2019考研高数模拟题目(含解析)

2019最新考研数学模拟试题(含答案)

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题号—总分

得分

一、解答题

1.求不定积分，max(l,|九|)dx.

—X,X<—1

解：max(l,|x|)=<1,-1<x<1

x,x>1

12

一寸+q,x<-l

故原式=《

x+c2,

12,

x

2+，3'X>1

又由函数的连续性，可知:

1,

c2=—+C],c3=1+G,C]=c

12

---A+C,XV—1

2

1

所以Jmax(l,"|)dr=<X+—+C,

2

12,

—X+1+c,x>1

12

2.证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：

⑴£：：；(*-田(必-W；

⑵J：，(6到2-力如+(6尤2y-3孙2)dy；

⑶『2)里二辿沿在右半平面的路径；

(4)f6闾牛+浊沿不通过原点的路径；

证：(l)P=A-y,Q=y-X.显然P,。在xOy面内有连续偏导数，且变=些=-1,

故积分与

dydx

路径无关.取L为从(0,0)到(1,1)的直线段，则4的方程为：产x,x：0-1.于是

lC(x-y)(*-dy)=J；Odx=0

AP

⑵「二GAy2-y3,。=6/厂3孙2.显然p,Q在xOy面内有连续偏导数，且一=12肛-3y之，

义=12xy-3/，有?=/，所以积分与路径无关.

dxdydx

取L为从(1,2)一(1,4)一(3,4)的折线，贝(J

£：2；(6江一力dx+(6x'-3孙2)dy

=J；(6y-3y2)dy+J：(96x-64)cbc

=[3/-/J+[48X2-64X]I

=236

(3)P=g,Q=--,P,。在右半平面内有连续偏导数，且理=4，丝=!，在右半

xxdyxdxx

平面内恒有线=半，故在右半平面内积分与路径无关.

dydx

取1为从(1,1)至U(l,2)的直线段,则

•r(i.L2)y[dr^-x~dy=[r(2T)d)'=T

(4)P=..X,Q=,y,且变=丝=在除原点外恒成立,故曲线积

F7F7/&历77

分在不含原点的区域内与路径无关，

取L为从(1,0)一(6,0)-(6,8)的折线，则

f(6.8)xdx4-ydyc6x,f8y1

=5+l[2J^T7]；

=9

3.设/(x)可导，求下列函数y的导数位：

dx

⑴y=/(一)

解：y=2矿，)

(2)y=/(sin2x)+/(cos2x)

解：yr=2sinxcosx/，r(sin2x)+2cosx(-sinx)/"(cos?x)

=sin2x[//(sin2x)-尸(cos?x)]

x=e{sint,兀dv

4.已知＜求当，=上时空的值.

y=ercost,3dx

解:

dy

dy_由_e'cost-e'sint_cos/-sin?

dxd,e*sint+e'costsin/+cos/

dr

71.兀

cos——sin—

dy33y/3-2.

.71兀

dr3sin—+cos—

33

5.求下列函数在指定点的高阶导数：

Y

⑴/u)=-==,^r(o)；

V1+X2

⑵f(x)=e2i,求尸(0),r(0)；

⑶f(x)=@+10)6,求/⑸(0),/⑹(0).

r.22x

V1+X-X,---]3

解：⑴/'(x)=---------------私土匚=(-2).

1+JT

3二

r«=-^(i-^2)2・2%

故f"(0)=0.

(2)f'(x)=2e2x-1

/(x)=4e2E

/w(x)=8e2jt",

48

故/〃(O)=M，r(o)=-.

ee

⑶/'(X)=6(X+10)5

/"(x)=30(x+10)4

/"'(X)=120(X+10)3

/(4)(X)=360(X+10)2

/⑸(x)=720(x+10)

/(6)(X)=720

故/(5)(0)=720x10=7200,/⑹(0)=720

6.求下列函数的微分：

(1)y=xe'；⑵)=

X

(3)y=cos&(4)y=5ln,anA'；

(5)y=8x*-6e2'；(6)y=Jarcsinx+(arctanx)2.

