2022届高考数学考前押题及答案

2022年高考数学考前押题

1.如图，ABCQE尸是由两个全等的菱形A8EF和CDFE组成的空间图形，AB=2,ABAF

=/EC£)=60°.

(1)求证：BD±DC：

(2)如果二面角B-EF-。的平面角为60°,点P为棱。尸上的动点，求直线BP与平

面BCE所成最大角的正弦值.

【分析】(1)取EF中点G,连接BG,DG,先由线面垂直的判定证明出EF垂直平面

BDG,即可求证CC垂直B。；

(2)由题易知NBG£>=60°,可先由等体积法求出。到平面8CE的距离，再根据三角

函数表示出直线BP与平面BCE所成角，即可进行求解.

【解答】解：(1)如图，取EF中点G,连接BG、DG,

在菱形A8EF中，因为/B4F=60°,...△BEF是正三角形，

：.EF1.BG,同理在菱形CDEf中，可证EFJ_OG,

，《尸，平面BOG,：.EFLBD,又•：CD"EF,:.CDLBD.

(2)由(1)知，NBGQ是二面角8-EF-£>的平面角，即/BG£>=60°,

又BG=GD=yfi,.,.△8OG是正三角形，即有BD=g,

如图，取。G的中点O,连接BO,贝i」BO_LOG,

B

又由（1）知EF_L8O,；DGCEF=G,CDEF,KB0=

又BD^CD,则在RtABDC中，BC=y/BD2+DC2=夜，

，SABCE=|xV7x14一;=苧，设。到平面BCE的距离为h,

11?、气

=XX-X=,

则/_OCE=可X8。xS^DCE324~^~2"

^D-BCE=[x九xS^BCE=I'x九x=孚，解得九=2^^,

又P为棱OF上的动点，且。F〃面BCE,则点尸到平面BCE的距离为“广，

设直线8P与平面8CE所成角为。，则sine=白，其中。40°,90°],

要求直线BP与平面BCE所成最大角的正弦值，只需求BP的最小值即可，

易知I,当时，8尸最小，作垂足为P,由等面积法知，

11/Dn2

△BO尸的面积S=*x0尸xBP=^xBDxJOE2-（号）,

BnDD739.._h翠8V91

即8尸=.’..5山8=而=R=F,

1~

O./Q-1

故直线BP与平面BCE所成最大角的正弦值为二」.

91

【点评】本题考查了空间中线与面垂直的性质，考查了空间中动点问题与二面角的综合

应用.

2.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面A8CQ为矩形，底面ABCDPA=AB=V2,点

E,尸分别是棱P8,PC的中点.

（1）求证：PBVAF-,

（2）若AD=1,求二面角4-EC-。的平面角的余弦值.

【分析】(1)先证明EF_LP8,AE±PB,进而证明尸8_L平面AEF,再证明PB_LAF；

(2)建系，求出平面ACE与OCE的法向量，根据向量法可以求出二面角A-EC-。的

平面角的余弦值.

【解答】解：(1)证明：：出，底面ABCD,BCu平面ABCD,：.PA±BC.

BC±AB,PAC\AB=A,

.•.8C，平面PAB,又PBu平面PAB,

：.BCLPB.

连接•••点E,尸分别是棱PB,PC的中点，

：.EF为△PBC的中位线，J.EF//BC,

J.EF1.PB.

又△啊B为等腰三角形，E为斜边P8的中点，

：.AE±PB.

而£7七平面AEF,AEu平面AEF,EFQAE=E,

AWAEF,又AFu平面4E/，

J.PBLAF.

(2)如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直

角坐标系.

则£)(0,1,0),C(V2,1,0),B(V2,0,0),P(0,0,V2),

E(-^，0,,

：.AC=(V2,1,0),族=(孝,0,孝)，

设平面ACE的法向量为m=z)

m•AC=A/2%1+3/1=0

--7272'取Xl=-1，

(m•AE=区％1+三21=0

则m=(―1,&，1),

设平面DCE的法向量为n=(%2,丫2,Z2),

而DC=(V2,0,0),而=(孝，-1,孝)，

(n-DC=y[2x2=0

则一而a"

Z

(几•DE=-^x2—y2+~2~2=0

取”=1,则n=(0,1,V2),

—>—>,—

・、mmV6

..cos<m,n>=———=

|m|-|n|J

V6

二面角A-EC-D的平面角的余弦值为y.

【点评】本题考查线线垂直的证明，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、

面面间的位置关系等基础知识，是中档题.

3.如图，四棱锥P-ABCZ)的侧面是正三角形，底面A8CZ)是直角梯形，NBAD=

/4。C=90°,AB=AD^2DC,M是BC边的中点.

(1)求证：PM1.AD；

(2)若PB=yflAB,求直线PM与平面方5所成角的正弦值.

p

A

【分析】(1)取AO中点N,通过证明AD_L平面PMN得出

(2)建立空间坐标系，求出平面朋B的法向量就计算法向量1与P%的夹角即可得出结

论.

【解答】(1)证明：取AO的中点N,连接PN,MN,

•.•△外。是正三角形，J.PNLAD,

•.•底面ABC£>是直角梯形，/BAQ=NA£>C=90°,M是BC边的中点,川是A。的中点，

J.MNLAD,

又PNCMN=N,

平面PMN,又尸Mu平面PMN,

:.ADLMN.

(2)解："：PB=y[2AB,AB=AD=PA,

：.PB2=PA1+AB2,.,.PAA.AB,

y.ABA.AD,PA^AD=A,

，AB_L平面PAD,又ABu平面ABCD,

平面ABCO_L平面PAD,

;平面ABC。Cl平面物£>=AZ),PN±AD,PM=平面BAD,

，PN_L平面ABC。，

已N为原点，己NA,NM,NP为坐标轴建立空间坐标系如图所示：

L3

不妨设。。=1,则P(0,0,遮)，A(1,0,0),(1,2,0),M(0,一，0),

2

—>—>—>3

：.PA=(1,0,-V3),AB=(0,2,0),PM=(0,-，-V3),

2

设平面RW的法向量为％=G,y,z),贝|4；廿=°,

即｛1一」?