浙江省杭州市2021年中考数学真题及答案

浙江省杭州市2021年中考数学真题

学校:姓名：班级：考号：

一、单项选择题

1.-(-2021)=()

A.-2021B.2021D.----

20212021

2.“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录,

数据10909用科学记数法可表示为（

A.0.10909X105B.1.0909xlO4C.10.909xl03D.109.09xlO2

3.因式分解：1-4/=（）

A.（l-2y）（l+2>-）B.（2-y）（2+y）

C.。-2日（2+），）D.（2-y）（l+2y）

4.如图，设点尸是直线/外一点，PQ±l,垂足为点。，点T是直线/上的一个动点,

A.PT>2PQB.PT<2PQC.PT>PQD.PT<PQ

5.以下计算正确的选项是()

A.五=2B.*2)2=-2C.凡±2D.J(一2了=±2

6.某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四

月到五月接待游客人次的增长率为x(%>()),那么()

A.60.5(1-%)=25B.25(1-x)=60.5

C.60.5(1+%)=25D.25(l+x)=60.5

7.某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的时机均等，某天甲、乙两

位乘客同时乘同一列轨道列车，那么甲和乙从同一节车厢上车的概率是()

8.在“探索函数丁=公2+法+。的系数。，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了

直角坐标系中的四个点：A（0,2）,5（1,0）,C（3,l）,D（2,3）,同学们探索了经过

这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其

中。的值最大为（）

yfD

9.线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC,使AC_LA6；②作ZBAC的平分线AD;

③以点A为圆心，A3长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EPJ.A8于点P,

那么AP:A3=（）

A.1：V5B.1:2C.1:73D.i：V2

10.y和力均是以x为自变量的函数，当x=时，函数值分别为和A/?，假设存

在实数加，使得"1+加2=0,那么称函数必和%具有性质以下函数,和%具

有性质P的是（）

A.y=彳2+2x和必=-%-1

B.y=X?+2*和％=-%+1

C.必=」和必=—1

x

D.y=-，和%=-％+]

二、填空题

11.sin30。的值为.

12.计算：2a+3a=

13.如图，。。的半径为1,点P是。。外一点，且0P=2.假设PT是。。的切线,

T为切点，连接OT,那么PT=.

14.现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示.

甲种糖果乙种糖果

单元（元/千克）3020

千克数23

将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，假设商家用加权平均数

来确定什锦糖果的单价，那么这5千克什锦糖果的单价为元/千克.

15.如图，在直角坐标系中，以点A（3,l）为端点的四条射线AB，AC,AD，AE分

别过点,点C（l,3）,点0（4,4）,点£（5,2）,那么ABAC______ZDAE（填“〉”

16.如图是一张矩形纸片ABCD,点M是对角线AC的中点，点E在8c边上，把

△OCE沿直线DE折叠，使点。落在对角线AC上的点尸处，连接。尸，EF.假设

三、解答题

17.以下是圆圆解不等式组

2(1+x)>-1①

—(1—x)>-2②

的解答过程.

解：由①，得2+%>—1,

所以x>—3.

由②，得1一%>2,

所以-x>l,

所以x>T.

所以原不等式组的解是x>-l.

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.

18.为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳

次数的测试,并把测得数据分成四组,绘制成如下图的频数表和未完成的频数直方图(每

一组不含前一个边界值，含后一个边界值).

某校某年级360名学生一分钟跋堤

组别(次)频数

100-13048

130-16096

160~190a

190〜22072

(1)求。的值.

(2)把频数直方图补充完整.

(3)求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比.

19.在①=②ZABE=ZACD,③FC这三个条件中选择其中一个,

补充在下面的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在AABC中，NABC=NACB,点。在边上（不与点A,点3重

合），点E在AC边上（不与点A,点C重合），连接BE,CD,BE与CO相交于点

F.假设,求证：BE=CD.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

k

20.在直角坐标系中，设函数x=」（尤是常数，勺＞0,x〉0）与函数%=屋》52

x

是常数，&H0）的图象交于点A,点A关于y轴的对称点为点3.