解：

(1)dy=(xe')'dx=e'(l+x)dx；

1।

1--x-lnxii

小、，/n%、，，、，1-lnx,

(2)dy=(---)dx=(―zr----------)dx=----；—dx；

XXX

(3)dy=(cosVx)"dx=(-siny/x)--^=dx=---^=sinVxdx；

2Vx2y1x

(4)dy=(5ln,anA)'dx=(In5••——.sec2x)dx

tanx

=21n5-5ln,anx•—―dx；

sin2x

(5)dy=(8xv-6e2r),dx=[8x'(1+Inx)-12e2v]dx；

(6)dy=f，arcsinx+(arctanx)2丫dr=[-J—••—/1+2arctanx—^-y]dx.；

2jarcsinx>J\-x21+广

7.利用麦克劳林公式，按x乘基展开函数/(X)=，-3X+1)3.

解：因为/(x)是x的6次多项式，所以

，/、，小、，，小尸⑼，/⑼；/<4)(0)4/⑸(0)s/(6>(0)6

/(x)=/(0)+/(0)x+Jx2+Jx3+-_—x4+-~—x5+-~~xb.

2!3!4!5!6!

计算出：/(0)=1J'(0)=—9J"(0)=60,尸(0)=-270,

/⑷(0)=720,/⑸(o)=-l080,/(6)(0)=720.

56

故/(x)=1_9x+30/-451+30/-9x+%.

e'+&-x

8.求函数y=---的2”阶麦克劳林展开式.

解:

2

11x12〃+%傲+1.J+.

y=-[eA+e-']=—[l+x+—+•••+---+-------+-------------]

222!(2〃)！(2〃+1)!2!(2«)!(2〃+1)!

]x2留ee

=-[2+2—+---+2----1--------A:2n+l]

22!(2〃)！(2〃+1)!

J+…+X2",efa-e-"

?)l+l(0<6<1).

2!(2〃)！2(2〃+1)!

60.设/(x)在/的某区间上，存在有界的二阶导函数.证明：当x在/处的增量//很小

时，用增量比近似一阶导数r(不)的近似公式

h

其绝对误差的量级为0(〃)，即不超过h的常数倍.

证明：/(%+»在玉)处泰勒展开式为

2

f(x0+〃)=/(4)+f'(x0)h+h(0<^<1),

则/"(%)_/瓮。+?―/瓮。]=]/"(>；劭)/2)

又知|一(天+仍)|«加,故f叫■网，

即/'(%)a1二的绝对误差为o(h).

9.球的半径以速率v改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？

〃43“2dr

解M：V=—nr',A=Tir,—=v.

3dr

dVdVdr」

-----------=4兀r•v

dtdrdr

dtdrdt

Y

10.一飞机沿抛物线路径y=忐而(y轴铅直向上，单位为m)做俯冲飞行，在坐标原点

。处飞机速度v=200m•s",飞行员体重G=70kg,求飞机俯冲至最低点即原点O处时，座

椅对飞行员的反力.

解:y\()=0,>1=--—，

Jlx=0JIA=0CAAA

(l+y，2严

lx.一ft

y

飞行员在飞机俯冲时受到的向心力

mv2702002

=560（牛顿）

~R~~5000

故座椅对飞行员的反力

尸=560+70x9.8=1246（牛顿）.

11.确定下列函数的单调区间：

(1)y=2x3-6x2-18x-7；

解：所给函数在定义域(YO,+O。)内连续、可导，且

y=6x2-12x-18=6(x+l)(x-3)

可得函数的两个驻点：芯=-1,%=3,在(3,一1),(—1,3),(3,+8)内，y'分别取+,+

号，故知函数在［3,4W)内单调增加，在［-1,3］内单调减少.

8

(2)y=2x+—(x>0)；

x

Q

解：函数有一个间断点x=0在定义域外，在定义域内处处可导，且y'=2-二，则函数

有驻点x=2,在部分区间(0,2］内，y<0；在［2,+8)内y'>0,故知函数在［2,+8)内单

调增加，而在(0,2］内单调减少.

(3)y=ln(x+yjI+x2)；

解：函数定义域为(-oo,+oo),y'=—j=L=>0,故函数在(-oo,+oo)上单调增加.

