2022届重庆市高三（上）入学数学试卷（学生版+解析版）

2022届重庆市高三（上）入学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）复数z=（3+i）（1-4i）,则复数z的实部与虚部之和是（）

A.-12B.-4C.10D.18

2.（5分）己知集合A=[x\2x-1>5},B={x[（x-a）（x-a+1）20},若A则a

的取值范围是（）

A.[4,+8）B.[3,+8）C.（-8,4]D.（-8,3]

22

3.（5分）如果双曲线x。一y三■=1的离心率为y上/S+―1，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，

a2b22

x2y2

简称为黄金双曲线.现有一黄金双曲线C：-7^--T7=1">0）,则该黄金双曲线C

V5-1b2

的虚轴长为（）

A.2B.4C.V2D.2V2

4.（5分）六氟化硫，化学式为SF6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，

有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正

八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个

氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a,则六氟化硫分

子中6个氟原子构成的正八面体体积是（）（不计氟原子的大小）

4注38-\/23LAL3

A.---aB.---aC.4>/2a3D.8V2a3

33

5.（5分）在（/一|）7的展开式中，金项的系数是（）

A.280B.-280C.560D.-560

6.（5分）已知函数/（工）=/+加?+2,若/（2）=7,则/（-2）=（）

A.-7B.-3C.3D.7

21

7.（5分）已知〃>0,力>0,且a+b=2,则一+二的最小值是（）

a2b

99

A.1B.2C.一D.一

42

8.（5分）已知函数/（x）=Ec-x+a恰有两个零点，则〃的取值范围是（）

A.（-8,-1）B.（-8,1）c.（-1,+°°）D.（1,+0°）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.（5分）已知向量或=（?7i,2）,b=（-1,n）,则下列结论正确的是（）

A.若a||b,贝利〃+2=0B.若a||b,则加〃-2=0

C.若a1b,则/n-2〃=0D.若al.b,则，*+2〃=0

10.（5分）旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中所发

生的一切关系和现象的总和.随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的

一部分.某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到

各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论不正确的有（）

A.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人

人数的一半

B.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5%

C.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助

游的青年人多

D.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为25%

11.（5分）已知函数/G）=2cos（OK+专）-1（a）>0）,若函数/G）的三个相邻的零点

分别为了1,X2,X3（X\<X2<X3）,且卜1-尤|=入位-X3|=苴，则3+入的值可能是（）

59

A.一B.—C.4D.6

22

12.（5分）已知三棱柱ABC-AiBiCi的6个顶点全部在球。的表面上，AB=AC,ZBAC

=120°,三棱柱48（7-481。的侧面积为8+4b，则球。的表面积可能是（）

A.4nB.8nC.16TtD.32Tl

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。

丫2-X-1丫S27T

,则//（丁））=__________________.

｛sinx,x>03

14.（5分）小华、小明、小李小章去4,B,C三个工厂参加社会实践，要求每个工厂都有

人去，且这四人都在这三个工厂实践，则小华和小李都没去B工厂的概率

是.

15.（5分）已知数列｛“”｝的前〃项和为S”，且品=2斯-2（〃€N+）,贝US9=.

16.（5分）已知抛物线C：/=以的焦点为「直线/：x-y-1=0与抛物线C交于A,B

两点（其中点A在x轴上方）,则黑=.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在①。3+。6=18,②｛词的前"项和%=n2+pn,③。3+“4=。7,这三个条件中

任选一个，补充在下面的问题中并解答.

问题：在等差数列｛斯｝中，ai=2,且一.

（1）求数列｛“"｝的通项公式;

（2）若bn=7rJ—,求数列｛为｝的前〃项和7k

anan+l

18.（12分）在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且（2b-c）cosA-acosC

=0.

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC的面积为3我，求△4BC外接圆面积的最小值.

19.（12分）如图，在多面体A8CD£尸中，四边形A8CD是正方形，DEJ_平面ABC。，BF

_L平面ABC。，DE=2BF=2AB.

（1）证明：平面ABF〃平面C£>E；

（2）求平面48尸与平面CE尸所成锐二面角的余弦值.

E

20.（12分）北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国

北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张

家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北

京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培

训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考

核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩得到的统计图表如下所示.

女志愿者考核成绩频率分布表

分组频数频率

[75,80]20.050

[80,85]130.325

[85,90]180.450

[90,95]am

[95,100Jb0.075

若参加这次考核的志愿者考核成绩在［90,100］内，则考核等级为优秀.

（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；

（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女

志愿者的人数为X,求X的分布列及期望.

男志愿者考核成绩频率分布直方图

,尸2,且|F1尸2|=2,

点多在椭圆C上.

(I)求椭圆C的标准方程;

(2)已知点P(l,，)为椭圆C上一点，过点放的直线/与椭圆C交于异于点尸的A,

3两点，若△出8的面积是券，求直线/的方程.

