振动力学与结构动力学知识资料第2章21

第二章单自由度系统的振动第一节单自由度系统的无阻尼自由振动一、自由振动的解自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。lEI一.运动方程及其解mEIl令

二阶线性齐次常微分方程其通解为由初始条件可得令其中无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能二、单自由度系统的动力特性周期：园频率：工程频率：与外界无关,体系本身固有的特性与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系A、v不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关

例:图示刚架其横梁的刚度为无限大，柱子的抗弯刚度，梁的质量m=5000kg，不计柱子的轴向变形和阻尼，试计算此刚架的自振频率。思考题：刚架如何振动？关键是求侧移劲度。求图示系统的固有频率（a）弹簧串联情况；（b）弹簧并联情况。(a)串联情况思考题：串联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？(b)并联情况思考题：并联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？

例：简支梁AB，重量不计。在梁的中点位置放一重为W的物体M时，其静挠度为yst。现将物体M从高度h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。当物体落到梁上后，梁、物体系统作简谐振动，只要定出简谐振动的三个参数：圆频率、振幅和初相角即可。2.算例例一.求图示体系的自振频率和周期.mEIlEIl=1=1ll/2l解:例二.求图示体系的自振频率和周期.=1解:mEIllm/2EIEIll例三.质点重W,求体系的频率和周期.解:EIkl1k例三：提升机系统重物重量钢丝绳的弹簧刚度重物以的速度均匀下降求：绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力Wv解：振动频率重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置则t=0时，有：振动解：W静平衡位置kxWv振动解：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：动张力几乎是静张力的一半由于为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度Wv例：圆盘转动圆盘转动惯量I在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置扭振固有频率为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩由牛顿第二定律：由上例可看出，除了选择的坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述完全相同。如果在弹簧质量系统中将m、k称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的。0mx静平衡位置弹簧原长位置从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大0mx静平衡位置弹簧原长位置例：复摆刚体质量m对悬点的转动惯量重心C

求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率a0C解：由牛顿定律：因为微振动：则有：固有频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法若已测出物体的固有频率，则可求出，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：a0C例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角300质量m=1kg弹簧刚度k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零求：系统的运动方程m300重力加速度取9.8m/s2解：以静平衡位置为坐标原点建立坐标系振动固有频率：振动初始条件：考虑方向初始速度：运动方程：m300能量法（补充）对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T

和势能V

之和保持不变，即：或：弹簧质量系统动能：势能：（重力势能）（弹性势能）

不可能恒为00mx静平衡位置弹簧原长位置零势能点如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置动能：势能：设新坐标0mx零势能点y静平衡位置弹簧原长如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项考虑两个特殊位置上系统的能量静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大对于转动：x

是广义的0mx静平衡位置静平衡位置最大位移位置xmax0mx例：如图所示是一个倒置的摆摆球质量m刚杆质量忽略每个弹簧的刚度求:(1)倒摆作微幅振动时的固有频率(2)摆球时，测得频率为，时，测得频率为，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？lmak/2k/2（1）解法1：广义坐标动能势能零势能位置1零势能位置1lmak/2k/2解法2：零势能位置2动能势能零势能位置2lmak/2k/2（2）平衡临界位置的确定

利用：，测得频率f为，测得频率f为，瑞利法－利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限mkx0－这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高例如：弹簧质量系统设弹簧的动能:系统最大动能：系统最大势能：若忽略，则增大弹簧等效质量mtmkx0因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限等效质量和等效刚度方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：当、分别取最大值时：则可得出：Ke：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等动能势能零势能位置1lmak/2k/2第二节单自由度系统的有阻尼自由振动一、有阻尼自由振动的解特征方程的根：1、临界阻尼情况：不产生振动的最小阻尼2、超阻尼情况

体系仍不作振动，只发生按指数规律衰减的非周期蠕动，上式也不含简谐振动因子，由于大阻尼作用，受干扰后，偏离平衡位置体系不会产生振动，初始能量全部用于克服阻尼，不足以引起振动。3、负阻尼情况

<0或c<0

阻尼本来是耗散能量的，负阻尼表示在系统振动过程中不仅不消耗能量，而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是不稳定的，其振幅将会愈来愈大，直至系统破坏。4、低阻尼或小阻尼情况

<1或c<2m考虑阻尼使得结构的自振频率略有减小，亦即使系统的自振周期稍有增大。阻尼影响使振幅按指数规律衰减。

结构实际量测表明，对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼比在0.05左右，拱坝在0.03-0.05，重力坝包括大头坝在0.05-0.10,土坝、堆石坝在0.10-0.20之间。强震时，还会增加一些，但其值也是不大的。即使取0.02代入求得的频率与不考虑阻尼的频率也很接近。因此实际工程结构动力计算时不计阻尼的影响。

