第6章数字信号处理系统的实现

第6章

数字信号处理系统的实现

为IIR滤波器形式，{bi}都为0时就是一个FIR滤波器。对于这样一个系统，也可用差分方程来表示：一个数字滤波器的系统函数一般可表示为有理函数形式：6.1数字滤波器的结构

6.1.1

数字网络的信号流图表示

差分方程中数字滤波器的基本运算：①加法②乘法③延迟加法、乘法、延迟这三种基本运算的流图符号：几个概念：只有输出支路的节点称为输入节点或源点；只有输入支路的节点称为输出节点或阱点；既有输入支路又有输出支路的节点叫做混合节点。通路是指从源点到阱点之间沿着箭头方向的连续的一串支路，通路的增益是该通路上各支路增益的乘积。回路是指从一个节点出发沿着支路箭头方向到达同一个节点的闭合通路，它象征着系统中的反馈回路。组成回路的所有支路增益的乘积通常叫做回路增益。*梅逊(Mason)公式式中：Tk为从输入节点（源点）到输出节点（阱点）的第k条前向通路增益；Δ为流图的特征式Δk是不接触第k条前向通路的特征式余因子

是所有不同回路增益之和，为两个互不接触回路增益之和为三个互不接触回路增益之和信号流图的转置定理：对于单个输入、单个输出的系统，通过反转网络中的全部支路的方向，并且将其输入和输出互换，得出的流图具有与原始流图相同的系统函数。信号流图转置的作用：①转变运算结构；②验证计算流图的系统函数的正确与否。

运算结构对滤波器的实现很重要，尤其对于一些定点运算的处理机，结构的不同将会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要的性能。对于无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器与FIR数字滤波器，它们在结构上各有自己不同的特点，因此我们在下面将对它们分别加以讨论。

6.1.2IIR数字滤波器的结构

IIR数字滤波器的结构特点：存在反馈环路，递归型结构。同一系统函数，有各种不同的结构形式。其主要结构有：(1)直接型

直接由IIRDF的差分方程所得的网络结构。上述结构缺点：①需要2N个延迟器（z-1），太多。②系数ai、bi对滤波器性能的控制不直接，对极、零点的控制难，一个ai、bi的改变会影响系统的零点或极点分布。③对字长变化敏感（对ai、bi的准确度要求严格）。④易不稳定，阶数高时，上述影响更大。（2）直接Ⅱ型上面直接型结构中的两部分可分别看作是两个独立的网络(H1(z)和H2(z)),两部分串接构成总的系统函数：由系统函数的不变性（系统是线性的），得两条延时链中对应的延时可合并：

直接II型优缺点：优点：延迟线减少一半，为N个，可节省寄存器或存储单元。缺点:1)系数ai、bi对滤波器性能的控制不直接，对极、零点的控制难;2)对字长变化敏感（对ai、bi的准确度要求严格）。3)易不稳定，阶数高时，上述影响更大。通常在实际中很少采用上述两种结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统来实现。【例6.1.1】假设某IIR数字滤波器的系统函数为试画出该数字滤波器的直接II型结构。解：（1）将系统函数化成式（6.1.1）形式（2）级联型（串联）结构

一个N阶系统函数可用它的零、极点表示，即把它的分子、分母都表达为因子形式

将共轭因子合并为实系数二阶因子，单实根因子看作二阶因子的一个特例，则

用若干二阶网络级联构成滤波器，二阶子网络称为二阶节，可用正准型结构实现。

级联型结构的优缺点：

优点：①简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就可实现整个系统；②极、零点可单独控制、调整，③各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差；④可流水线操作。缺点：二阶节电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。（3）并联型结构

将系统函数展开成部分分式之和，可用并联方式构成滤波器：将上式中的共轭复根成对地合并为二阶实系数的部分分式，上式表明，可用L个一阶网络、M个二阶网络以及一个常数并联组成滤波器H（z），结构如下图：特点：①系统实现简单，只需一个二阶节，系统通过改变输入系数即可完成；②极点位置可单独调整；③运算速度快（可并行进行）；④各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。缺点：

不能直接调整零点，因多个二阶节的零点并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传输零点时，级联型最合适。6.1.3FIRDF网络结构形式