Vl+x2

(4)y=(x-l)(x+l)3；

解：函数定义域为(-00,+8),9=2(%+1)2(2%—1),则函数有驻点：x=—l,x=g,在

(―8,白内，y<o,函数单调减少；在七,+8)内，y>o,函数单调增加.

⑸y=xnoTx(n>0,x>0)；

解：函数定义域为［0,+oo),y'=nx'-'e-'-x"e-x=e^x"-1(〃-x)

函数的驻点为x=0,x=〃,在［0,网上y'>0,函数单调增加；在上y'<0,函数单

调减少.

(6)y=x+卜in2:t|；

解：函数定义域为(-8,+00),

.兀

x+sin2x,xe+—1,

2

y=\

,71

x-sin2x,XG［/?7U—，〃兀］,/?GZ.

2

TT

1)当〃兀+1］时，y=l+2cos2x,则

yr>0<^>cos2x之一g<=>x£］〃兀，〃兀+；

JT717T

V<00COS2x<--<=>%€［mt+—,/?7T+—］.

兀

2)当1£［〃兀一］,〃兀］时，y=l-2cos2x,则

»__1兀兀r

y>0ocos2x<—<»xGr［rm——，〃兀——］

226

y<0<=>cos2x>—<=>xG［mt---,〃兀］.

26

综上所述，函数单调增加区间为［日,弓+'］(kez),

函数单调减少区间为［当+］,今+5］供wz).

⑺y=(x-2)5(2x+l)4.

解：函数定义域为(-8,+00).

y=5(x-2)4(2x+1)4+4(x-2)5(2尤+1)3.2

=(2x+1)3(18%-11)0-2)4

函数驻点为玉=-pX2=2,工3=2,

在(+00,—g］内，y'>0,函数单调增加，

在［-士曰］上，y'<0,函数单调减少，

218

在［U,2］上，y'>0,函数单调增加，

18

在［2,+oo)内，y>o,函数单调增加.

故函数的单调区间为：(-8,-L］,f—,+00).

221818

12.怎样选取。，匕的值，使./(X)在(一8,+8)上连续？

,兀

OT+1,X<—,

⑴/(尤)=<e'*<：⑵/(%)=2

。+尤，x>0;.,、兀

sinx+/?,x>—.

2

解：/(x)在(-oo,0),(0,+oo)上显然连续,而lim/(%)=lim(a+x)=。，

XTO+X->0+

limf(x)=lime"=1,且/(0)=a,

Xf(T,V-»O-

・・・当£(0)=以(0)=/(0),即Q=1时，/(%)在尤=0处连续，所以，当0=1时，f(x)

在(^0,+00)上连续.

IT7T

⑵・・•/(X)在(-00,—,+8)内显然连续.而

lim/(x)=lim(sinx+b)=l+b,

jtit

r->-X->一

22

7T

lim/(x)=lim(ax+1)=—a+1,

TTTTTT

...当l+8=,a+l,即》=,a时，/(x)在x=］处连续，因而/(x)在(-oo,+oo)上连续.

13.作出下列函数的图形:

x

(D/U)1+x2

解：函数的定义域为(-8,+8),且为奇函数,

,l+x2-2x21-X2

v=-----------=--------

■(1+x2)2(1+X2)2

〃2X(J?一3)

=(1+x2)3

令y，=0,可得X=±l,

令y"=0,得x=0,±6,

列表讨论如下：

X0(0,1)1（1.石）柩(5+8)

y'+0一一一

y"0一一一0+

y0极大、拐点1

当Xf8时，y—0,故产0是一条水平渐近线.

函数有极大值/XD=；，极小值=有3个拐点，分别为（一

,(0,

0),

，作图如上所示.

（2）y（x）=x_2arctaru

解：函数定义域为（-8,+8）,且为奇函数,

y=1一^~~r

\+x

〃4x

令y'=0,可得户±1,

令y"=0,可得x=0.