22.(12分)已知函数/(x)—xe^-2lnx-^+x-2.

(1)求函数fG)图象在x=l处的切线方程;

(2)证明：/(x)>0.

2022届重庆市高三（上）入学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）复数z=（3+i）（1-4/）,则复数z的实部与虚部之和是（）

A.-12B.-4C.10D.18

【解答】解：z=（3+力（1-4Z）=3-⑵+i+4=7-lli,

故复数z的实部与虚部分别为7,-11,

故复数z的实部与虚部之和为-4,

故选：B.

2.（5分）已知集合A={x|2x-1>5},B={x[（x-a）（x-a+1）>0},若AUB=R,则a

的取值范围是（）

A.[4,+8）B.[3,+8）C.（…，4jD.（一，3]

【解答]解：A={x\2x-1>5}={木>3},B={x\（x-6Z）（x-a+1）20}={x|xWa-1

或

若AUB=R,则a-123,即心4.

.♦.a的取值范围是[4,+8）.

故选：A.

3.（5分）如果双曲线。一1的离心率为二;一，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，

a2b22

x2y2

简称为黄金双曲线.现有一黄金双曲线C7^7-77=1（b>0），则该黄金双曲线C

V5-1b2

的虚轴长为（）

A.2B.4C.V2D.2V2

Q2+/?2匕2+1

【解答】解：由题意可得，-r=；=1+~7=~~~~）2,解得b2—2,即b=>/2,

a2a2V5-12

故黄金双曲线C的虚轴长为2b=2y/2.

故选：D.

4.（5分）六氟化硫，化学式为SP6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，

有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正

八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个

氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分

子中6个氟原子构成的正八面体体积是（）（不计氟原子的大小）

A.-----aB.-----优C.4y[2crD・Sy/2cr

33

【解答】解：六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，这个正八面体结构是两个正

四棱锥组合而成，

棱锥的高为：JM2—（缶）2,

正四棱锥的体积为：|x2ax2axy/4a2-（V2a）2=^^a3,

8y/2

六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体体积是：-y-a3Q.

故选：B.

5.（5分）在（/一|）7的展开式中，金项的系数是（）

A.280B.-280C.560D.-560

【解答】解：在（/一》7的展开式中，通项公式为小1=6>（-2）令21-

4/・=5,求得r=4,

故小项的系数是点・24=560,

故选：C.

6.（5分）已知函数/（x）=加+加3+2,若/（2）=7,则/（-2）=（）

A.-7B.-3C.3D.7

【解答】解：由函数f（x）=加+/?4+2且/（2）=7,

得32。+勖=5,

：.f（-2）=-（32。+8匕）+2=-5+2=-3,

故选：B.

21

7.（5分）已知a>0,h>0,且a+b=2,则一+/的最小值是（）

a2b

99

A.1B.2C.一D.一

42

【解答】解：•.">（）,b>0,且a+b=2,

当且仅当J=三，即4=6=号时取等号，

a2b33

219

故一+云的最小值是一，

a2b4

故选：C.

8.(5分)已知函数/(x)=/,M-x+q恰有两个零点，则4的取值范围是()

A.(-8,-1)B.(…，1)C.(-1,+8)D.(1,+8)

11X

X---

【解答】解：由题，fX1=X

则当0<x<l时;f(x)>0,f(JC)单调递增；当x>l时，f(x)<0,f(x)单调

递减.

故/(X)在x=1处取得最大值f(1)="-1,

由题可知，需满足/(I)>0,即

当4>1时，/(/")=-/。<0,

故函数f(x)=/nx-x+a在(/。，1)上存在一个根，

存在b>(VT+a)2>1,

使得/(6)</l(l+>/lTa)2]=/n(1+VTTa)2-(1+VTTa)2+a<2(1+VTTa)-

(1+(1+a)~+a=0,

从而函数=/〃x-x+a在(1,b)上存在一个根，

故a的取值范围为(1,+°°).

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分。

9.(5分)已知向量之=(m,2),b=(-1,n),则下列结论正确的是()

A.若aIIb,则〃2〃+2=OB.若；||b,则-2=0

C.若a1b,贝ij“2-2”=0D.若a_Lb,贝！j,〃+2〃=0

【解答】解：时，有加〃-2X(-1)=0,HDmn+2=0,选项A正确、选项B错误；

Z_Lb时，有加X（-1）+2Xn=0,即m-2"=0,选项C正确、选项。错误.

故选：AC.