（1）假设点B的坐标为（一1,2）,

①求仁,。的值.

②当时，直接写出x的取值范围.

（2）假设点B在函数为=幺［&是常数，匕工0）的图象上，求勺+&的值.

x

21.如图，在AABC中，NABC的平分线8。交AC边于点O,AE_L3C于点

E.ZABC=60°,ZC=45°.

(1)求证：AB=BD.

(2)假设AE=3,求△ABC的面积

22.在直角坐标系中，设函数y=ox?+瓜+1(«,。是常数，。*0).

(1)假设该函数的图象经过。,())和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的

顶点坐标.

(2)写出一组。，b的值，使函数旷=依2+法+1的图象与x轴有两个不同的交点，

并说明理由.

(3)a=b=l,当x=p,q(p,q是实数,p^q｝时，该函数对应的函数值分别

为P,Q.假设p+q=2,求证P+Q>6.

23.如图，锐角三角形A8C内接于O。，NBAC的平分线AG交0。于点G,交BC

边于点F，连接8G.

⑴求证：△ABGSAAFC.

(2)AB=a,AC=AF=b,求线段FG的长(用含。，方的代数式表示).

(3)点E在线段A尸上〔不与点A,点/重合)，点。在线段AE上(不与点A,点E重

合），ZABD=ZCBE,求证：BG2=GEGD.

参考答案

1.B

【分析】

由去括号法那么，即可得到答案.

【详解】

解：-(—2021)=2021.

应选：B.

【点睛】

此题考查了去括号法那么，解题的关键是掌握去括号法那么进行计算.

2.B

【分析】

用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如为正整数，据此解题.

【详解】

解：10909用科学记数法可表示为1.0909x1()4,

应选：B.

【点睛】

此题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是根底考点，难度较易，掌握相关知识是解

题关键.

3.A

【分析】

利用平方差公式因式分解即可.

【详解】

解：l-4y2=(l-2y)(l+2y),

应选：A.

【点睛】

此题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

4.C

【分析】

根据垂线段距离最短可以判断得出答案.

【详解】

解：根据点P是直线/外一点，PQ^l,垂足为点。，

.•・P。是垂线段，即连接直线外的点P与直线上各点的所有线段中距离最短，

当点T与点。重合时有PQ=PT，

综上所述：PT>PQ,

应选：C.

【点睛】

此题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义.

5.A

【分析】

由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】

解："=2>故A正确，C错误；

J(-2)2=2,故B、D错误；

应选：A.

【点睛】

此题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断.

6.D

【分析】

根据题意可直接列出方程进行排除选项即可.

【详解】

解：由题意得：

25(1+%)=60.5；

应选D.

【点睛】

此题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键.

7.C

【分析】

用树状图表示所有等可能的结果，再求得甲和乙从同一节车厢上车的概率.

【详解】

解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的结果,

甲123

乙123123123

共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能，

31

即甲和乙从同一节车厢上车的概率是§,

应选：C.

【点睛】

此题考查概率，涉及画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

8.A

【分析】

分四种情况讨论，利用待定系数法，求过A（0,2）,8（1。），C（3,l）,0（2,3）中的三个

点的二次函数解析式，继而解题.

【详解】

解：设过三个点A（0,2）,3（1,0）,C（3』）的抛物线解析式为：y^ax2+hx+c

分别代入A（0,2）,5（1,0）,C（3,l）得

c=2

<a+b+c=0

9a+3b+c-l

5

a--

6

,17

解得b=----；

6

c=2

设过三个点A（0,2）,3（1,0）,D（2,3）的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c

分别代入A（0,2）,5（1,0）,。（2,3）得

c=2

。+〃+c=0

4。+2b+c=3

5

ci———

2

解得

2

c=2

设过三个点A（0,2）,C（3,l）,。（2,3）的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c

分别代入A（0,2）,C（3,l）,0（2,3）得

c=2

9。+3。+c=1

4。+2h+c=3

5

a二—

6

,13

解得

6

c-2

设过三个点3（1，°），C（3』），。（2,3）的抛物线解析式为：y^ax2+bx+c

分别代入3（1,0）,C（3,l）,0（2,3）得

Q+〃+C=0

9。+3〃+c=1

4a+2b+c=3

a=—5

2

,21

解得《

2

c=-8

a最大为一，

2

应选：A.

