPB=NABP,

：.AP=AB^

(2)解：①由48=15,仇=20,

22=

由勾股定理得：47=7AB+BC7152+202=25,

•.•^AB'BC^^AOBE,

即'•X15X20=/x25X8£

:.BE=12'

连接DP,如图1-1所示：

户是直径，

:./PDB=qy,

腕=90°,

：.PD//AB,

：.^DCP^/\BCA,

.CP=CD

"AC-BC'

CP==型巫=且，CD,

BC204

△8班是等腰三角形，分三种情况：

当BD=BE时,BD=BE=\2,

：,CD=BC-8p=20-12=8,

55

・•・CP=—CD=—X8=10；

44

当80=ED时,可知点。是Rt△速斜边的中线，

2

5525

.,.CP=—X10=—；

442

当DE=BEM,作EH±BC,则，是被中点，EH//AB,如图1-2所示：

AE=22=

VAB-BEV152-122=9>

CE=AC-然=25-9=16,CH=BC-BH=20-BH,

'：EH//AB,

.CH=CE

"BH-AE)

Bn20-BH16

BH9

解得：BH=冬,

5

79

：,BD=2BH=—,

5

79op

：,CD=BC-BD=20--=—,

55

：.CP=—CD=—X—=7；

445

综上所述，48班是等腰三角形，符合条件的。的长为10或手或7；

②当点，落在NC方的边以上时，"最小，如图2所示：

连接00.OE、QE、BE,

由对称的性质得：底垂直平分0。，

OD^QD,0E=QE,

■：0D=0E,

；.0g0E=QgQE,

二四边形是菱形，

：.P0//0E,

・・・P8为直径,

・•・/勿8=90°,

：.PD±BC,

•:4ABC=90。,

:・PD"AB,

:'DE"AB,

\'OB=OP,

・•・龙为△48。中位线，

:.PE=AE=9、

.\PC=AC-PE-AE=25-9-9=7；

当点。落在NO%的边外上时，CP最大,如图3所示:

连接00、00.OE、QD,

同理得：四边形勿H是菱形，

：.0D〃QE、

连接DF,

'：ZDBA=90°,

.二诉是直径,

・"、0、尸三点共线，

：,DF//A0,

：.N0FB=NA,

\'0B=0F,

:•乙0FB=N0BF=NA、

:・PA=PB、

•：NOBR4cBp=4姑40=90°,

NCBP=ZC,

:・PB=PC=PA,

：.PC=—AC='\2.5,

2

.\7<CP<12.5,

故答案为：7<CPV12.5.

图2

图1-2

图1-1

图1

3.解：(1)证明：因为BE=DE,

期以NFBD=NCDB,

在△及》和△力力中：

ZBCg4DFB

ZCDB=ZFBD

BD=DB

所以△83△/3(/MS).

(2)证明：连接OC.

因为NPEC=ZED吩NEBD=2ZEDB,

4COB=24EDB、

所以NC0B=NPEC,

因为PE=PC'

所以ZPEC=NPCE,

斫以NPCE=NCOB,

因为ABLCD于G,

所以NC0*N0CG=9O°,

所以NO0/阳=90°,

即/0方=90°,

所以OC±PC,

所以即是圆。的切线.

(3)因为直径/8_L弦必于G,

所以BC=BO,CG=DG,

所以NBCD=NBDC,

9

因为NF=/BCD,tanF=—,

3

所以NtanN3g看=导

设BG=2x,则CG=3x.

连接力C,则N4?8=90°,

由射影定理可知：CG=AG,BG,

所以AG=毁,

BG2x2

573

因为AG-BG=

3

所以红-2x=2叵，

23

解得,

3_

所以85=2*=>^,CG=3x=2y]3,

22=

所以BC=VCG+BG-^V^

所以BD=BC=2匣,

3

因为NEBgZEDB=ZBCD,

所以△〃砥〜△〃8C,

所以器喘

DCDB

因为CZ?=2CG=4

所以史=J^i」时

CD9

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

•・•N6M份N0处N4—80°,

・・・2N"aN彳a=180°,

/A0C=2NABC、

・・・NOAC+NABC=93,

ABA-CD.

ABC+/BCD=9G,

：.40AC=/BCD：

(2)YEN工BD、ABICD,

:・/DEMNCDN=W,NAE出NDEN=9G,

，乙AEH=4CDN,

又4CDB=4CAB,

，CAB=/AEH,

：.AH=HE,

,：/CA济/ACE=/AE卡/CEH=Q,

/.2ACE=4CEH,

:・CH=HE、

:・AH=CH；

(3)如图3,延长施至Q,使,HQ=HE,连接取在力尸上取点7,使。7=如过点"乍

LR1CD千R,

图3

'：AH=CH=HE=HO.4FHE=60°,

・•・△/O是等边三角形，

:・HQ=HE=QE、ZHOE=ZHEQ=Z0HE=6QQ,

・：EL=HF=2"

