平面向量及其运算及平面向量及其加减运算课后训练

、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。③单位向量：模为1个单位长度的向量。④相等向量：长度相等且方向相同的向量。⑤平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。向量加减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即：=+()；可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点。③实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。④两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。3、平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。（2）平面向量的坐标运算：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2).①若，则②若，则③若，则④若，则；若，则注意：与轴、轴方向相同两个单位向量、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；基底不惟一，关键是不共线；由定理可将任一向量ａ在给出基底、的条件下进行分解；基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，、唯一确定的数量。⑤向量运算运算律：；；；4、平面向量的数量积：（1）“投影”的概念：||cos叫做向量在方向上的投影（2）；规定；几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影||cos的乘积（3）设和都是非零向量，则=1\*GB3①．=2\*GB3②当与同向时，；当与反向时，；或．=3\*GB3③．（4）运算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③（5）坐标运算：若，则，或；设非零向量，，则；．1.已知，其中。⑴求证：与互相垂直；⑵若与（）的长度相等，求。2.(2013·江苏)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．3.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(A,2)，cos2A))，且m·n＝eq\f(7,2).(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(3)，试判断bc取得最大值时△ABC的形状。4.设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，eq\r(3)sin2x)，x∈R.(1)若f(x)＝1－eq\r(3)且x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]，求x；(2)若y＝2sin2x的图象按向量c＝(m，n)(|m|<eq\f(π,2))平移后得到y＝f(x)的图象，求实数m、n的值。5.已知向量=3i－4j，=6i－3j，=（5－m）i－（4＋m）j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量。（1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若ΔABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值。1．下列命题中正确的是（）A．B．C．D．2．设点，,若点在直线上，且，则点的坐标为（）A．B．C．或D．无数多个3．若平面向量与向量的夹角是，且，则()A．B．C．D．4．向量，，若与平行，则等于

A．B．C．D．5．若是非零向量且满足，，则与的夹角是（）A．B．C．D．6．设，，且，则锐角为（）A．B．C．D．7．若，且，则向量与的夹角为．8．已知向量，，，若用和表示，则=____。9．若,，与的夹角为，若，则的值为．10．若菱形的边长为，则__________。11．若=，=，则在上的投影为________________。12．已知，，其中．

(1)求证：与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．数学《平面向量》复习卷一、填空题1、向量的两个要素是：和。2、A、B、C是⊙O上的三点，则向量、、的关系是.3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同；②若=，则ABCD是平行四边形；③若ABCD是平行四边形，则=；④=，=则=；其中正确的序号是.4、如图所示，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形，则①与向量平行的向量有；EDCAB②若｜｜=1.5,则｜｜=EDCAB5、如图，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形①与向量相等的向量有；②若||=3，则向量的模等于。6、已知正方形ABCD的边长为1，=,=,=,则｜++｜为7、在四边形ABCD中，=+，则ABCD是形。8、化简(-)+(-)的结果是。9、化简：-+.10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为。二、选择题1、在四边形ABCD中，＝，且｜｜＝｜｜，那么四边形ABCD为()A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形2、等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是（）A.=B.=C.=D.=3.四边形ABCD中，若向量与是平行向量，则四边形ABCD()A.是平行四边形 B.是梯形C.是平行四边形或梯形 D.不是平行四边形，也不是梯形4、D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点，则下列等式不成立的是()A.+＝ B.++＝0C.+＝ D.+＝5、设是的相反向量，则下列说法错误的是()A.与的长度必相等 B.∥C.与一定不相等 D.是的相反向量6、下列四式不能化简为的是()A.(+)+ B.(+)+(+)C.+- D.-+7、□ABCD中，-+等于()A.B. C. D.8、已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为、、，则向量等于（）A.++B.-+C.+-D.--9、已知平行四边形ABCD，O为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（）A.+++=B.-+-=C.+--=D.--+=10、化简下列各式：①++；②-+-；③-+；④++-.结果为零向量的个数是（）A.1B.2C.3D.411、下列说法不正确的是（）A.零向量是没有方向的向量B.零向量的方向是任意的C.零向量与任一向量平行D.零向量只能与零向量相等三、解答题1.如图：1已知a、b、c、d，求作向量ab、cd。aabbccd2已知a、b、c，求作aaabbccd 2.如图△ABC中M、N、P分别是AB、AC、BC边的中点，在图中画出：+－。3.如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，(1)写出图中与、、相等的向量，(2)写出向量的相反向量.(3)设＝，＝，用、表示4.作图题：已知向量，求作。5.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，，（1）试用向量，表示下列向量：=▲；=▲；（2）求作：、．(保留作图痕迹,写出结果，不要求写作法)．BBCADO6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，DE＝AD，设，。（1）试用向量，表示下列向量：____________，____________。（2）求作：、。（保留作图痕迹，写出结果）7.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、B、C的坐标分别为（2,0）、（-1,3）、（-2，-2）.（1）在图中作向量；（2）在图中作向量；（3）填空：.8.如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，点E在边BC上，联结DE，AC．（1）填空：___________；____________；（2）如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，试写出四个与向量平行的向量是；ACEBACEBD答案：填空题1、大小方向2、3、③④4、①②35、①②66、7、平行四边形8、9、10、二、选择题1、B2、D3、C4、C5、C6、C7、A8、B9、B10、C11、A三、解答题1、aaaabbcccddaba+cba+c3、4、略5、(1)(2)(3)6、略7、解：因为每个小孩所用的力有各自的方向，所以每个小孩所用的力都可看作为一个向量。又因为他们使用的大小一样，所以这三个力向量的长度相等。设三个小孩所用拉力分别为、、，且两两夹角为120°、以、为邻边作平行四边形OBDC。∵||=||∴四边形OBDC是菱形。O∠BOD=∠BOC=60°，∴||=||.O∵∠AOB+∠BOD=180°，∴=-.∴++=+（+）=+=+（-）=.∵三个小孩的拉力的合力为,