2022年中考数学复习　隐圆模型新

隐圆模型

几何最值问题是初中数学难点之一，而“隐圆”问题是常见的一类题型，此类问题综

合性强，隐蔽性强，加上题目的计算量很大，很容易造成同学们的丢分。在沈阳地区，由

于证明过程不让出现共圆，所以此类题目出现的位置是在填空最后一题或是压轴最后一问

直接写出结果，基本都是作为7:2:1中的1来作为难点拉开分值的问题。为此百时教育教

研组专门对此问题进行归类整理，希望对广大师生有所帮助，共勉。

在学习这个模型之前，先来做一些知识储备：

1.圆的半径等长

2.同弧所对圆周角相等

3.直径所对圆周角是直角

4.同弧所对圆心角是圆周角的二倍

5.圆内接四边形对角互补

6.直径是圆中最长的弦

7.圆外一点P连接圆心与圆交于A,B两点，则P到圆上最近与最远距离分别为PB

和PA

8.CH垂直AB时，CH为圆上点到AB最大距离

9.米勒最大张角问题：点A、B为0M边两个定点，点C是ON边动点，当C在切

点处时，NACB最大

小值为?

题型二：定弦定角

1.如图，已知线段AB=2,点C是直线AB上方一动点，ZC=30°,动点C在运动时构成什么样的图形？

2.如图，4ABC为等边三角形，AB=2,若P为^ABC内一动点，且满足NPAB=NACP,则线

段PB长度的最小值为。

3.如图所示，边长为3的等边aABC的原点A在x轴的正半轴上移动，ZAOD=30°,顶点

B在射线0D上移动，则顶点C到原点0的最大距离为。

例4：边长为3的等边A48C,D、E分别为边8C、ZC上的点，且BD=CE,AD,

BE交于P点、,则CP的最小值为0

2.如图1,等边△45C中，/5=6,P为4B上一动点,PDA.BC,PELAC,则OE的最小

值为？

E

如图1

题型四：直角对直径

1.如图1,AtZkNSC中，ABLBC,45=6,BO4,P是△45C内部的一个动点，且始终有

AP1BP,则线段CP长的最小值为？

2.如图1,A(1,0)、8(3,0),以45为直径作圆M,射线。尸交圆M于E、尸两点，C

为弧NB的中点，。为弦E尸的中点，当射线绕O旋转时，CC的最小值为？

3.中，N/18C=90,<5=6,BO8,。为/C的中点，过。作OE_LOF,OE、OF分别交

射线于E、F,则EF的最小值为？

4.如图1,已知KtZk/lBC中，AC=5,5c=12,ZACB=90°,尸是边45上的动点，Q

是边8c上的动点，且NCPQ=90°,求线段C。的取值范围.

A

5.如图1,半径为4的。。中，CZ）为直径，弦48_LCD且过半径。。的中点，点E为。。

上一动点，CFL4E于点F.当点E从点8出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径

长为？

6.（2013武汉）如图1,E,尸是正方形45CO的边40上两个动点，满足4E=DF.连接

CF交BD于点G,连接8E交4G于点若正方形的边长为2,则线段O"长度的最小

值是?

7.如图1,在RtZVISC中，N8=90°,ZO30°,45=1,。为线段4c上一动点，将4

8Z）C沿着80翻折，点C的对应点为RE为NC的中点，在。从C到4的运动过程中，

当£尸最短时，CD为?

8.（2017宿迁）如图，在矩形纸片NBC。中，已知48=1,BC=^,点E在边CD上移动,

连接ZE,将多边形45CE沿直线ZE翻折，得到多边形45'CE,点8、C的对应点分

别为点夕、C.

（1）当夕C恰好经过点。时（如图1）,求线段CE的长；

（2）若B'C分别交边NO,CD于点尸，G,且N〃4E=22.5°（如图2）,求△。尸G的

面积；

（3）在点E从点C移动到点0的过程中，求点。运动的路径长.

10.如图，Z\ABC中，AC=3,BC=4亚，ZACB=45°,D为aABC内一动点，OO^AACD

的外接圆，直线BD交。。于P点，交BC于E点，弧AE=CP,则AD的最小值为（）

A.1

B.2

C.V2

D.741-4V2

11.如图，AC=3,BC=5,且/BAC=90°,D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD

交圆于E点，连CE,则CE的最小值为（）

A.V13-2

B.屈+2

C.5

D.3

9

12.如图，在AABC中，AC=3,BC=4后，/ACB=45°,AM〃BC,点P在射线AM上运动,

连BP交AAPC的外接圆于D,则AD的最小值为（

A.1

B.2

C.