【点睛】

此题考查待定系数法求二次函数的解析式，是根底考点，难度较易，掌握相关知识是解题关

键.

9.D

【分析】

由题意易得NBAQ=45。，AB=AE,进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三

角形的性质可求解.

【详解】

解：VAC±AB,

二NC4B=90°,

：平分N8AC,

,ZBAD=45°,

EPLAB，

...△APE是等腰直角三角形，

：.AP=PE,

*'•AE=yjAP2+PE2=0Ap-

"：AB=AE,

AB=6AP，

AP:AB=1:亚；

应选D.

【点睛】

此题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直

角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键.

10.A

【分析】

根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项.

【详解】

解：当X=时，函数值分别为和知2,假设存在实数m,使得陷+加2=0，

对于A选项那么有加2+加—1=0,由一元二次方程根的判别式可得：

〃—4ac=1+4=5>0,所以存在实数相，故符合题意；

对于B选项那么有m2+加+1=(),由一元二次方程根的判别式可得：

〃_4ac=l—4=—3<0,所以不存在实数机，故不符合题意；

2

对于C选项那么有一上一初一1=0,化简得：w+m+l=0,由一元二次方程根的判别式

m

可得：廿—4ac=l—4=-3<0,所以不存在实数神，故不符合题意；

对于D选项那么有一,―，〃+1=0,化简得：加2_加+1=0,由一元二次方程根的判别式

m

可得：〃-4ac=l—4=—3<0,所以不存在实数，“故不符合题意；

应选A.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次

方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键.

.1.1

2

【详解】

试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin300=y.

12.5a

【分析】

根据同类项运算的加法法那么进行计算即可.

【详解】

原式=(2+3)a

=5a.

【点睛】

此题主要考查的是同类项运算的加法法那么，熟练掌握法那么是此题的解题关键.

13.百

【分析】

根据圆的切线的性质，得NOTP=90。,根据圆的性质，得07=1,再通过勾股定理计算，

即可得到答案.

【详解】

是00的切线，T为切点

•••ZO7P=90°

二PT=yJOP2-OT2

VQ0的半径为1

...OT=\

,PT=J"2-":也―1=G

故答案为：、万.

【点睛】

此题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、勾股定理的性质,

从而完成求解.

14.24

【分析】

根据题意及加权平均数的求法可直接进行求解.

【详解】

解：由题意得：

30x2+20x3

=24（元/千克）;

2+3

故答案为24.

【点睛】

此题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键.

15.=

【分析】

连接OE,判断△ABC和AAOE是等腰直角三角形，即可得到NB4C=NZ>4E=45°.

【详解】

解：连接。E,如图

•••点4(3,1),点8(1,1)，点。(1,3),点。(4,4),点七(5,2),

由勾股定理与网格问题，那么

AB=BC=2,ZABC=90°,

.二△ABC是等腰直角三角形；

vAE=DE=yl?2+i1=V5-仞=曲+'=亚,

AE2+DE2=AD2^

：.ZAED=90°,

.../\ADE是等腰直角三角形；

，ZBAC=ZDAE=45O；

故答案为：=.

【点睛】

此题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握

掌握所学的知识，正确判断^ABC和小ADE是等腰直角三角形.

16.18

【分析】

连接设/D4f=x,利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出/A/)C=90。,

列出方程解方程即可.

【详解】

连接MQ,设ND4F=x

根据矩形的根本性质可知AD//BC,ZBCD=ZADC=90°

：.ZMDA^ZDAF^x,ZACB=ZDAC^x

・・・ZDMF=2x

•••△。。七折叠得到^DFE

：.DF=CD=AB,DE±FC,ZFDE=ZCDE

又MF=AB

：.MF=DF

：.ZMDF=2x

VZBCD=ZACB+ZACD=90°fNEDC+/FCD=90。

：.ZCDE=ZACD=x

：.ZFDE=ZCDE=x

：.ZADC=ZADM+ZMDF+ZFDE+ZCDE=x+2x+x+x=5x=90°

/.x=18°

故ND4F=18。

故答案为18.