不同阻尼比对自由振动幅值的影响ty(t)临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些三种阻尼情况比较：欠阻尼过阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生二、阻尼的量测小阻尼解答经过三角转换可写成可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比。考虑两相邻幅值，在ti时刻，yi=Ae-

ti;在ti+Td时刻，yi+1=Ae-(ti+Td),定义自然对数递减率y自由振动衰减曲线

例：有关参数同前刚架，若用千斤顶使M产生侧移25mm，然后突然放开，刚架产生自由振动，振动5周后测得的侧移为7.12mm。试求：（1）考虑阻尼时的自振频率；（2）阻尼比和阻尼系数；（3）振动10周后的振幅。解：由y0=25mm,y0+5TD=7.12mm,有：例:对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,降绳突然切断,开始作自由振动.经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求1.阻尼比2.刚度系数3.无阻尼周期4.重量5.阻尼系数6.若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少2cm解:1.阻尼比2.刚度系数3.无阻尼周期4.重量5.阻尼系数6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比为多少三、相轨迹与奇点1、相平面的相轨迹状态变量相平面相轨迹相轨迹的几何特征2、相平面的奇点奇点：相平面内平衡点：李雅普洛夫稳定性李雅普洛夫稳定性:设系统的状态方程为式中A为n×n方阵。设系统原来的平衡状态为xe=0,在扰动产生了初始状态x0以后，系统状态x(t)将从x0开始按下列规律转移：如果对于任意初始状态x0,由它引起的系统运动x(t)满足那么，线性定常系统就是稳定的（李雅普诺夫稳定性定义下的渐近稳定）(a)(b)(c)习题：2-1(a)、（b）、(d)、(e)刘延柱编《振动力学》P32页，E1.1、E1.3、E1.4第三节单自由度系统简谐荷载作用下的受迫振动一、无阻尼受迫振动1、无阻尼受迫振动方程解运动方程的解上式中，前三项都是频率为的自由振动。但第一、二项是初始条件决定的自由振动，第三项与初始条件无关，是由伴随干扰力的作用而产生的，称为伴生自由振动。第四项则是按照干扰力的频率而进行的振动，称为纯受迫振动。2、动力系数

动力系数变化曲线例:图示无重简支梁，在跨中W＝20kN的电机，电机偏心所产生的离心力F(t)，若机器每分钟的转数n=500rad/min，梁的EI=1.008×10000kN.m2。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大位移和弯矩。解：（1）梁的自振频率（2）系统的动力系数想想看还有没有其他方法求自振频率？（3）梁跨中截面的最大位移和弯矩思考题：第二个式子怎么来的？思考题：如何求某一截面的Qmax?例:图示跨中带有一质体的无重简支梁，受动力荷载作用，若外干扰力频率取不同的值，试求质体的最大动力位移。解：按叠加原理

（1）惯性力前为何加负号？（2）运动方程式与直接作用在质体时有什么差别？（3）如果梁上还有一个动荷载，运动方程式形式有何变化？例1求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知动位移、动内力幅值计算计算步骤:1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力；2.计算动力系数；3.将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、动内力幅值。mEIEIlPl/4解.Pl/3动弯矩幅值图例2求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移已知:解.Ql/2l/2重力引起的弯矩重力引起的位移l/4振幅动弯矩幅值跨中最大弯矩跨中最大位移[动荷载不作用于质点时的计算]m=1=1令P仍是位移动力系数是内力动力系数吗?运动方程稳态解振幅[列幅值方程求内力幅值]解:例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知同频同步变化mEIl/2l/2FF=1重要！！！F动弯矩幅值图解:例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知mEIl/2l/2FF=1解:例:求图示体系右端的质点振幅F动弯矩幅值图mlmkllAFo二、有阻尼受迫振动1、解的形式式中，第一、二项由初始条件决定的自由振动，第三、四是荷载作用而伴生的自由振动，第五项为纯受迫振动。前四项自由振动由于阻尼的存在，很快衰减以致消失，最终只存下稳态受迫振动。

2、幅频曲线简谐激励作用下稳态响应特性：以为横坐标画出曲线激振频率相对于系统固有频率很低结论：响应的振幅A与静位移B相当0123012345（1）当<<1（）幅频曲线激振频率相对于系统固有频率很高结论：响应的振幅很小0123012345（2）当>>1（）幅频曲线结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的对应于不同值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著0123012345（3）在以上两个领域