：,FQ=HL,

设N4〃0=2a,则NC隹=180°-2a-60°=120°-2a,

・•・NAEH=4HAE=60-a,

・・・N/£0=60°-AAEH=a,

N〃Z2=60°+a,

'：TQ=F0,

：.ZETQ=ZAFQ=60°+a,

・・.N%E=180°-a-(60°+a)=120°-a；

:・/TQE=/CHL、

又,：QE=CH,QF=HL,

，丛ETg/\CLH(SAS),

:・CL=ET=8,^HCL=^TEQ=a,

YHC=HE、NCHE=120°-2a,

：・NHCE=NHEC=3G+a,

・•・/%£•=30°,

YLRLCD、

1・LR=占CL=4,CR—^y^Z./?=4

RE=22=

'VLE-LRV28-16=2M，

**CE=6A/3»

•：4PCE=30。,CE1AB、

・,・"=«%CP=2PE、

:,PE=6,CP=n,

：.PL=CP-CL=4、

•：CH=HE,HG工CE,

••CG=GE=3

,:HG〃LR,

,RE_LE

.2«_2V7

.•砺一茁’

：.HE=3-fj=AH=HC,

•：ZCPE=NEHF=60°,』PEL=ZHEF,

△也s△町

.EFLE

"TE"PE'

,EF2A/7

"3V7=6'

.-.EF=7,

:、PF=3

YBE=2PF,

:・BE=2、

22=

：、BC=7CE+BEV108+4=4V7

・：AH=CH,

:、OH工AC、

.'.tanZCAO=tav\ZBCE=里

CBAO

.&V3=3V7

"V7AO5

•Mg

3

5.解：(1),.Y8为。。的直径，C为。。上一点，

：.ZACB=90°,

.・.8G与。。相切于点8,

:・/ABD=9G,

，BDC+/BAC=9G,ZABC+ZBAC=90°,

/.NBDC=/ABC,

4

*.*tanNBDC=—,

3

4

・・tanNABO——.

3

\'AC=Q,

•ACA

..瓦一=?

._8_=1

"BC3'

BC=6,

，由勾股定理得：48=10,

的直径为10；

(2)过点。作DF1.GE千F,过点。作0H1.GE干〃交力。于M,

B

EH尸G

GE//AD,

：.ZG=ZBDC,

4

..tanNG=tanNBDC=—,

3

・,・设。尸=4x,FG=3x,

5

•：DG=3,

2

，由勾股定理得：(4x)2+(3x)三尊

4

解得：x=

."尸=4x=2,

'：GE//AD,DFLGE,OH1.GE,

：.DF=MH=2,OMrAM,

又•・•。为四中点,

：.0M=—BC=3,

2

：・0H=5,

又丁。。的直径为10,从而半径r=5,

：.OH=r、

...EG与。。相切.

6.解：(1)如图，连接OD,

a

I

'：OD=OA,

・•・NODA=ZOAD,

•・,/0平分N&IC,

・•・4BAD=乙DAC、

ODA=NDAC,

：.0D//AC.

'：DELAC.

：・0D工DE,必是。。的半径，

・•・班是。。的切线；

(2)连接。C、0C,

「熊是。。的直径，

・・・/4笫=90°,

VZB=30°,

，NBAC=60°,

•：OA=OC,

・•.△)C是等边三角形，

：.AAOC=^0CA=6Q0,

'：0D//AG.

DOC=N0CA=6G,

•：OC=OD,

・•・△，勿是等边三角形，

：,DC=0D=4,ZODC=60°,

Y/0DE=9G,

CDE=3b0,

••・CE=2,DE=?M，

■■S阴影=^^DCE一(S扇形0co~“打》)

=LcE・DE-(60兀x42_工0＞出

23602

=1X2X2^/3--1n+A-X4X2V3

=6V3--1n-

答：弧⑺，线段宏及切线如围成的阴影部分面积为(673-|n).

O

7.(1)证明：如图①中，延长"交。。于G,连接4G.

图①

•：AB±DG,48是直径,

BD=BG-DE=EG，

平分NC48,

:./CAA/DAB,

而=BD-

BC=DG>

：.BG=DG=2DE.

(2)解：如图②中，作用」48于尺OSLAD于S.

平分工勿用FC2-AC,FRLAB,

ZCAD=ZBAD=x,FC=FR、

「♦N皈=90°-2x,

ZAFO=45°,

：.ZFOB=45°+x,

・・・N0&=18O°-(90°-2x)-(45°+x)=450+x,

:・/FOB=NOFB

：.BF=BO=OA,

•:NFRB=NACB=9Q°,NFBR=NABC,

:.△BFRs^BAC,

.FB=FR=2

"AB-AC-?)

：.AC^2FR^2FC,

.,.tanN/TIQtan,

2

设Sgt,AS=2t,SF=SO=t,

则t2+4t2=4,

t>0,

・L2泥

--5-1

.'.4尸=31=名度，设CF=m,贝I]4c=2%

5

则有5序=学，

5

•・力>0,

._6

•■m——■,

5

:.Ag2m=^

5

8.解：(1),:DE=6cm,CE=2cm,

••CD--8cm,

;切为。。的直径，

.9.00=0C=4cm,

0E=2cm、

.••48是。。的弦，

..・如图，当4艮L缈时,48最小,

连接0A,

,:ABLCD'

：.AE=^AB,

'-AE=VOA2-OE2=V42-22=2V3'

.•J8=4«,

即四长度的最小值为4«；

(2)'：ZAEO=90°,0E=2,0A=4,

：.OE^—OA,

2

:.NA0