它的系统函数和差分方程一般有如下形式：基本的结构形式有下几种：（1）直接型（卷积型、横截型）结构卷积型：差分方程是信号的卷积形式；横截型：差分方程是一条输入x(n)延时链的横向结构。

直接由差分方程可画出对应的网络结构：直接型的转置：（2）级联型（串联型）结构当需要控制滤波器的传输零点时，可将系统函数分解为二阶实系数因子的形式：于是可用二阶节级联构成，每一个二阶节控制一对零点。缺点：①所需要的系数a比直接型的h(n)多；②乘法运算多于直接型。图（3）线性相位型结构

FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤波器，此时满足偶对称或奇对称条件。偶对称时，N为偶数N为奇数

图

N为偶数的线性相位FIR滤波器结构

图

N为奇数的线性相位FIR滤波器结构

优点：线相相位型结构的乘法次数减为：

N/2（N偶数）（N+1）/2（N奇数）

(横截型结构乘法次数：N次)（4）频率采样型结构

FIR滤波器h(n)是长为N的序列，因此对系统函数H(z)在单位圆上作N等分采样，就是离散付里叶变换值H(k)。用频率采样表达z函数的内插公式为：H(z)由两部分级联而成，第一部分

这是一个由节延时器组成的梳状滤波器，它在单位圆上有个等分的零点：梳状滤波器频响该网络的极点正好各自抵消一个梳状滤波器的零点，从而使这个频率点的响应等于H(k)。两部分级联后，就得到频率采样型的总结构。

第二部分（IIR部分）是一组并联的一阶网络此一阶网络在单位圆上有一个极点：

这一结构的最大特点是它的系数H(k)直接就是滤波器在处的响应，因此，控制滤波器的响应很直接。两个主要的缺点：①所有的系数和都是复数，计算复杂。②所有谐振器的极点都在单位圆上，考虑到系数量化的影响，有些极点实际上不能与梳状滤波器的零点相抵消，使系统的稳定性变差。

为了克服这两个缺点，作两点修正：1）将所有零点和极点移到半径为的圆上，略小于1，同时频率采样点也移到该圆上，以解决系统的稳定性。这时2）共轭根合并，将一对复数一阶子网络合并成一个实系数的二阶子网络。这些共轭根在圆周上是对称点即同样，h(m)因是实数，其DFT也是圆周共轭对称的，因此可将第k及第N-k个谐振器合并为一个二阶网络

这个二端网络是一个有限Q值的谐振器，谐振频率为。除了以上共轭极点外，还有实数极点，分两种情况：当为偶数时，有二个实数极点，对应H(0)和H(N/2)，有二个一阶网络：当为奇数时，只有一个实数极点，对应H(0)，有一个一阶网络：改进后的频率采样型结构如下图

频率采样型特点：（一）．优点：

1.选频性好，适于窄带滤波，大部分H(k)为0，只有较少的二阶子网络；

2.不同的FIR滤波器，若长度相同，可通过改变系数用同一个网络实现；

3.

复用性好。（二）.缺点：结构复杂，采用的存贮器多。

（5）FFT快速算法(目前最常用)作业：P2335.4、5.5、5.6、5.76.2.1量化噪声数字信号处理的实现，本质上就是运算。要实现运算，信号序列值及参加运算的各个参数都必须以一定长度的二进制数表示。例如：0.8012用二进制表示为(0.110011010…)2，如果用8位二进制数表示，第1位为符号位，则二进制序列为(0.1100110)2

，其十进制值为0.796875。0.796875-0.8012=-0.004325可见与原数据值不相等，形成误差，称为量化误差。6.2数字信号处理中的量化效应采用浮点制表示，由于其动态范围大，量化误差小，对滤波器性能的影响也小，一般不用考虑量化效应；因此下面仅讨论定点制的量化误差。假设信号量是b+1位二进制数表示的定点小数，其中第1位为符号位，后面b位为小数部分；则能表示的最小数据单位为2-b