列表讨论如下:

X0(0,1)1(1,°°)

y'一04-

y"0+4-

Y0极小

又

/(%)].八2、1

lim------=lim(l——arctanx)=1

x-xx>x.r->ocx

且lim[f(x)-x]=lim(-2arctanx)=一兀

xf+oo

7T

故y=x—兀是斜渐近线，由对称性知y=》+兀亦是渐近线.函数有极小值y(l)=l—],极

7T

大值六-1)=3-1.(0,0)为拐点.作图如上所示.

X"2

⑶f(x)=--;

1+X

解：函数的定义域为xeR,xx-l.

,_2x(l+x)-x2_x(x+2)

)一—(1+x)2—-(1+x)2(九~1)

，，2

令y'=0得尸0,x=~2

当xe(y),—2]时，y'>0J(x)单调增加；

当XG[—2,—1)时，y'<0,/(x)单调减少；

当xe(-l,0]时，y'<0,/(x)单调减少；

当xe[0,+8)时，y'>0,/(x)单调增加，

故函数有极大值八-2)=-4,有极小值10)=0

2

又lim/(x)=lim工=8,故后一1为无穷型间断点且为铅直渐近线.

XT-1X+11+X

/(X)]曰1・「X21

又vr因arhm------=1,且hm(/(x)-x)=lim---------x=-1，

x-»00Xx—>ooX—>oc]+X

故曲线另有一斜渐近线y=x-1.

综上所述，曲线图形为：

(4)y=eg)l

解：函数定义域为(一8,+8).

y=-2(x-l)e-u-1)2

y〃=e-g)2-2(2X2—4X+1)

令;/=0,得x=l.

令y"=0,得x=l±注.

.2

当x£(-oo,i］时，y>o,函数单调增加；

当X£［l,+oo)时，yf<0,函数单调减少；

万x/2

当了£(—8,1鼠］U［1+5-,+8)时，y”>0,曲线是凹的;

万/?

当工£［1一］,1+芋］时，/<0,曲线是凸的，

故函数有极大值41)=1,两个拐点：A(l-^-,e2),B(l+^-,e2),

又lim/(x)=O,故曲线有水平渐近线y=0.

XT8

图形如下：

X2+1.(1—fit)%2—(<7++(1—/?)

14.解:因为-------ax-b=-——-------------------——-

X4-1X+1

由己知lim(片土1—以一/=,知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为

*T8(x+i)2

L于是

2

i-«=o且—-)△

12

3

解得a=\,b=~-.

2

15.用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：

f+<O1|

(1)|2—sin-dx;

。厂x

11limcos-L

解：原式二一lim，2sin-d=limcos-=l.

力->+ooJ-V〃T+ooy〃T+<»

n人2b

⑵

JeX+2x+2

r°d(x+l)产d(x+l)/,、°

解：原式=|——————I-——~-——=arctan(x+l)+arctan(zx+l)

J-(x+l)2+lJ。(x+l)2+l…

TIcIt'S71n

=-------H-------=兀

4I2j24

(3)J；x"e-'dx(〃为正整数)

p+30Er+oo.

解：原式xnde-x=-xne-x+n\x"-le-vdx

JooJ。

,+oo

0+〃广―口=••・=〃!°加=〃!

⑷3

a<,；

解：原式=limf-/#：X71

limarcsin—limarcsin1--二

£->0+ao(a)2

dx

解：原式=1呼『d（lnx）吧\e-£7T

arcsin(ln再=limarcsin(ln(e-£)]=—

*、72

⑹I：舟T

dxidx

解:7<1-X)J)

crddyfxd石

…"Jl-(五>Q+OJ］Jl—(«)2

=2limarcsinyfx\2+2limarcsinVx'

L,b。1

16.求下列函数在［一。，a］上的平均值：

(l)/(X)=Va2-X2;

解：7=^-f7«2-x2dr=-Va2-x2dr=--arcsin-+-xyja2-x2=~7'-

。

2a&aJa12a2Jo4

(2)f(x)=x2.

2

Q

解:T

17.某企业投资800万元，年利率5%,按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入

率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期.

解：投资20年中总收入的现值为

y=f2°800e-5%/d?=—(l-e-5%2°)

・J。5%

=400(1—eT)=2528.4(万元)

纯收入现值为

7?=厂800=2528.4—800=1728.4(万元)

收回投资，即为总收入的现值等于投资，故有

-(l-e-5%r)=800

5%

200

r=—In=201n-=4.46(年).

