高数2试题及其规范标准答案

模拟试卷一

注意:答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。(本卷考试时间100分)

一、单项选择题(每题3分，共24分)

1、己知平面》：x—2y+z—4=0与直线L:2二1=生心=出的位置关系是()

31-1

(A)垂直(B)平行但直线不在平面上

(C)不平行也不垂直(D)直线在平面上

2、lim.3VV—=()

一，2肛+1-1

(A)不存在(B)3(C)6(D)oo

a2za2z

3、函数z=/(x,y)的两个二阶混合偏导数上一及《一在区域D内连续是这两个二阶混合

dxdydydx

偏导数在D内相等的()条件.

(A)必要条件(B)充分条件

(C)充分必要条件(D)非充分且非必要条件

4、设||da,这里a>0,则。=()

x2+y2<a

(A)4(B)2(C)1(D)0

5、己知回纠空詈虫为某函数的全微分，则。=()

(x+y)

(A)-1(B)0(C)2(D)1

dsx2+y2+z2=10

6、-222(),其中L:

尤+y+zz=1

2万344〃

(B)(C)(D)

(A)y~5~TT

CC00

7、数项级数Z*发散，则级数£攵。“(女为常数)()

/:=1〃=1

(A)发散(B)可能收敛也可能发散

(C)收敛(D)无界

8、微分方程肛"=y'的通解是()

(B)y=/+c

(A)y=C,x+C2

(C)y=C,x2+C(D)y=—x2+C

22

二'填空题(每空4分，共20分)

1、设2=6'加盯，则dz=。

2、交换积分次序：^dx^e-y!dy=。

3、设L是任意一条光滑的闭曲线，则，2xMc+/力=。

L

4、设哥级数£%/的收敛半径为3,则幕级数£〃%（X-1）6的收敛区域为o

M=0〃=1

5、若〃（乂丁班+W％丁”丁=0是全微分方程，则函数"、N应满足。

三、计算题（每题8分，共40分）

1、求函数z=ln（x+y2）的一阶和二阶偏导数。

2、计算□肛db,其中。是由抛物线V=x即直线y=x—2所围成的闭区域。

D

3、计算f（2x—y+4依+（5y+3x-6）dy,其中L为三顶点分别为（0,01（3,0）、（3,2）的三角形

L

正向边界。

4、将arctanx展开成元的基级数。

5、求微分方程（x+y-l）dx+（ey+x）dy=O的通解。

四：应用题（16分）

求由旋转抛物面Z=/+y2和平面％=/所围成的空间区域。的体积。

模拟试卷二

注意:答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分）

一、单项选择题(每小题2分，共20分)

1.点(4,-3,5)到Ox轴的距离d=().

(A)742+(-3)2+52(B)J(-3)2+52(C)7(-3)2+42(D)742+52

2.下列方程中所示曲面是单叶旋转双曲面的是（）.

(A)x2+y2+z2=1(B)x2+y2=4z

222

(C)x2--+z2=1(D)^1121上=7

4916

3.二元函数z=Jin丁匕方+arcsin^^~^的定义域是（）.

(A)l<x2+j2<4；(B)1<X2+J2<4；

(C)1<x2+j2<4；(D)1<x2+j2<4.

4.fr(%，y)=()-

(A)11m+醺,汽)-/(/,八)⑻11mf（x。+垓，汽）一/（/，丁。）

AXT°AX.TOAX

(c)11m/」+&')")一/(x，.v)(D)11mf」+Ax,y)-f(xo'y)

机fOAx-Ax

5.已知二重积分,则围成区域D的是（）.

D

（A）|x|=；，|y|=1（B）x轴，y轴及2x+y—2=0

(C)x轴，x=2及y=x（D）卜+乂=1,,一引二1

6.设/="（/+丁2Mx力，其中。由/+y2=a2所围成，则/=（）.

D

(A)fdO[a1rdr=z^z4(B)fdd\r2•rdr——7ia4

JoJoJoJo2

(C)[d3[r2dr=—(D)fdOfa1•adr=271a,

JoJo3JoJo

x=acost,-

7.若L是上半椭圆(取顺时针方向，则fAZx-xdy的值为().

y=bsint,

(A)0(B)—ah(C)77Zih(D)rucib

2

00

8.设。为非零常数，则当()时，级数Za二收敛.

”=1"

(A)\r\>\a\(B)|川>|〃|(0|r|<l(D)|r|>l

9.limun=0是级数X""收敛的()条件•

(A)充分(B)必要(C)充分且必要(D)既非充分又非必要

10.微分方程y"+y=0的通解为.