，称为量化阶，用q表示，即：q=2-b

。对超过b位部分进行尾数处理的方法有两种（1）舍入法，即：如果第b+1为1，则对第b+1进行加1（进位），对第b+2以及以后的数舍去，如果第b+1为0，则舍去第b+1以及以后的所有位数；（2）截尾法，即将第b+1以及以后的数全部舍去。假设信号量化后用Q[x(n)]表示，定义量化误差：在一般情况下，x(n)为随机信号，那么e(n)也是随机信号，因此也经常被称为量化噪声。要精确知道量化噪声的大小是很困难的，也是没有必要的。因此，通过分析量化噪声的统计特性来描述量化误差，并对其统计特性作如下假定：①e(n)是平稳随机序列；②e(n)与信号x(n)不相关；③e(n)任意两个值之间不相关，即为白噪声；④e(n)具有均匀等概率分布。由上述假定知，量化误差是一个与信号序列完全不相关的加性白噪声序列。对一个采样数据作截尾和舍入处理，则

上两式给出了量化误差的范围，要精确知道误差的大小很困难。通过分析量化噪声的统计特性来描述量化误差。量化误差的概率密度曲线截尾量化误差：舍入量化误差：

误差的均值和方差：（１）截尾量化噪声：有直流分量，会影响信号的频谱结构。（２）舍入量化噪声：数字信号处理实现中，量化误差主要产生于：（1）对输入模拟信号的A/D转换；（2）数字网络中的运算处理过程；（3）对系统中各个系数的量化。量化误差将使滤波器的性能产生变化，下面分别讨论各种量化效应。6.2.2A/D变换的量化效应A/D变换器分为两部分：采样：时间离散，幅度连续；量化：数字编码，对采样序列作舍入或截尾处理，得有限字长数字信号。这一过程会产生什么效应?利用量化噪声的统计特性来描述量化误差，则可以用统计模型来表示A/D变换的量化过程。

假设A/D变换器输入信号不含噪声，输出信号中仅考虑量化噪声，输入信号的平均功率用表示，输出信噪比用SNR表示，则：字长每增加1位，量化信噪比增加6个分贝；信号能量越大，量化信噪比越高。注：因信号本身有一定的信噪比，单纯提高量化信噪比无意义。

量化信噪比：用对数表示：【例6.2.1】已知x(n)在-1至1之间均匀分布，求8、12位时A/D的SNR。

当b=8位，则SNR=54dB，当b=12位，则SNR=78dB.

解：因信号均匀分布，所以有均值：方差：6.2.3

量化噪声通过线性系统

为了单独分析量化噪声通过系统后的影响，将系统近似看作是完全理想的（即具有无限精度的线性系统）。在输入端线性相加的噪声，在系统的输出端也是线性相加的。

输出噪声的方差为：输出噪声为由于是白色的，各变量之间互不相关，即代入上式，得由Parseval定理

H(z)全部极点在单位圆内，表示沿单位圆逆时针方向的圆周积分。由留数定理：如为截尾噪声，则输出噪声中还有一直流分量

例6.2.2

一个8位A/D变换器（），其输出作为IIR滤波器的输入，求滤波器输出端的量化噪声功率，已知IIR滤波器的系统函数为：解：由于A/D的量化效应，滤波器输入端的噪声功率为：滤波器的输出噪声功率为：其积分值等于单位圆内所有极点留数的和。单位圆内有一个极点z=0.999，所以6.2.4

有限字长运算对数字滤波器的影响

DF的实现，涉及到两种运算：相乘、求和。定点制运算中，每一次乘法运算之后都要作一次舍入（截尾）处理，因此引入了非线性。采用统计分析的方法，将舍入误差作为独立噪声e(n)迭加在信号上，因而仍可用线性流图表示定点相乘。

定点相乘运算统计分析的流图表示

对舍入噪声e(n)作如下的假设：

1.

e(n)为平稳随机噪声序列；

2.e(n)与输入序列x(n)不相关，各噪声之间也互不相关。

3.e(n)为白色噪声；

4.在量化间隔上均匀分布（即每个噪声都是均匀等概率分布）。有了这些条件，整个系统就可作为线性系统处理。每一个噪声可用线性离散系统的理论求出其输出噪声，所有输出噪声经线性迭加得到总的噪声输出。

1IIR数字滤波器的有限字长乘法运算量化效应下面以一个例子来讨论IIR数字滤波器的有限字长乘法运算量化效应。【例6.2.3】一个二阶IIR低通数字滤波器，系统函数为，采用定点制算法，尾数作舍入处理，分别计算其直接型、级联型、并联型三种结构的舍入误差产生的输出噪声功率。解：①直接型结构根据系统函数画出直接型结构流图，并在每一个乘法支路加入一个舍入噪声，得到如图所示流图。

