微积分(第1、2节)教学课件

微积分(第1、2节)2024-01-24微分学基本概念与运算积分学基本概念与运算微分中值定理及其应用积分中值定理及其应用微分方程初步知识无穷级数简介与性质分析目录01微分学基本概念与运算VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$Deltax$（点$x_0+Deltax$仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。导数的几何意义函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。导数的定义导数定义及几何意义常数C的导数为0，即$(C)'=0$。常数求导正弦函数、余弦函数、正切函数的导数分别为$sin'x=cosx$，$cos'x=-sinx$，$tan'x=sec^2x$。三角函数求导对于形如$y=x^n$的幂函数，其导数为$y'=nx^{n-1}$。幂函数求导对于形如$y=a^x$（a>0，a≠1）的指数函数，其导数为$y'=a^xlna$。指数函数求导对于形如$y=log_ax$（a>0，a≠1）的对数函数，其导数为$y'=frac{1}{xlna}$。对数函数求导0201030405常见函数求导法则高阶导数的定义如果函数$y=f(x)$的导数$f'(x)$在点$x_0$处仍然可导，则称导数$f'(x)$在点$x_0$处的导数为函数$f(x)$在点$x_0$处的二阶导数，记作$f''(x_0)$。类似地，可以定义更高阶的导数。高阶导数的计算高阶导数可以通过连续应用求导法则来计算。例如，对于幂函数$y=x^n$，其二阶导数为$y''=n(n-1)x^{n-2}$。高阶导数计算设函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，则称$Deltay=f'(x_0)Deltax+o(Deltax)$为函数在点$x_0$处的微分，记作$text{d}y|_{x=x_0}$或$text{d}f(x_0)$。其中，$text{d}x=Deltax$称为自变量的微分。微分的定义微分在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。例如，在几何中，微分可以用来求曲线的切线、法线以及曲率等；在物理中，微分可以用来描述物体的运动状态以及求解各种物理量；在经济中，微分可以用来分析边际效应以及优化经济模型等。微分的应用微分概念及应用02积分学基本概念与运算定积分是函数在一个区间上的积分，表示函数图像与x轴所围成的面积。定积分的定义定积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等基本性质。定积分的性质定积分定义及性质不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程。通过凑微分、换元法、分部积分等方法求解不定积分。不定积分求解方法不定积分的求解方法不定积分的定义定积分的计算步骤确定被积函数、确定积分区间、计算定积分。定积分的计算技巧利用奇偶性、周期性、对称性简化计算；利用换元法、分部积分法等方法进行计算。定积分计算技巧03广义积分的求解方法通过变量替换、分部积分等方法求解广义积分。01广义积分的定义广义积分是指积分区间为无穷区间或被积函数在有限区间上有瑕点的定积分。02广义积分的分类无穷限广义积分和瑕点广义积分。广义积分简介03微分中值定理及其应用

罗尔定理与拉格朗日中值定理罗尔定理如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。拉格朗日中值定理如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。几何意义罗尔定理和拉格朗日中值定理都揭示了函数与其导数之间的内在联系，为微分学的应用提供了重要的理论基础。柯西中值定理如果函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$g'(x)neq0$，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$frac{f'(c)}{g'(c)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。应用柯西中值定理在证明不等式、求解极限等方面有着广泛的应用。例如，利用柯西中值定理可以证明某些复杂的不等式，或者求解一些看似难以处理的极限问题。柯西中值定理及其应用如果函数$f(x)$在点$x_0$处具有$n$阶导数，则存在$x_0$的一个邻域，对于该邻域内的任意一点$x$，有$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$，其中$R_n(x)$为余项。如果函数$f(x)$在点$x_0$处具有无穷阶导数，且余项$R_n(x)$随着$n$的增加而趋于零，则可以将函数在该点处展开成无穷级数，即$f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$。泰勒公式和泰勒级数展开在近似计算、求解微分方程、分析函数的性质等方面有着广泛的应用。例如，利用泰勒公式可以近似计算某些难以直接求解的函数值；利用泰勒级数展开可以将一些复杂的函数表示成简单的级数形式，从而方便进行进一步的分析和处理。泰勒公式泰勒级数展开应用泰勒公式与泰勒级数展开04积分中值定理及其应用几何意义该定理表明，在闭区间$[a,b]$上，连续函数$f(x)$与不变号可积函数$g(x)$的乘积的积分值，等于$f(x)$在$[a,b]$上某一点$xi$的函数值与$g(x)$在$[a,b]$上的积分值的乘积。内容若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，$g(x)$在$[a,b]$上不变号且可积，则存在$xiin[a,b]$，使得$int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(xi)int_{a}^{b}g(x)dx$。应用该定理可用于证明某些积分等式或不等式，以及求解某些含参变量的积分问题。积分第一中值定理内容01若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，$g(x)$在$[a,b]$上单调，则存在$xiin[a,b]$，使得$int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=g(a)int_{a}^{xi}f(x)dx+g(b)int_{xi}^{b}f(x)dx$。几何意义02该定理表明，在闭区间$[a,b]$上，连续函数$f(x)$与单调函数$g(x)$的乘积的积分值，可以表示为$g(x)$在端点处的函数值与$f(x)$在$[a,b]$上某两个子区间的积分值的线性组合。应用03该定理可用于证明某些积分等式或不等式，以及求解某些含参变量的积分问题。积分第二中值定理内容若函数$F(x)$是$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，则$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。几何意义该公式表明，定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$的值等于原函数$F(x)$在区间端点处的函数值之差。应用该公式是计算定积分的基本方法，可用于求解各种实际问题和理论问题中的定积分。同时，它也是微积分基本定理的重要组成部分，为微积分学的发展奠定了基础。牛顿-莱布尼兹公式05微分方程初步知识一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的通解公式利用通解公式求解一阶线性微分方程的步骤一阶线性微分方程解法可降阶高阶微分方程的两种类型y''=f(x,y')型微分方程的解法y''=f(y,y')型微分方程的解法可降阶高阶微分方程解法

二阶常系数线性微分方程解法二阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式及通解公式06无穷级数简介与性质分析比较判别法、比值判别法、根值判别法正项级