(A)y=cosx+c(B)y=c}cosx+c2

(C)y=q+c2sinx(D)y=Gcosx+c2sinx

二、填空题(每小题3分，共15分)

1.己知平行四边形A8CO的两个顶点4(2,—3,—5),5(—1,3,2)的及它的对角线的交点

£(4-1,7),则顶点。的坐标为

2.设i=3z•—/一2旧，b-i+2j-k,则=

Q2

3.设z=arctan—,则---=_________

xdxdy

4.若正项级数£%的后项与前项之比值的极限等于0,则当______时，级数必收敛.

n=l

5.基级数士+—+…+——----+…的收敛区间是

22-42-4…-(2»)

三、计算题(每小题10分，共50分)

1.求函数f(x,y)=x3+yi-3(x2+y2)的极值点，并求极值.

2.计算^x2e-y2dxdy,其中。是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点是三角形区域.

D

3.计算f———\----ds,其中F为曲线：x=e'cost,y=e'sinf,z=e'(0<t<2).

Ix-+y+z

r3r5X2"-'

4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：X+—+—+--•+---+•••.

352n-l

5.求微分方程满足已给初始条件的特解：y'=e2"’,yLo=O.

四、应用题与证明题(第1小题13分，第2小题12分，共25分)

1.求球面V+V+z?="(。>0)被平面2=0与2=@所夹部分的面积。

42

2.证明曲面型=〃？(〃?>0)上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数.

模拟试卷三

注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。(本卷考试时间100分)

一、单项选择题(每小题2分，共20分)

1.若力为共线的单位向量，则它们的数量积a-b=().

(A)1(B)-1(C)0(D)COSQI)

2.设平面方程为母+己+。=0,且8,C,0HO,则平面().

(A)平行于x轴(B)垂直于x轴(C)平行于y轴(D)垂直于y轴

(x2+y2)sin-5-^~x2+y2^0

3.设/(x,y)=J'V+V'，则在原点(0,0)处/(x,y)().

0,x2+y2=0

(A)不连续(B)偏导数不存在(C)连续但不可微(D)可微

4.二元函数z=3(x+y)-/一V的极值点是().

(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)(1,-1)(D)(-1,-1)

5.设D为/+y24i,则JJ^dxdy=().

DJl———y2

(A)0(B)7t(C)27V(D)4)

6.'y(x,y)办=()

(A)£'dy^f{x,y)dx(B)£dy^f(x,y)dx

©£dy^/(x,y)dx(D)dy^/(x,yydx

x=acost,…、，

7.若L是上半椭圆，取顺时针方向,则£ydx-xdy的值为（）

y=bsint,

(A)0(B)—ab(C)7vcih(D)7iah

2

8.下列级数中，收敛的是（）.

8C

(0£(-1严弓尸

n=\4

0000

9.若幕级数的收敛半径为《：0<凡<y0,累级数£2无"的收敛半径为为：

n=0n=0

0</?2<^0,则基级数Z（a“+2）x”的收敛半径至少为（）

n=0

（A）N+&⑻R|•&（C）rmx{&,&}（D）nin^,^}

10.方程孙，=卜+（2+「是（）

（A）齐次方程（B）一阶线性方程（C）伯努利方程（D）可分离变量方程

二、填空题（每小题3分，共15分）

—>—>

1.平行四边形二边为向量a={1,—3,1},匕={2,—1,3},则其面积5=

2.通过点（3,0,—1）且与平面3x—7y+52-12=0平行的平面方程为

3.设z=Intan—,则—=________

ySy

4.曲线X=—L,y=上吆，Z=〃在对应于r=l的点处切线方程为

1+rt

5.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在。上具有一阶连续偏导数,

则有，「小+Q办；

三、计算题(每小题10分，共50分)

1.设z=%ln(孙)，求，与-•

dxdy

2.求其中D是由N+|y|wi所确定的闭区域.

D

3.计算j(/-y)dx-(x+sin2yMy，其中L是在圆周：y=亚嚏=？上由点(0,0)到点(1,1)

的一段弧.

4.将函数y=(1+x)ln(l+x)展开成x的幕级数，并求展开式成立的区间.

5.求下列微分方程的通解：cos2x电-y=tanx.

dx

四、应用题(第1小题13分，第2小题12分，共25分)

1.在平面xoy上求一点,使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线的距离平方之和为最

小.