5%200-800x5%4

1

18.解:4--------2--+・・・

(/?+!)!

2(〃+1)

---------•(一)

加(2〃+1)2

从而R“+i<--------•(一)

加(2〃+1)2

19.若lim"u"存在，证明：级数收敛.

〃一>8f

证：：lim〃2u“存在，.•TM>0,使斤

n—>oo

M

即〃2|[/"|WM,\U„\^—

n~

而*£与M收敛，故s“绝对收敛.

20.证明，若收敛，则£以绝对收敛.

n=\n=\〃

]u；

+-4为2+」

2c"2cn2

而由fu；收敛，£4收敛，知

”=1n=l〃

收敛,故£4•收敛,

因而绝对收敛.

〃=in

21.将函数/(x)=J7展开成(尸1)的事级数.

解：因为

(1+x)=1+—x+-------x+■■•+-----------；---------x+…(-1<%<1)

1!2!〃！

所以

/(%)=>/?

3

=[1+(%-1)]2

)(X-D”+•1"

3骗一i]疆一茶㈤

1!2!n\

(-1<X-1<1)

即

r/、i,3/,、，3-1八2,3-l-(-l),、3,34•(一1>(-3)…(-2〃+5)/八"，

/(x)=l+-(x-D+^(x(-l)+^^-(xf-l)+----------------------------I)+-

------不~~；-----(D(°<x<2)

n=l2*ft.

18.利用函数的幕级数展开式，求下列各数的近似值：

(l)ln3(误差不超过0.0001)；(2)cos2。(误差不超过0.0001)

35

14.Y(RR丫2〃-1、

解：(l)ln----=2x+—+—+•-■+------+•■->xG(-i,i)

1-xI352n-l)

令31-L-Y=3,可得]=1上£(-1,1),

\-x2

-in---——z1Rit…t

,123"5.25

2

■11

_(2〃+l)"向(2n+3)-22fl+3'_

2F(2»+1)-22H+I(2n+l)-22n+l,'

p

故cos2°B1-出乙»1-0.0006®0.9994

2!

22.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为:

(1)/(%>1-x2

；

,、f2x+l,-3<x<0,

⑵〃x)=1

1，0<x<3.

解：(1)/(幻在(-8,+8)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于/(X),由于/⑴为偶

函数，有瓦尸0。?=1,2,3,…)

2

4=2j1/(^)dr=4.(1一/)dx=2,

~20

2

%=2「/(x)cos2rutxdx=4「(1一f)cos2nmix

~2,

(〃=1,2,…)

所以

一、一111("

cos2mu:(-8<X<+8)

4=；J：〃x)cos等也

3

1「°小八i1rnnx,

二-I(2x+1)cos---dxH—Icos---ix

3%)33Jo3

”[UHsin等小

1r°/,.niuc,1.3.nnx,

——I(2x+17)sin---AvH—Isin---dx

3433J。3

=£(T)"T,(〃=1,2,…)

〃兀

而函数fix)在x=3(2Z+l),^=0,±1,±2,...处间断，故

/(力=-；+力｛盘[l-(T)[cos等+(-1)”彳sin等｝(xW3(2k+l),

乙〃=]I〃"J-*DrutDJ

A?=0,il,i2,...)

23.计算i(x+y)dx+(y-x)dy,其中L是

(1)抛物线V=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；

(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；

(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线;

(4)曲线x=2p+f+l,y=?+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.