D.472-3

13.如图，。。的半径为2,弦AB的长为2△，点P为优弧AB上一动点，ACLAP交直线PB

于点C,则4ABC的面积的最大值是（）

A.12+6石B.6+3百

C.12+3百D.6+473

14.如图，。。的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点，ACLAP交直线PB于点C,

则aABC的最大面积是（）

◎

2一

BC.

后

一

2

后

D.一

4

15.如图，边长为3的等边AABC,I）、E分别为边BC、AC上的点，且BD=CE,AD、BE交于

P点，则CP的最小值为

16.如图，A(l,0)、B(3,0),以AB为直径作。M,射线OF交。M于E、F两点，C为弧AB

的中点，D为EF的中点.当射线绕0点旋转时，CD的最小值为

17.如图，AB是。。的直径，AB=2,ZABC=600,P是上一动点，D是AP的中点，连接

CD,则CD的最小值为

18.如图，在动点C与定长线段AB组成的aABC中，AB=6,ADLBC于点D,BELAC于点

E,连接DE.当点C在运动过程中，始终有患学则点C到AB的距离的最大值是

19.如图，已知以BC为直径的。0,A为BC中点，P为AC上任意一点，ADLAP交BP于D,

连CD.若BC=8,则CD的最小值为

20.直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点M、N,边长为2的正方形OABC一个顶点0在坐

标系的顶点，直线AN与MC相交于点P,若正方形绕着点。旋转一周，则点P到点(0,2)

长度的最小值是

21.21.已知NM0N=30°,矩形ABCD的顶点A、D分别是0M0N上的动点，且AD=2,AB=J5，

则线段0B长度的最大值为.

C分别是OM、0N上的动点，且AC=2,AB=1,

则线段0B长度的最大值为

22.如图，边长为3的等边△ABC,

D、E分别为边BC、AC上的点，

且BD=CE,AD、BE交于P点，

则CP的最小值为

23.如图，RtZXABC中，AB1BC,

AB=2,BC=3,P是4ABC内部的

一个动点，且满足NPAB=/PBC,

则线段CP长的最小值为

24.如图,在RtZXABC中，ZC=90",

AC=6,BC=8,D为AB边上一点，

过点D作CD的垂线交直线BC于

点E,则线段CE长度的

最小值是_________

26.如图,Nx0y=45°,把线段的

两个顶点A,B分别在Ox,Oy

上移动，其中AB=1O,点0到

AB的距离的最大值为

27.如图4,在边长为2的菱形ABCD中，

ZA=60°,M是AD边的中点，N是AB

边上一动点，将4AMN沿直线MN

翻折得到△A'MN,连接CA',BA1.

①A'B长度的最小值是

②A'C长度的最小值是

28.四边形ABCD中，AD〃BC,ZA=90,

AD=1,AB=2,BC=3,P是线段AD上

一动点，将△ABP沿BP所在直线

翻折得到△QBP,则4CQD的面积

最小值为

29.如图，半圆0的半径为1,AC±AB,

BD±AB,且AC=1,BD=3,

P是半圆上任意一点，则封闭图形

ABDPC面积的最大值是

30.如图，P为圆0内一个定点，

A为圆0上一个动点，射线AP,

AO分别与圆0交于B,C两点，

若圆。的半径为3,OP=6,

则弦BC的最大值为

31.已知A(2,0),B(5,0),

点P为圆A上一动点，圆A半径

为2,以PB为边作等边△PMB,

求线段AM的取值范围。

32.已知4(2,0),B(4,0)

是x轴上的两点，点C是y轴上

的动点，当/〃》最大时，

则点C的坐标为

33.（12年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点B为y轴正半轴上的一点,

点C是第一象限内一点，且AC=2.设tan/B0C=m,则m的取值范围是.

34.如图，Rt/XABC中,ZC=90°,ZABC=30°,AB=6,点，在边上，点£是宛1边

上一点（不与点反，重合），且的=能则助的取值范围是.

35.如图，Zx0y=45°,一把直角三角尺AABC的两个顶点A、B分别在Ox、Oy上移动，其

中AB=10,那么点0到顶点A的距离最大值为，点0到AB的距离的最大

37.若在半径为1的圆。上任取两点A、B,再以AB为边向圆外作正方形，则0C的最大值

和最小值分别为—

38.过边长为1的正方形的中心0引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交

于A,B两点，则线段AB长的取值范围是