2

2.求由曲面z=/+2y2及2=6-2x-所围成的立体的体积.、

模拟试卷四

注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。(本卷考试时间100分)

一、单项选择题(每小题2分，10小题，共20分)

1.向量N=(l,2,-2)在向量5=(6,2,3)上的投影等于()

(A)-(B)-(C)-(D)-

7344

2.曲线12+9丁=36绕了轴旋转一周所成的旋转曲面的方程是()

z=0

2

(A)4X2+4/+9Z2=36(B)4X2+9y+9Z2=16

222

(C)4X2+9/+4Z2=36(D)9x+9y+4z=16

3.己知/(x,y)=K,则f(1,1)的值为()

(A)0(B)1(C)-(D)不存在

2

4.若/(x,y)在(Xo，%)处可微，则/(x,y)在(与，打)处()

(A)连续且偏导数存在(B)连续且偏导数连续

(0连续但偏导数不一定存在(D)不一定连续且偏导数不一定存在

5.设/]=Jjek+kfitafy,人=其中区域。1：-2<y<2,

»|D2

2：0Wx4l，04y42,则下列四式中正确的是()

(A)/,>4Z2(B)4=4/2(C)/,<4/2(D)4=2/2

6.设/=0。2+〉2)公办,,其中。由/+};2=42所围成，则/=()

D

(A)『的"QdQ(B)『"6J；a2♦adp

dea2(i(D)

©「\0PP『“可:「”，PdP

7.设L为：x=2,0<y<|,则J,4as的值为()

(A)4(B)6(C)8(D)12

8.下列级数中，收敛的是()

00181

(a)(b)£777(0(D)£(-l)"

n=l〃n=\SIn

9.基级数的收敛区间为()

n=lJ〃

(A)(-1,1)(B)[-1,1](C)(-1,1](D)[-1,1)

10.下列方程可分离变量的是()

(A)sin(孙)dx+e>'办=0(B)xex+>dx+y2dy=0

(C)(1+y2dy=0(D)(x+y)dx+ex+ydy=0

二、填空题（每小题3分，5小题，共15分）

2r~+V?+Z?=16

1.通过曲线\,且母线平行于y轴的柱面方程是_________.

x2+z2-y2=O

2.经过点（1,0,-1）且平行于向量/={2,-1,1}的直线方程是.

二r1-J孙+1

3.lim-------=____________,

,移

4.将二次积分：f（x,y）dy改换积分次序应为.

5.设£"〃、"都是正项级数，且〃收敛，则当〃=12…，都有时,

«=1n=\"=1

£乙也一定收敛.

H=1

三、设函数z=,求之人.（10分）

xydxdyx=i

y=2

四'计算二重积分,（Y+y2一x）db,其中D是由直线＞=-y=2x及x=2所

D

围成的闭区域.（10分）

五'计算曲线积分，（2y-13）公+（3x+2y2）dy,其中L是由抛物线y=/和

L

V=x所围成的区域的正向边界曲线.（10分）

六、.求哥级数£内向的和函数.（10分）

n=\

七、求下列微分方程的通解：（/+2/）八一个分=0.（10分）

八、应用题Q5分)

求旋转抛物面z=/+V被平面z=a(a>0)所截得的有限部分的面积.

模拟试卷五

注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。(本卷考试时间100分)

一、单项选择题(每小题2分，10小题，共20分)

1.忸+可〈"-4充分必要条件是()

(A)々xB=0(B)a-b=0(C)ab>0(D)a-b<0

2.两平面x—4y+z+5=0与2x-2y-z-3=0的夹角是()

(A)-(B)-(C)-

634

3.若力(a))=l,则lim+A”->(“，”-△)')=()

)AyfOAy

(A)2(B)1(C)4(D)0

4.若fx(x0,%)和fv(X。,九)都存在，则f(x,y)在(％,yo)处()

(A)连续且可微(B)连续但不一定可微

(0可微但不一定连续(D)不一定连续且不一定可微

5.下列不等式正确的是()

(A)JJ(x3+y3)t/cr>0(B)JJ(x2+y2W>0

x2+y2^\x2+y2<\

(C)JJ(x+y)da>0(D)JJ(x-y)d(y>0

x2+y2<lJt2+>,2<l

6.1同:办=()

(A)£Xdy^'f(x,y)dx

o(B)dx

(C)"(x,y)dx

7.设区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，A为区域D的面积，则()

A=^xdy-ydx

(A)A=-xdy(B)

(C)A=xdy+ydx(D)A=^xdy-ydx

2LL

a

8.设£勺是正项级数，前n项和为s“二=i一则数列和｝有界是收敛的()

n=lk=Tn=l

(A)充分条件(B)必要条件

(C)充分必要条件(D)既非充分条件，也非必要条件

9.以下级数中，条件收敛的级数是()