解：(1)L：,,y：1—>2,故

j(x+y)dx+(y_x)dy

=Jl'[(/+y)-2>'+(y-y)-i]d3<-

=J：(2y'+y2+y)dy

I11

y4+y3+y

2-3-2-

一

34

3

(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为43厂2,y：1-2

故£(x+y)dx+(y-x)dy

=J：[(3y~2+y)-3+(y-3y+2)]dy

=J'(10y-4)dy

=[5r-4>-J

=11

(3)设从点(1,1)到点(1,2)的线段为Li，从点(1,2)到(4,2)的线段为攵，则乙=心+乙2.且

[x=l(x=x

L\：〈ty：1—►2；Li*〈,x：1―>4；

[y=y'〔y=2

故£(x4-y)(k+(y-x)dv

=f[(l+y)-O+(y-l)]dy

2

=「(y-i)dy=

L,(x+y)dx+(y-x)dy

=j[(x+2)+(2_x).O]dx

=J：(x+2)dx=；(x+2『

27

2

从而［(x+y)s+(y一天川〉

=(J/L)(工+，)出+(y_“)d)，

127一

=一十—=14

22

(4)易得起点(1,1)对应的参数九=0,终点(4,2)对应的参数汝=1，故

L(x+y)dr+(y-x)dy

=J；［(3/+/+2)(4z+l)+(-r2-z)-2rjdr

=j'(10/3+5/2+9/+2)dr

1045392c

=—t+-r+-r+2t

_4320

=32

-T

24.应用格林公式计算下列积分：

⑴。(2x—y+4)dx+(3x+5y—6)dy,其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形

正向边界；

⑵(x2ycosx+2xysinx-y2ex)dx+(%2sinx-2yex)dy,其中L为正向星形线

222

X3+'3MJ〉。)；

(3)£(2xyy-y2cosx)dv+(1-2ysinx+3x2y2)dy,其中L为抛物线2%=兀)2上由点(0,0)到(］』)

的一段弧；

(4)依-加-(X+sin2y)dy,L是圆周y=」2x—/上由点(0,0)到(1,1)的一段弧;

(5)£(evsiny-+(evcosy-m)dy,其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆

^+产/氏上半部分的路线(〃为正数).

解:(1)L所围区域Q如图11-4所示,P=2x-y+4,

Q=3x+5y-6,—=3,—=-1,由格林公式得

dxdy

.(21-y+4)dr+(3x+5y-6)dy

=乩偿与酬

=JJ,,4dxd)，

=4jj,dxdy

=4x—x3x2

2

=12

(2)P=x2ycosx+2xysin%-y2ev,Q=x1sinx-2yex,

QP?

贝lj-=x1cosx+2xsinx-2yev,

6

8Q2C.o

三―二x~cosx+2xsinx-2)ev•

从而名=/，由格林公式得.

dydx

心(炉ycosx+2xysinx-y2ev)dx+(x2sinx-2yex)dy

dxdy

(3)如图11-5所示，记。4,

P=2xy^-y2cosx，Q=1-Zysinx+Sx2^2

HP」、SQn2c

——=bxy~-2ycosx,—=oxy-2ycosx

dydx

由格林公式有：

L叩J^+Qdydxdy=0

故]/口+2切=[〃/也+。由,

=jPdr+Qdy+jPdx+Qdy

<..兀c/2L

LW+J。1-2ysin—+3•—•yMy

}-2y+^n2y2^dy

Jo1

2

7-T---

4

(4)L、AB.30及。如图11-6所示.

由格林公式有

pdx

LAS+B。+Qdy=力偿-菅眄

而P=^-y,(^-(x+sin237)-

8P.8Q加dQBP

——=—1,—=—｝1,即,-------=0

dydxdxdy

Pdxed0

于是1…产+纯,=(L+L+L,)+>=

从而

JPdr+Qdy=/(x2-y)dx-(^+sin2y)dy

=L(x2-，孙一g+.？y)dy+J。4，-y)cU-(x+sin2y)dy

=J：-(l+sin2)，)dy+J：x&

31..TT13T

=——y+—sin2v+—x

L24o3Jo

71•c

=——+—sin2

64

(5)3OA如图11-7所示.

x

P=esinyf-myf

2=eAcosy-/n,

dPdQ

——=excosy-m,——=excosy

由格林公式得:

dP

L/w+Qdy』。drdy

Sy

=JJ,严drdy

=叫户均

i(“Y

2⑴

_mjicT

8

于是：jRk+Qdy="^——fPdx+Qdy

JL8J0，

x

—Jo[(e・sinO-〃2O)+(e，•cosO-m)。]口

frma~2u

=---------Odx

8J。

_rmta2

8

25.在半径为厂的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.