【点睛】

此题考查了矩形的折叠问题，能够做出适宜的辅助线用ND4尸表示出NAOC是解题关键.

17.有错误，正确的过程见解析

【分析】

利用一元一次不等式的性质、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等解题.

【详解】

解：圆圆的解答过程有错误，

正确的解答过程如下：

由①，得2+24>一1,

所以2x>—3,

3

所以x>—；

2

由②，得一1+%>—2，

所以1—x<2,

所以—％<1,

所以%>—1,

将不等式组的解集表示在数轴上：

立~W~=2~3^01\34*"

~2

所以原不等式组的解是X>-1.

【点睛】

此题考查解一元一次不等式组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

18.(1)144；⑵见解析；⑶20%

【分析】

(1)根据各组频数之和等于总数求出a的值即可得出答案；

(2)根据频数分布表中的数据，即可将频数分布直方图补充完整；

(3)用总人数乘以样本中第4组频数和占总人数的比例即可.

【详解】

解：⑴a=360-48-96-72=144；

那么。的值为144；

(2)补全频数直方图，如图.

某校某年级360名学生一分件由绳

(3)因为72+360xl00%=20%,

所以该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的20%.

【点睛】

此题考查了频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答此题的关键是明确题意,

利用数形结合的思想解答.

19.见解析

【分析】

根据全等三角形的判定方法解答即可.

【详解】

解：选择条件①的证明：

因为NABC=ZACB,

所以AB=AC,

又因为AZ)=AE，NA=NA，

所以△ABE丝△ACD,

所以BE=CD.

选择条件②的证明：

因为NABC=NAC8,

所以4B=AC,

又因为NA=NA，ZABE^ZACD,

所以△ABE四△AC。，

所以B£=cr).

选择条件③的证明：

因为EB=FC,

所以NFBC=NFCB,

又因为N4BC=NAC3,BC=CB,

所以△CBE丝△BCD,

所以BE=CD

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定方法，证明两个三角形全等的方法有：SSS,AAS,SAS,

ASA,HL

20.(1)①J=2,左2=2；②％>1；⑵0

【分析】

(1)①根据点A关于y轴的对称点为点8,可求得点A的坐标是。,2),再将点A的坐标

分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得匕=2,%=2；②观察图象可解

题；

12)将点B代入％=&，解得幻的值即可解题.

x

【详解】

解(1)①由题意得，点A的坐标是(1,2),

k

因为函数X=」的图象过点A,

x

所以K=2,

同理心=2.

②由图象可知，当,<%时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，

即当时，x>l.

⑵设点A的坐标是(毛,%),那么点3的坐标是(一天,%)，

所以匕=玉>%，勺=一玉1先，

所以匕+&=0.

【点睛】

此题考查关于>'轴对称的点的特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式等知识,

是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

21.(1)见解析；(2)2txl

2

【分析】

(1)根据题意证明N3AC=NAD8即可；

(2)根据特殊角的锐角三角函数求得BE、EC的长，用三角形面积公式计算即可.

【详解】

解：(1)因为8。平分NA3C,

所以NO8C=，ZA8C=30°.

2

所以ZADB=ZDBC+ZC=75°,

又因为ZBAC=180°-ZABC-ZC=75°,

所以N84C=NAD8,

所以=

A17广Ap

(2)由题意，得BE=-----------=杷,EC=-------=3

tanZABCtanZC

所以8C=3+6，

所以AABC的面积为」BC-AE=9+36

22

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的判定，根据特殊角的三角函数求边长，正确记忆特殊角的锐角三

角函数值是解题关键.

22.(1)y=X1-2x+\，顶点坐标是(1,0);(2)a=l,b=3,理由见解析；［3)见解

析.

【分析】

(1)把点(L0)和(2,1)代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求解

顶点坐标；

(2)根据二次函数的图象与系数