81

(A)y(-i)w—(B)Zl严g

念2»+10n=\7n

00Q

Z(T)"-4

(0£(—1)向(；)"(D)

71=12M=17几

10.下列方程为线性微分方程的是()

,X

(A)yf=(sinx)y+ex(B)y=xsi♦ny+e

(C)y'=sinx+e'(D)xyr=cosy+l

二、填空题(每小题3分，5小题，共15分)

1.曲线2)-2=°在X”平面上的投影方程是________.

y—z+l=O

2.经过点(2,0-1)且垂直于直线□=2！！==的平面方程

1-14

是.

sin(x2y2)

3.lim2

.v->02x―

.12

4.设区域。是由x轴及半圆周所围成的闭区域，将二重积分

JJ/(x2+y2)db化为极坐标形式的二次积分应为.

D

5.设£〃“、才乙都是正项级数，且发散，则当〃=1，2,…，都有时，

n=ln=\n=\

之匕,也一定发散.

rt=l

三'设函数z=/，求£匚.（10分）

dxdyx=2

y=i

四、计算二重积分“"'lb’其中D是圆环形闭区域{（X,y）|14/+y2w4}.

D

（10分）

五'计算J（%2—冲3）公+（,2-2个）右，其中L是三个顶点分别为（0,0）、（2,0）

L

和（2,2）的三角形区域的正向边界.（10分）

六、求基级数之学的和函数.（10分）

念2H

七'求下列微分方程的通解：（xcos2-ysin2）dx+xsin）办=0.（10分）

XXX

八、应用题（15分）

计算半球面z=yla2-x2-y2被围在柱面Y+y2=以内的部分曲面的面积.

参考答案（模拟试卷一）

一：单项选择题（每小题3分，共24分）

1D；2、B；3、B；4^A；5、C；6、C；7、B；8、C.

二'填空题（每空4分，共20分）

1、es,ncosxy{ydx+xdy）；2、£e^ydy^dx；3、0；4、（-2,4）；5^=~^~,

三、计算题（每题8分，共40分）

1、解：Z；=7；Z；=一红〒；......2分

x-\-yx+y

/_-1/_-2y...........

ZXX-7'Zyy-（2\2，Z孙_Zyx~7Tv-，6介

（x+yJU+r）

2、解：回出积分区域......1分

xydx....4分

D

=^£[Xy+2）2-/^=5|……3分

3、解:如图,因为P（x,y）=2x-y+4,Q（x,y）=5y+3x-6......1分

V”一丝=3,则丝-丝=4

dydxdxdy

由格林公式得：^（2x-y+4）dx+（5y+3x-6）dy

^-^ixdy=jj4dxdy=12

皿产dx

4、解：arctanx=-----r2分

Jo1+X2

=£E(t)"x2'dx=Z£'(-1)"x2,，dx……3分

”=0n=0

oo2w+l

=之(一1)”3~；……3分

„=o2/1+1

5、解：原方程即为(ydx+xdy)+(x-l)Jx+/6fy=0...2分

即d(孙)+"g(x-l)2+"e'=0...2分

dxy+^(x-l)2+ey=0...2分

原方程的通解为孙+g(x—Ip+e、'=C……2分

四、应用题(16分)

解一：用二重积分计算。所求体积可视为圆柱体：x?+y2<a2,o《zWa2的体积与以

曲面z=/+y2为顶、以。,v为底的曲顶柱体体积之差，其体积为……8分

2

V=加2.“2_JJ(%2+y"xdy

%……8分

=如4-『例"="

JoJo2

解二：用三重积分计算。利用柱面坐标，有……4分

丫=川'=『曲£间；"

0…12分

=2万］：(/厂-/卜r=^-a4

答案(模拟试卷二)

一、单项选择题(每小题2分，共20分)

题号12345678910

答案BCADBBCDBD

二'填空题(每小题3分，共15分)

1.(9,-5,12)2.5l+j+7k3.——4.p<15.(-oo,+oo)

(x+y)~

三'计算题(每小题10分，共50分)

1.求函数/(x,y)=x3+/-3(x2+y2)的极值点，并求极值.

2

解：(X,V)=3%-6x,fy(x,y)=3V-6y

fr(X,y)=0[%1=o,%2=2

fy(x,y)=o.=0,^2=2

.••驻点为：(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).........................................4分

又,：人*=6x—6,人>=0,f、,y=6y-6.........................................6分

(1)对于驻点(0,0)有A=—6,B=0,C=-6,A^AC-B2=36>0且A<0

0)=0为极大值......................7分

(2)对于驻点(0,2)有A=—6,B=0,C=6,A^AC-B2=-36<0

.♦./(0,2)不是极值......................8分

(3)对于驻点(2,0)有A=6,3=0,C=-6,△=AC—3?=—36<0

•.../•(2,0)不是极值......................9分

(4)对于驻点(2,2)有A=6,B=0,C=6,A^AC-B2=36>0且A〉0

2)=-8为极小值......................10分

2.计算fjx2e-y2dvdy,其中。是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点是三角形区域.