②级联型将H(z)分解

结构流图为将

按照不同的方式组合，还可以组成其他的级联形式，请读者自己完成其他种级联结构的输出噪声功率计算。将H(z)按照不同的方式组合，还可以组成其他的级联形式，请读者自己完成其他种级联结构的输出噪声功率计算。③并联型将H(z)分解为部分分式

图IIR并联型的舍入噪声分析其结构如图：输出噪声方差为：比较三种结构的误差大小，可知直接型>级联型>并联型原因：１）直接型结构：所有舍入误差都经过全部网络的反馈环节，反馈过程中误差积累，输出误差很大。２）级联型结构：每个舍入误差只通过其后面的反馈环节，而不通过它前面的反馈环节，误差小于直接型。３）并联型：每个并联网络的舍入误差只通过本身的反馈环节，与其它并联网络无关，积累作用最小，误差最小。结论：

IIR滤波器的有限字长效应与它的结构有关。在IIR数字滤波器实现时，应选择合适的网络结构。2．FIR数字滤波器的有限字长效应包括：运算量化问题

溢出问题IIR的分析方法同样适用于FIR滤波器，FIR滤波器无反馈环节（频率采样型结构除外），不会造成舍入误差的积累，舍入误差的影响比同阶IIR滤波器小，不会产生非线性振荡。以横截型结构为例分析FIR的有限字长效应。（1）量化噪声以舍入处理为例介绍FIR数字滤波器的量化噪声，N-1阶FIR的系统函数为：有限精度运算时，无限精度下，直接型结构的差分方程为：每一次相乘后产生一个舍入噪声故如图。

输出噪声方差与字长有关，与阶数有关，N越高，运算误差越大，或者，在运算精度相同的情况下，阶数越高的滤波器需要的字长越长。【例6.2.4】FIR滤波器，N=10，b=17时因此，滤波器输出中，小数点后只有4位数字是有效的。N=1024时，（2）动态范围：定点运算时，动态范围的限制，常导致FIR的输出结果发生溢出。利用比例因子，压缩信号的动态范围，可避免溢出。FIR输出：定点数不产生溢出的条件：为使结果不溢出，对采用标度因子G，使由此确定G。6.2.5系数量化对字滤波器特性的影响

第三种量化效应——系数的量化效应。由于滤波器的所有系数必须以有限长度的二进码形式存放在存储器中，所以必然对理想系数值取量化，造成实际系数存在误差，使零、极点位置发生偏离，影响滤波器性能。严重时甚至使单位圆内的极点偏离到单位圆外，从而系统失去稳定性。下面利用MATLAB工具软件来研究系数量化对滤波器性能的影响。首先设计两个MATLAB函数用来处理系数量化的截尾和舍入处理。函数a2dT(d,n)实现将十进制数据d（在MATLAB中用浮点表示假设为理想精度）按照截尾处理算法处理成n位二进制数，函数的返回值为该n位二进制数的十进制值。函数的代码为：functionbeq=a2dT(d,n)m=1;d1=abs(d);whilefix(d1)>0d1=abs(d)/(2^m);m=m+1;endbeq=fix(d1*2^n);beq=sign(d).*beq.*2^(m-n-1);函数a2dR(d,n)实现将十进制d（在MATLAB中用浮点表示假设为理想精度）按照舍入处理成n位二进制数，函数的返回值为该n位二进制数的十进制值。代码为：functionbeq=a2dR(d,b)m=1;d1=abs(d);whilefix(d1)>0d1=abs(d)/(2^m);m=m+1;endbeq=fix(d1*2^b+.5);beq=sign(d).*beq.*2^(m-b-1);下面以6阶椭圆低通滤波器为例进行研究，假设低通滤波器的截止频率为0.4，通带波动0.5dB，阻带最小衰减为50dB。当采用5位截尾处理时，分析其量化前后的滤波器特性，比较零极点的变化。MATLAB的程序代码如下：[b,a]=ellip(6,0.5,50,0.4);[h,w]=freqz(b,a,512);g=20*log10(abs(h));bq=a2dT(b,5);aq=a2dT(a,5);[hq,w]=freqz(bq,aq,512);gq=20*log10(abs(hq));plot(w/pi,g,'b',w/pi,gq,'r:');grid;axis([01-805]);xlabel('\omega/\pi');ylabel