10.（5分）旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中所发

生的一切关系和现象的总和.随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的

一部分.某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到

各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论不正确的有（）

A.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人

人数的一半

B.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5%

C.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助

游的青年人多

D.估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为25%

【解答】解：设2020年到该地旅游的游客总人数为“，由题意可知游客中老年人、中年

人、青年人的人数分别为0.2a,0.35a,0.45a,

其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为0.04a,0.0875a,0.135a.因为

1

0.875a>0.l35ax*=0.0675“，所以A错误，

2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数与总游客人数的比值为些也x

a

100%=13.5%,所以B正确，

因为0.04a+0.0875a=0.1275a<0.135。，所以C错误，

2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为—十°'°875a+°I。。乂100%=

a

26.25%,所以。错误.

故选：ACD.

11.(5分)已知函数=2cos(o)x+^)-1(u)>0),若函数f(x)的三个相邻的零点

分别为XI，X2,X3(XIVhV用)，且|xi-X2|=入|%2-用|=半则3+入的值可能是()

59

A.一B.-C.4D.6

22

【解答】解：函数/(x)=2cos(WA-+I)-1(«>0),若函数/(X)的三个相邻的零点

分别为XI,X2,X3(XIVx2Vx3),

即COS(o)x+^)=2的三个相邻的解分别为XI,X2,X3(X1<X2<X3)，

且|%1-X2|=A|X2~X3\=.

22717rj12717T1

・二一x—=一,/.u)=4,入=2；或-x—=—,Aa)=2,入=小

3co33to32

♦•・3+入=6,或u)+入=2，

故选：AD.

12.(5分)己知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点全部在球0的表面上，AB=AC,ZBAC

=120°,三棱柱48。-481。的侧面积为8+4K，则球。的表面积可能是()

A.4nB.8nC.16TTD.32n

【解答】解：由题意知，三棱柱ABC-4B1C1为直三棱柱,

设直三棱柱的高为〃，球的半径为R,△ABC的中心为点。，则0£>=/

'：AB=AC,ZBAC=120°,

，可设AB=AC=m,则BC=V5/n,AD=m,

二三棱柱ABC-A向Ci的表面积为(A8+AC+BC”/z=8+4g,即(2+百)，泌=8+46,

♦・mh=:Ai

在RtZ\OA。中，OA2=OZ）2+AD2,即R2=（_）2+m2t

2

，球的表面积S=4TTR2=4TT（1庐+加2）>4TTX21^--m2=4ftmh—16TT,

当且仅当〃仁狮，等号成立,

.•.球0的表面积可能是16m32K.

故选：CD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。

%2+1/x<052n7

13.（5分）己知函数/（x）=则”/（丁））=三

sinx,x>0

x2+1/x<0

【解答】解:知函数/（x）=

,sinx,x>0

所以/（当卫）=sin善卫=s讥（17兀+1）=—sin^=一拳

所以fG（等））=/（-f）=（—苧）2+1=

、7

故答案为：

4

14.（5分）小华、小明、小李小章去A,B,C三个工厂参加社会实践，要求每个工厂都有

7

人去，且这四人都在这三个工厂实践，则小华和小李都没去3工厂的概率是

【解答】解：先把四个同学分成三组，有废=6种，然后在进行排列，屑=6种，

根据分步计数原理，不同的分配方案共有6X6=36和I

因为小华和小李没有去8工厂，进行分情况讨论，

若B工厂有两个人，那么肯定是小李和小章，则小华和小李分别取A和B工厂，即掰=2

种；

若8工厂有一个人，从小李和小章中选一个，©=2种，然后剩下的一个人和小李和小

华分配到A、C工厂,有废掰=6种,

根据分步计数原理，此时的分配方案共有2X6=12种.

综上可得，不同的分配方案有12+2=14种，

147

即小华和小李都没去B工厂的概率是二=—.

3618

_7

故答案为：—.

15.(5分)已知数列｛〃”｝的前"项和为S,且S"=2a”-2(”6N+),则S9=1022.

【解答】解：Sn=2an-2(〃€N+),

当〃=1时，a\=S\=2a\-2,所以m=2,

当〃22时，Sn-\=2an-i-2(nGN+),

两式相减可得加=2如-2加一|,

整理得Cln—2cin'I，

所以数列｛珈｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以S9=驾二=1022.

1-Z

故答案为：1022.

16.（5分）已知抛物线C：丫2=以的焦点为F，直线/：x-y-1=0与抛物线C交于A,B

两点（其中点A在x轴上方），则黑=3+2或•

【解答】解：由题意可知，直线/经过焦点F,设其倾斜角为0,

则cos。：?，如图所示，直线，是抛物线C的准线，

作AA'_L，，BB'U,BE1AA',

则|A41=|AF|,|A'E1=|BB'|=|BF|,

故|A£l=|4fl-\BF\,\AB\=\AF\+\BF\,

因为cosZBA£=j44r=cos9=孝,

|/1£>IZ

哪耦咛

则黑=3+2丘

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在①03+46=18,②｛〃"｝的前"项和Sn="+pn,③43+44=47,这三个条件中

任选一个，补充在下面的问题中并解答.