D

解:JJ=x2e~y2dx]dy.........................................5分

D

3.计算f—5——\--7/，其中「为曲线：x=e'cost,y-e'sint,z=e'(0<Z<2).

x+y+z

fr1

解：原式-----;——J-----；———7(ecost)'+(esint)'+(e)'dt......3分

J。(e'cosrf+(e'sinf)2+(e')2、

••8分

10分

4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:

解：1+x~+X4+…+x~"+…=-----,|jd<13分

l-x211

352n-\

xxx

x+一+一+…+----+•寸占6分

352n-l

=­[P---dx+[---dx\

2Jo1-xJ。1+x

11+x

=-ln——(-1<X<1)....................10分

21—x

5.求微分方程满足已给初始条件的特解:

2x-y

y'=e>l=o=0・

/.eydy=e2xdx......................3分

1,

两边积分得：ey=-e2x+C......................7分

2

又""0

/.C=—.....................................9分

2

.•.特解为：ev=1(e2jc+l)......................10分

四、应用题与证明题(第1小题13分，第2小题12分，共25分)

1.求球面V+y2+z2=/3>0)被平面z=；与Z=］所夹部分的面积。

解：：Z=Jq2_y2且Q={(x,y)[：/《72+/4..........2分

.•.所求的面积为：S=JJJl+(Z)+区尸痴)，..................4分

D

=a[/]=dxdy..............................8分

JJ/222

Dyja-x-y

对H飒99分

1，八

~—7ia~..............................13分

2

2.证明曲面xyz=m(m>0)上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数.

解：曲面孙z=〃z上任一点尸(与，打)处的法向量为：n=(jozo,xozo,xoyo)...3分

P(x(),%)处的切平面方程为：yozo(x-xo)+xozo(y-yo)+xoyo(z-zo)=O

即：-1++-=1且有XOMJZO=机9分

3/3yo3z0

99

二所围立体的体积为：V=-xoyoz^—m12分

22

答案（模拟试卷三）

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

题号12345678910

答案DCDDCCCBDA

二、填空题（每小题3分，共15分）

2x2x

1.3J102.3x-7y+5z-乙1=03.---z-cse—

yy

1

4..=/=,5.jj（|号段叱

三、计算题（每小题10分，共50分）

d3z

1.设z=%ln（肛），求二二1.

dxdy

3z

解：—=lnxy+l......................3分

dx

・Sz_1

......................6分

dxdyy

.汹_1

----------------------10分

•.dxdy2y2

2.求其中D是由N+|y|〈i所确定的闭区域.

D

x+yx+yx

解：JJed（j="edxdy+jje^dxdy.....1分

DDiD2

力M）fX+1力"flf1-A

exeydy\dx......................7分

）dx......................9分

-110分

3.计算j(/一y)dr-(x+sin2y)力，其中L是在圆周：y=拒二上由点(0,0)到点(1,1)

的一段弧.

1—COS，-f-1n

解：设L的参数方程为：\~/从城IJ—....................2分

y=sint2

£(x2-y)dx-(x+sin2y)dy

兀

22

-1(1+cos/)-sin/]-(-sint)-[(1+cos/)+sin(sin/)]•cos/}//6分

==j[sinf+sin2t+sinrcos21+cos2r_cosf+cos/sin2(sint)]dt

2

=----F—sin210分

64

4.将函数y=(1+%)ln(l+%)展开成x的幕级数，并求展开式成立的区间.

XX'Y

解：Vyf=ln(l+x)+l=1+x----+—+…+(—1)”----+•••,-1<x<1.......4分

23H+1

y=(l+x)ln(l+x)

xn+2

=x+—-—+—+---+(-l)n+…

2612(〃+1)(及+2)

5/_1\rt-l

尤+Z———，(-1<%<1)10分

„=i〃(〃+1)

5.求下列微分方程的通解：cos2x-^-y=tanx

dx

解：:y-sec2x-y=tanx-sec2x

/.P(x)=-sec2x,Q(x)=tanx-sec2x....................2分

y=g4p(tWjt[-jQ(x)eJ，""&+C]....................3分

[sec2xdxC2-fsec2xdr

=eJ11tanxsecx-e