解：设圆柱体的高为九则圆柱体底圆半径为』产此

~4

丫=兀­h=nr2h--h3

4

令V'=o,得力=毡几

3

即圆柱体的高为亭r时，其体积为最大.

3

26.求下列各函数的定义域:

(l)z=ln(y2-2x+l);

⑶"1ST(4)M

(5)z=Jx-&(6)z=ln(y-x)+

(7)w=arccos—j=

解：(l)D={(x,j)|/-2x+l>0}.

(2)D={(x,y)|x+y>0,无一y>0}.

(3)D={(x,y)|4x-y2>0,l-x2-y2>O,x2+y2^0}.

(4)。={(x,y,z)|x>0,y>0,z>0}.

⑸。={(x,y)|x",”0,x2N),}.

(6)。={(x,y)|y-x>(),xN0,》2+y2<1}.

(7)。={(x,y,z)|x2+y20,x2+y2-z2>0}.

27.一向量的起点是Pi(4,0,5),终点是尸2(7,1,3),试求:

(1)*在各坐标轴上的投影；(2)鹤的模；

(3)强的方向余弦；(4)蔗方向的单位向量.

解：(1)ar=PrJ/£=3,

%=Prj,质=L

az=Pr工耳8=-2.

⑵质卜J(7-4>+(JO)?+(3-5)2=9

c、a3

(3)cosa=卜x：=j=y—

I网内

COSB=尸』=—j=

附IA/14

28.三个力Q=(1,2,3),尸2=(-2,3,-4),尸3=(3,-4,5)同时作用于一点.求合力R的大小和方向余

弦.

解：R=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)

|/f|=V22+l2+42=V21

2cl4

cosa=―,—,cosp-—y—,cosy=-.—.

V21V21V21

O<jr

29.已知a*的夹角夕=子，且问=3,网=4,计算：

⑴〃•b;(2)(3a-2b)*(a+2b).

解：(1)a•Z?=cos^-|«|-|ft|=cos—x3x4=--x3x4=-6

(2)(3a-2b)•(a+2b)=3aa+6ab-2ba-4bb

2

=3|a|+4Q/_4M|2

=3x32+4x(-6)-4x16

=-61.

30.若向量a+3b垂直于向量7。-5仇向量a-4b垂直于向量7a-2b；求和b的夹角.

解：(a+3b)・(7〃-5份=7|a『+16a-6-151612=0①

(。一4份•(7a-2b)=71a|2-30a♦8+8|力『=0②

abab1(a。)21

由①及②可得:____———~s—

"|2一|旷2\a\2\b\2~4

1t1

又。•方=!|b|2>(),所以cos8=——=-

2\a\\b\2

故。=2皿05，=工.

23

31.已知a-3i+2j~k,b=仃+2£求:

(l)aXb;(2)2aXlb-,

⑶76X2%(4)aXa.

2-1-1332

解:(1)axb-i+/Ik=3i-7j-5k

-122-1

(2)2ax7b=14(axb)=42i-98j-70左

(3)7)x2a=14(〃*a)=-14(ax》)=-42i+98j+70A

(4)axa-Q.

32.求过（1,1,T）,（-2,-2,2）和（1,-1,2）三点的平面方程.

解：由平面的三点式方程知

X-Xy>一)|z-z.

必-,Z2—1=0

七一%Z3—4

x-1y-lz+1

代入三已知点，有-2-1-2-12+10

1-1-1-]2+1

化简得x-3厂2z=0即为所求平面方程.

33.通过两点（1,1,1,）和（2,2,2）作垂直于平面x+厂z=0的平面.

解：设平面方程为Ar+B)，+Cz+£>=0

则其法向量为"={A,B,C}

已知平面法向量为〃I={1,1,-1}

过已知两点的向量上{1,1,1}

由题知n,77i=O,n,1=0

A+8—C=0

即4=>C=0,A=—B.

A+B+C=0

所求平面方程变为Ax~Ay+D=0

又点(1,1,1)在平面上，所以有£>=0

故平面方程为x-y=0.

34.确定下列方程中的/和〃?：

(1)平面2x+ly+3z-5=0和平面,nr-6y-z+2=0平行;

(