>>1，<<1幅频曲线结论：共振时振幅无穷大（4）当对应于较小值，迅速增大当0123012345但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在=1附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降.幅频曲线0123012345（5）对于有阻尼系统，并不出现在=1处，而且稍偏左.幅频曲线（6）当振幅无极值0123012345幅频曲线记：品质因子在共振峰的两侧取与对应的两点，带宽Q与有关系：阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭P33-34有证明3、相频曲线相频特性曲线相位差位移与激振力在相位上几乎相同位移与激振力反相（3）当共振时的相位差为，与阻尼无关0123090180以为横坐标画出曲线（1）当<<1（）（2）当>>1（）4、系统上各个力的平衡由已知的荷载,以及求得的位移有，当荷载频率远小于系统自振频率时，β→0,惯性力Fi(t)和阻尼力Fd(t)都很小，荷载主要由弹簧力平衡；想想：此时相当于什么情况?当荷载频率远大于系统自振频率时，β→∞,荷载主要由惯性力平衡；当荷载频率接近系统自振频率时，β→1,此时阻尼力此时荷载主要由阻尼力平衡，这种状态称为共振。共振区内（0.75-1.25)阻尼力不可以忽略。稳态响应中四个力的平衡5、半功率法确定阻尼比简谐荷载受迫振动的幅频曲线可以用来确定系统的阻尼比ξ。取曲线上a、b两点，令纵坐标代入幅频曲线公式，经处理后有例.图示为块式基础.机器与基础的质量为;地基竖向刚度为;竖向振动时的阻尼比为机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为F=30kN.求竖向振动时的振幅。解：例：汽车的拖车在波形道路上行驶已知拖车的质量满载时为m1=1000kg空载时为m2=250kg悬挂弹簧的刚度为k=350kN/m阻尼比在满载时为车速为v=100km/h路面呈正弦波形，可表示为求：拖车在满载和空载时的振幅比l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz解：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：得：c、k

为常数，因此与成反比因此得到空载时的阻尼比为：满载和空载时的频率比：因为有：l=5mmk/2cx0k/2xfalxfz满载:

m1=1000kg空载:m2=250kg车速:v=100km/hk=350kN/m满载时频率比记：满载时振幅

B1，空载时振幅B2有：满载时阻尼比空载时阻尼比空载时频率比因此满载和空载时的振幅比：l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz

简谐惯性力激励的受迫振动小结背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例坐标：动力学方程：基座位移规律：x1

相对基座位移mm受力分析xfkcmx0mkxxfcD：基座位移振幅依据：令：有：其中：xfkcmx0补：振动微分方程解显含时间t非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应振动微分方程：设：代入，有：复频响应函数振动微分方程：引入：振幅放大因子相位差则：

：稳态响应的复振幅静变形稳态响应的实振幅0.250.50.751.02.010100190180幅频曲线相频曲线若以绝对位移x为坐标其中：则有：xfkcmx0mkxxfc代入：无阻尼情况：xfkcmx0mkxxfc幅频曲线010100.10.250.350.51.0可看出：当时，振幅恒为支撑运动振幅D当时，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大xfkcmx0mkxxfc

机械阻抗与导纳**工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比动力学方程：：输入：输出代入，得：复频响应函数根据定义，位移阻抗：位移阻抗与复频响应函数互为倒数，也称为导纳

输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻抗和加速度阻抗

速度阻抗加速度阻抗机械阻抗的倒数称为机械导纳，相应、、分别有位移导纳、速度导纳和加速度导纳位移阻抗速度阻抗加速度阻抗机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，k，c），它们都是复数现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率、相对阻尼系数等参数及其它动力特征复频响应函数又可写为：模及幅角：同时反映了系统响应的幅频特性和相频特性记实部和虚部为：实频特性曲线和虚频特性曲线发生共振时近似取最大值10101粘性阻尼系数的Nyquict图是一个近似的园，并且在共振点附近，曲线弧长随的变化率是最大的Nyquict图在结构动力分析上有很多用处-6-4-20246-12-10-8-6-4-20Re(H)Im(H)还可以用频率比

或相对阻尼系数作参变量，把画在复平面上，这样得到的曲线称为乃奎斯特图（Nyquictplot）质量为m的物体挂在弹簧系数为K的弹簧一端，另一端B沿铅直按作简谐运动，考虑粘滞阻尼力作用，求物体运动规律。解：取ξ＝0时物体的平衡位置