问题：在等差数列｛斯｝中，a\=2,且.

（1）求数列｛板｝的通项公式；

（2）若九—,求数列｛为｝的前〃项和7k

anan+l

【解答】解：选①〃3+。6=18,（1）设等差数列的公差为止可得2m+7d=2+7d=18,解

得d=2,

所以。〃=2+2(〃-1)=2n；

(2)若6九=------=-3—7-—----)，

斯品+14n(n+l)4nn+i

可得力,=」(I-A4-I-I4-4-1———)1(]——3_)n

」何力？4-2十23十…十九九+1，=4sn+17=4n+4

选②{“〃}的前n项和%="+pn,

(1)由m=Si=l+p=2,可得p=l,

则S〃=〃2+〃，

当"22时、an=Sn-Sn-1=层+〃-(/?-1)2-(〃-1)=2〃，

上式对n=\也成立,

所以。”=2〃；

11111

(2)若b=(——---),

anan+l_4n(n4-l)-4nn+1

—n

可得Tn=,1)=1(1_1)=

nn+14n+14n+4,

选③。3+44=47,

（1）设等差数列的公差为d,可得2m+5d=m+6d,即=d=2,

所以a〃=2+2(n-1)=2n；

11111

(2)若“=(——---),

斯册+1-4九(n+1)-4nn+1

可得%=*（T+X+“+\一磊）=5（1一击）n

=4n+4'

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,且(2b-c)cosA-acosC

=0.

（1）求角A的大小；

（2）若AABC的面积为3/，求△ABC外接圆面积的最小值.

【解答】解：(1)•・•在△ABC中，(2b-c)cosA-6ZcosC=0,

\2+<2均2a24-b2-c2

(2b-c)x-ax

2bc2ab=0,

J.tr+c1-?=bc,

.Ab2+c2—a2be1

..cos4=一贵'一=示=2,

VAG(0,n),

71

・・・A4一-亍

(2)由(1)知：A=半△ABC的面积为3A/5="csinA=乎姐

be—12,

，由余弦定理可得：a2=h2+c2-hc^2hc-bc=bc=\2,即〃22次，当且仅当6=c时等

号成立，

设AABC外接圆半径为R,则由正弦定理一匕=2几可得R=又为乌=2,当且

sinAzsm/i2x竽

仅当b=C,时等号成立，

.二△ABC外接圆面积S=nR224ir,当且仅当b=c时等号成立，即△ABC外接圆面积的

最小值4TT.

19.(12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，OE_L平面ABC。，BF

_L平面ABC。，DE=2BF=2AB.

(1)证明：平面尸〃平面CDE；

(2)求平面48尸与平面CEf所成锐二面角的余弦值.

【解答】(1)证明：因为£>E_L平面A8CD,BFJ_平面ABCD,

则DE//BF,

又QEu平面CDE,BFC平面CDE,

所以8F〃平面CDE,

因为四边形A8CZ)是正方形，则4B〃C£),

又CQu平面CDE,A8C平面CDE,

所以A8〃平面CDE,

因为A8,BFu平面A8F,ABDBF=B,

所以平面AB尸〃平面CDE；

(2)解：由题意可知，DA,DC,两两垂直，

以。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设AB=1,则A(1,0,0),C(0,1,0),E(0,0,2),F(1,1,1),

所以b=(l,1,-1),CF=(1,0,1),

设平面CEF的法向量为/=(x,y,z),

贝胆mU，叫2工；=。

令x=l,贝lJy=-2,z=-1,

故/n=(1/-2/—1)，

又平面4B尸的一个法向量为£=(L0,0),

所以|皿至小=需=+=*

V6

故平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值为二•.

6

20.(12分)北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国

北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张

家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北

京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培

训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考

核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩得到的统计图表如下所示.

女志愿者考核成绩频率分布表

[75,80]

[80,85]

[85,90]

[90,95]

[95,100]

若参加这次考核的志愿者考核成绩在［90,100］内，则考核等级为优秀.

(1)分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；

(2)若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女

志愿者的人数为X,求X的分布列及期望.

男志愿者考核成绩频率分布直方图

频率

组即

0.080

0.060

0.025

8:818

O*707580859095100号核成绩/分

【解答】解：(1)这次培训考核的女志愿者人数为：二=40人，

0.05

这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为：

(80-40)X(0.015+0.010)义5=5人，

这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为［1-(0.050+0.325+0.45)X40=7.

(2)从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，

记抽到女志愿者的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,

仆=1）=军=另=务

ZZULL

C12

（x—2）-CSC7_105_21

-PX2）-3-220-44'

c12

P（x=3）-豆-巫_工

产6-r3-220-44'

c12

；.X的分布列为：

X012

P17217_

22224444

172177

X的期望E（X）=0x22+1x^2+2X44+3X44=4-

21.（12分）已知椭圆C：